基于MIF的正弦調諧模態試驗頻率誤差分析與仿真

祝明昊 孔凡平

（北京強度環境研究所，北京 100076）

0 引言

結構的模態參數是表征結構動力學特性的關鍵。在航天領域，飛行器結構的模態參數至關重要，是建立、修改和優化動力學模型，動強度設計，以及控制系統穩定型設計的重要參數。對于大型航天運載器，如運載火箭、導彈武器等，主要采用多點穩態正弦調諧模態試驗來辨識模態參數。

多點穩態正弦調諧模態試驗，美國稱為地面振動試驗（GVT），歐洲稱為地面共振試驗，其精度高，誤差小，已經成為大型復雜航空航天結構模態試驗的常用方法之一，美國的Ares I-X運載火箭[1]、Galileo號木星探測器[2]等航天器的模態試驗均采用了此方法。二十世紀，Kennedy和Pancu首先闡明了振動響應向量的實虛部概念并應用于振動試驗，模態物理分離技術初步發展。R.C.Lewis和D.I.Wrisley提出了用多點激振的相位一致性判別進行模態分離，建立了多點穩態正弦調諧模態試驗的基礎[3]，在選定的模態頻率下，通過調節激振力來補償結構的阻尼力，集中正弦激振的能量激出單一的模態，使結構在多個激振器同時激勵下達到相位共振狀態，得到結構的無阻尼純模態[4]。目前主要的調節激振力的方法可分為經典調力法、最佳力分布計算法和指示函數法三大類。指示函數法發展迅速，此方法依據相位共振原理，將結構總體響應的某一函數作為目標函數來指導調節激振力[5]。模態參數辨識方法主要有導納圓擬合法、復功率法、半功率法和對數衰減法等。

在調諧試驗中，由于實際結構無法完全達到相位共振，導致模態純度不夠，實測的模態參數存在一定的誤差。針對模態純度的表示方法，法國曾在多點激振系統中采用總體相位角的方法[6]，對每一測點響應的相位角進行總體加權，以此來表示模態純度；西德的宇航模態試驗中采用模態指示函數（MIF），以測點響應的實部加權求和與幅值之比最小的原理來描述模態純度；美國航天飛機的地面垂直振動試驗中采用了模態純度比（MAP）的概念[7]。在我國的航天行業標準中[8]，規定了以MIF作為參考的誤差評估標準（認為MIF值大于0.9為純共振，0.7～0.9為共振較好，小于0.7為共振較差），相位散布圖法（加速度、位移、應變測點落在虛軸上，速度測點落在實軸上），以及在同樣試驗條件下進行重復試驗，對試驗獲得的模態參數的一致性進行評定。但在目前的研究中尚未找到對實測模態參數具體誤差值的量化評估方法。

1 頻率誤差分析的理論基礎

1.1 多點穩態正弦調諧模態試驗

辨識火箭/導彈的模態參數需要進行全箭/彈模態試驗[9]，主要采用多點穩態正弦調諧模態試驗。試驗一般在全箭振動塔內進行，采用彈簧繩懸吊的支撐方式模擬自由邊界，要求支撐系統的固有頻率盡可能小于被測結構的第一階模態頻率。試驗中多臺激振器同時激振，并根據激振器的位置控制激振力的相位為同相或反相，控制激振頻率在特定的某階模態頻率附近，小幅度調節激振頻率，盡可能達到相位共振狀態。試驗中當MIF值達到極大值時，此時的激振頻率即認為是該階模態頻率。

對于彈性阻尼n自由度系統，其運動微分方程為

因此，向量{x}可以表示為代入式（1）可得

由實部虛部分別相等，可得

滿足 [K] -ω2[M]= {0}的ωr為第r階模態頻率值，代入可得第r階模態振型為{φr} ，進而得到滿足第r階模態相位共振條件的激振力為

試驗中通常用模態指示函數（MIF）作為所激勵模態純度的參考

MIF值是由加速度響應的幅值和相位決定的。當某測點加速度響應超前參考激振力90度時，該測點達到相位共振。若結構上所有的測點皆滿足上述條件時，結構以純模態形式振動，此時的MIF值為1，這是一種理想情況。在試驗中，MIF值總是小于1的，也就是無法完全達到相位共振，這是由多方面因素造成的，主要包括激振力無法完全平衡阻尼力，結構的非線性影響等等。MIF值也作為模態參數精確程度的一個參考標準[12]。

1.2 頻率誤差的分析原理

對于線彈性結構系統，加速度響應計算公式如下[13]

其中，ω為實測結構振動頻率，ωr為第r階模

結構的振動響應表現為結構各階模態的疊加，各階模態的貢獻不同。在多點穩態正弦調諧模態試驗中，調諧第r階模態，結構的振動響應為第r階模態和剩余模態（第1～r-1階模態和第r+ 1 ～N階模態）的疊加。當調諧滿足要求時，MIF達到一個較高值，此時響應中第r階模態占據主導地位，剩余模態的貢獻為一個小量，忽略剩余模態的影響，得到加速度響應計算公式為：

代入MIF 表達式，并化簡得 第i點的加速度響應可以表示為

定義頻率相對誤差（以下簡稱為頻率誤差）為

得到MIF與頻率誤差和阻尼比的顯式解析關系式，也可表示為，即頻率誤差只與MIF值和第r階模態模態阻尼比有關。

2 頻率誤差的分析方法

2.1 剩余模態影響小的情況

剩余模態影響小的情況如圖1所示。

圖1 剩余模態影響較小的頻響曲線 Fig. 1 Residual modes have less effect on the frequency response curve

調諧第r階模態，當MIF值足夠高時，在分析第r階模態時可以忽略剩余模態的影響，頻率誤差滿足上述的MIF值解析關系式。

將MIF值隨頻率誤差和阻尼比的變化關系繪成曲面圖如圖2所示。

圖2 “MIF—頻率誤差、阻尼比”曲面 Fig. 2 "MIF - Frequency error, Damping ratio" surface

分別取不同阻尼比，得到MIF—η曲線，如圖3所示（從內到外，，阻尼比分別為0.005、0.008、0.01、0.03、0.065、0.1、0.5）。

圖3 “MIF—頻率誤差”曲線 Fig..3 "MIF-Frequency Error" curve

分別取不同的頻率誤差，觀察MIF值隨阻尼比的變化規律。在同一個頻率誤差下，阻尼比越大，MIF值越大，如圖4所示（從左至右，頻率誤差分別為0.5%，1%，2%，3%，5%，10%）。在其中取部分點寫入表1。

表1 各阻尼比下，各誤差點的MIF理論值 Table 1 MIF theoretical value of each error point at each damping ratio

圖4 “MIF—阻尼比”曲線 Fig.4 "MIF - damping ratio" curve

2.2 剩余模態影響大的情況

圖5所示是剩余模態影響大的情況的頻響曲線。此時，剩余模態的的貢獻產生影響，第i點的加速度響應，如式（11）所示。

圖5 剩余模態影響較大的頻響曲線 Fig.5 Residual modal influences the frequency response curve

式中， O（ Res）為剩余模態的影響，實際的MIF值應包含剩余模態的影響

針對不同剩余模態的截斷影響，需要建立不同阻尼比下的頻率誤差與MIF值之間的關系。

3 八自由度系統頻率誤差的仿真分析

考慮8自由度離散“質量—阻尼—彈簧”系統，兩端固定，對其第一階模態進行仿真。質量塊的質量為m，彈簧的的剛度為k，阻尼系數為c。如圖6所示

圖6 8自由度系統模型 Fig.6 eight degrees of freedom system model

振動微分方程為

運用狀態空間法，設狀態量

代入狀態方程，輸出量為加速度響應

式中，A、B 、C、D矩陣分別為

設置質量m=1，剛度k=100，則系統的第一階模態頻率為ω1=3.4729635(rad/s)，第一階模態振型為

激振力的頻率以第一階模態頻率 1ω為參考，引入適量誤差，分析在不同頻率誤差下MIF值的變化規律。取不同的阻尼比，計算得到對應的阻尼系數代入阻尼矩陣。仿真得到8個測點的加速度響應的時域曲線，分別取各測點的穩態段數據，用正弦曲線進行曲線擬合，得到各個測點的幅值和相位數據，代入MIF值表達式，計算MIF值，如表2～表4所示。

表2 各誤差點的MIF仿真值（8點激振） Table 2 MIF simulation value of each error point (8-point excitation)

表4 各誤差點的MIF仿真值（2點激振） Table 4 MIF simulation value of each error point)

針對第一階模態，分別取阻尼比為0.005、0.01和0.065，激振頻率 Tω分別取為 1(15%)ω- 、(1- 2%)ω1、 (1- 1 %)ω1、 (1- 0.5%)ω1、ω1、(1+ 0.5%)ω1、(1 +1 %)ω1、(1 + 2%)ω1、(1 + 5%)ω1，根據激勵點數量和位置的不同，分為以下三種情況：1）在8個點全部施加激勵；2）在4個點（1、3、5、7）施加激勵；3）在2個點（1、8）施加激勵。

表3 各誤差點的MIF仿真值（4點激振） Table 3 MIF simulation value of each error point

對比仿真值與理論曲線，如圖7、圖8和圖9所示。

圖7 MIF仿真值與理論值對比（8點激振） Fig.7 Comparison between MIF simulation value and theoretical value (8-point excitation)

圖8 MIF仿真值與理論值對比（4點激振） Fig.8 Comparison between MIF simulation value and theoretical value (4-point excitation)

圖9 MIF仿真值與理論值對比（2點激振） Fig.9 Comparison between MIF simulation value and theoretical value (two-point excitation)

在圖10中，橫坐標為頻率誤差，縱坐標為MIF仿真值（包含剩余模態的影響）與MIF理論值（不包含剩余模態的影響）的偏差。由圖10可知，仿真值與理論值基本吻合。在頻率誤差較小時，模態純度較高，剩余模態影響較小，仿真值與理論值吻合程度很好。在頻率誤差增大時，剩余模態的影響也隨之增大，在大阻尼比情況下更容易看出這個微小影響。

圖10 三種阻尼比下MIF的仿真值與理論值的誤差曲線 Fig.10 Under three damping ratios, simulation values of MIF and the theoretical values of MIF

4 結論與展望

本文以多點穩態正弦調諧模態試驗和模態純度指示函數為基礎，建立了頻率誤差分析原理，提出了頻率誤差分析方法。運用狀態空間法仿真八自由度系統，頻率誤差的仿真值與理論曲線一致，表明了頻率誤差分析方法的可行性。下一步開展針對連續彈性系統的研究，進行頻率誤差的分析與仿真，并進行實驗驗證。