多點協同動態散斑的統計特性

車東博，王挺峰，張 紹，韓 越，李遠洋

（1.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所, 吉林 長春 130033；2.中國科學院大學, 北京 100049）

1 引 言

激光散斑在醫學，生物學，工程學，物理學和許多其他領域中都有廣泛應用[1-5]。散斑強度在短期和長期內的波動以及空間相關性攜帶了隨機介質的內部結構或目標靶面的光斑信息。在工業生產和國防領域實現激光的定向能量傳輸，監視遠場目標靶面的激光能量密度中具有重要的作用[6]。在以往的研究中，通常采用望遠系統[7]、桶中功率[8]和回波散斑[9]等方法獲得反饋因子實現對目標光斑的去接觸測評。望遠系統對遠場光斑成像，可以通過計算環圍能量、平均半徑等參數作為評價因子，但是這種方法受限于探測距離和相機幀頻，也難以探測運動目標。以目標光斑的桶中功率作為反饋因子被廣泛應用于自適應光束控制的閉環系統中，然而也存在著目標光斑監視范圍小的弊端，尤其是針對目標在環系統中的非合作目標。相比回波散斑相位信息[10-11]，散斑的光強統計特性[12-13]可以無接觸探測遠距離的運動目標，更適用于刑事偵查、無損檢測和在線精密測量等領域。

早在上世紀80年代，Sawatari等人提出了利用激光散斑確定光學系統焦平面的方法[14]。借助散斑成像技術，空間散斑統計特性普遍應用于微小位移或震動測量中[15-16]，Skipetrov開展了隨機噪聲對激光散斑相關性的影響[17]，從而提高了散斑空間統計特性的應用價值。另一方面，通過掃描激光產生動態散斑，并在探測器前加入空間濾波器[18]，利用散斑的時間統計特性實現距離量的精準測量[19]。隨后團隊利用動態散斑時間統計特性，實現非接觸式測量遠距離粗糙目標的速度[20]。Voronstov等人通過單點探測器采樣回波散斑光強起伏獲得的時間統計特性作為評價遠場光斑的反饋因子[21]，結合隨機并行梯度下降算法（SPGD）算法[22]，實現了基于散斑控制遠場光斑。目前為止，針對回波散斑對遠場光斑反饋評價的研究大多集中于單獨空間統計特性或單獨時間統計特性的計算[23]，而少有聯合兩種統計特性對目標光斑能量分布進行探測的研究。動態散斑信號具有的隨機性將導致信號參數波動大，因此系統帶寬小、采樣時間長和信號誤差大等問題制約著散斑應用的發展。

為了融合散斑場的空間和時間統計特性，保證精度的同時增加采樣效率，本文提出了多點協同探測的方法，拼接多空間位點散斑的時間波動信號。在第二部分，分析了動態散斑時間頻譜帶寬與目標光斑尺寸的理論關系和多通道采集的可行性。第三部分仿真分析單通道和多通道采集獲得評價因子的方法和精度，第四部分通過實驗驗證了多點協同散斑反饋因子的正確性。最后對本文做出總結介紹。

2 動態散斑頻譜法判斷聚焦光斑尺寸

2.1 散斑場強度的空間、時間相關特性

通過移動目標在菲涅爾衍射區域生成了一組符合高斯分布的動態散斑強度圖。將粗糙目標表面看作由N個散射元組成的粗糙平面（r', z = L），激光光束經粗糙表面漫反射后自由傳輸至觀察平面（r, z = 0），在觀察面干涉相長或干涉相消，產生的顆粒狀光學圖案即為散斑。因此，在觀察平面某點的光強U(r,z= 0)是通過每個散射元中心漫反射得到的光場相干疊加。

其中，N為目標平面散射元的個數，Al為目標面上散射元的光場振幅，φl僅取決于目標粗糙平面的隨機變量，且具有零均值和在[-π，π]區間內波動的特點。接收面上點的相位均值Фl由三部分組成，目標平面上散射元的出射波球面相位φlT；散射元從目標平面到接收平面的光程差kRl1；目標面到接收面的傳輸過程中所產生的相位畸變φlβ。

根據散斑場的統計特性可知，大量散射元以正常的速度隨機移動會產生散斑圖像的波動，移動的散射元和靜止的散射元分別產生的散斑圖是完全展開的，且符合高斯散斑的統計特性。由靜止的散射點和運動的散射點分別引起的散斑圖像相干性可以得到觀察平面(r1,t)處的瞬時強度[24]。

其中，c為常數，c=k/(2πL)，目標面反射系數0＜γ(r') ＜1，且在平坦表面的延展目標靶面上γ(r')為常數。時刻間隔t內目標表面移動距離為|v|t，δs代表粗糙平面的散射元面積。{ηl}在統計上是獨立的輔助隨機變量，統計特性滿足：

據S.M.Rytov[25]等人對散射效應的研究，采用小斜率近似將探測面的斑場平均強度用積分表示

探測面(r1,z= 0,t)散射場的強度波動δIsp可用散斑場強度與平均值之間的偏差表示為

散斑強度波動的時間空間相關函數（mutual correlation function）定義為探測面(r1,t1)和(r2,t2)兩點的強度波動的乘積，

考慮到t1時刻和t2時刻間隔為τ，而η和φl中的φ僅取決于散射元內的表面粗糙度，不隨粗糙面和觀察點的移動而改變。因此假設η1=η2和φl1=φl2。則公式（7）可表示為

其中光束傳輸距離L遠大于光束在目標平面與探測平面坐標系之間的偏移|r'-r|，因此光程產生的相位可使用泰勒級數展開，

ρ'= rm'-rl'代表目標平面坐標系；ρ = r2-r1代表探測面坐標系。假設目標照射面積內有足夠數量的鏡面反射點，則可用面積公式替代公式（8）

這里，

根據傅里葉變換的卷積定理可知，兩個函數卷積的傅里葉變換等于兩函數傅里葉變換的乘積。因此，公式（10）可化簡為：

其中，θ(r', r1, r2) =φβ(r', r1)-φβ(r'+vτ, r2)是散射光從目標面(r',L)到探測面(r, 0)傳輸路徑上穿過介質時引起的相位畸變差。傳輸介質簡單分為兩種情況：（a）當介質均勻時，θ(r', r1, r2)=0；（b）當介質非均勻而光學系統的目標是等平面時，相位畸變φβ相當于接收平面或者目標面前添加一個非常薄的相位屏。根據Vorontsov研究[26]可知，此時相位畸變函數φβ所產生的失真層對互相關函數沒有明顯影響。

因此，exp[ikr'vτ/L]可以用1替代。綜上所述，散斑場波動的空間時間相關函數可化簡為：

（1）散斑場光強波動的空間互相關函數：τ =0

I(r',L)為目標平面的光強分布，由此可看出散斑場強度的瞬時空間互相關函數是目標表面光強的傅立葉變換。通過獲取回波散斑的MCF函數能夠反映出目標表面處光斑的光強分布的變化。此外，探測面空間相關長度取決于函數I(r',L)的頻譜寬度。假設目標表面處光斑的光強分布是空間坐標的高斯函數

其中bs表示目標面聚焦光斑的尺寸，Is為常量。將公式（15）代入到公式（14）中，可以得到探測面空間相關距離（即散斑大小）與目標光斑尺寸的關系

由此可見，目標面光強的互相關函數寬度能夠估計動態散斑的大小，通過散斑尺寸可以反饋目標光斑的聚焦尺寸。

（2）散斑場光強波動的時間相關函數：ρ =0

為了研究目標移動引起的散斑場強度的變化，需要保證A(r')A*(r'+vτ)項和exp(-ikr'vτ/L)是非零的。即滿足兩個時間尺度：τ＜τs，其中τs=bs/v，即目標面的坐標變化不得超過目標表面光斑尺寸；另一個尺度為τ0/τs＞ 1，其中τ0= L/(vkbs) =asp/v，即滿足第一個時間尺度時，目標的散射元對應的相移量ikr'vτ/L很小，因此指數項exp[ikr'vτ/L]可以用1替代。

加入目標粗糙表面上滿足高斯分布的激光公式（15）

因此，散斑場的功率譜可以對散斑信號的相關函數做傅立葉變換得到

其中GδI為散斑信號的功率譜，ξI=v/bs為強度波動的特征頻率帶寬，其與目標上光斑尺寸呈反比例關系。綜上所述，動態散斑的時間頻譜帶寬隨目標聚焦光斑尺寸的增加而變窄。

2.2 探測面的不相關長度

為了解決單點探測短時間內獲得足夠數量樣本難的問題，采用多通道同時探測，獲得不同空間位點的散斑時間頻譜信號。這種方法首先要保證的是，探測點獲得的信號是不相關的。為了研究探測間距與回波散斑信號的相關性，需對照明光場A(r')的模數和相位進行完整的描述。以束腰寬度為ω0的基模高斯光束作為發射光束時，目標面光場A(r')可以表示為：

其中ω為激光光束的束寬和q為波面曲率半徑，可由激光束腰位置到粗糙表面距離R表示

其中

帶入散斑場的時間空間互相關歸一化函數

其中Δx=asp/2，表示回波散斑場中散斑的平均尺寸；L表示目標面到探測面的距離；z表示激光光束光腰到探測面的距離。將ρ=0帶入公式（25），獲得動態散斑強度波動的時間相關長度τc

從方程（26）中可以看出，時間相關長度τc與粗糙目標移動速度的絕對值成反比，并且在高斯光束相關參數ω和q下，與散斑平均尺度存在緊密的關系[27]。帶入到公式（25）可以得到

其中

其中，τd為觀察面(r1,t1)到(r2,t2)動態散斑強度的時間延遲，此時散斑場的時間空間互相關函數的相關峰位于τ=τd。當探測點間距ρ=Xc，相關峰的值為最大值的e-1。此時相關峰值達到極小值，十分微弱，信號可能會被噪聲掩蓋，這種條件下認為探測系統無法找到散斑強度波動的相關峰。認為兩點采集的信號具有不相關性。其中θ表示粗糙目標運動方向和兩探測點之間連線（向量v和ρ）的夾角。為了方便分析運算，假設探測點的擺放位置平行于粗糙目標速度矢量，且垂直于光軸。則公式（29）化簡為

結合激光光束參數可以得到Xc

當探測間距ρ＞Xc，視為探測的信號去相關。

3 動態散斑仿真分析

動態散斑仿真過程較靜態散斑更為復雜，為簡化散斑圖像的時間演化歷程，建立一種散射點運動模型[28-29]，如圖1所示。激光波長設為532 nm，10 m遠放一勻速運動的目標靶面，目標表面粗糙均方根為30 nm, 相關長度為500 nm，且符合高斯隨機分布。根據上述理論分析，探測器獲得的散斑場光強波動信號為激光經目標面散射元漫反射后得到的光場相干疊加。這種模型不僅可以獲得散斑場的統計特性，而且節約了大量的運算時間。

圖1 散射點運動模型Fig.1 The model of the dynamic speckle

采用的光學系統布局如圖2所示。單模激光通過準直擴束系統后，聚焦在以1 m/s勻速運動的目標靶面上，激光經粗糙表面漫反射后，經多通道單點探測器采集，探測平面與目標運動平面平行，單次采集2 000個數據。從而獲得多通道的動態散斑強度隨時間波動的信號。

圖2 TIL系統的光學布局圖。出射激光復振幅A(r')通過均勻介質聚焦到目標靶面上，經粗糙表面散射后，回波由多個信號不相關的探測器接收。（a）目標粗糙表面直徑為1.5 mm的聚焦光斑；（b）1.5 mm目標光斑對應的散斑光強；（c）目標粗糙表面直徑為4 mm的聚焦光斑；（d）4 mm目標光斑對應的散斑光強。Fig.2 TIL wave propagation configurations.Transmitted wave with complex amplitude A(r') propagates in an optically homogeneous medium toward a target, and after scattering off the target surface at the plane (r',z=L), the return wave propagates back to the multichannel detectors.(a) Spot with a diameter of 1.5 mm focused on the target.(b) The speckle pattern corresponds to (a).(c) Spot with a diameter of 4 mm focused on the target, and (d) shows the speckle pattern corresponding to (c).

為了研究探測點間距與散斑信號的相關性，光斑半徑設為ω0= 4 mm，采集信號的兩點間距由3 mm調整到6 mm，對獲得的散斑強度隨時間波動的信號做互相關。仿真結果如圖3所示，探測間距小于公式（31）計算的最大相關距離時，回波信號具有明顯的相關峰；探測間距大于最大相關距離時，兩個信號可以在相關峰處明顯分辨，表現出了去相關性[30]。因此證明，探測面多通道的探測點間距遠大于最大相關距離時，可以認為多通道同時獲得的散斑信號在時間上是不相關的，也就是獲得的散斑頻譜在統計學上是獨立的。

圖3 動態散斑強度波動歸一化互相關函數仿真結果。（a）ρ=3 m；（b）ρ=6 mFig.3 The simulation results of the dynamic speckles normalized cross-correlation function.(a) ρ=3 m; (b) ρ=6 m

根據散射點運動模型獲得的探測面某點散斑強度隨時間變化的波動信號的仿真結果如圖4（a）所示，對信號進行自相關運算和傅立葉變換得到時間頻譜，圖4（b）（彩圖見期刊電子版）立體展示了散斑時間頻譜帶寬與目標光斑尺寸的關系。聚焦光斑直徑由1.2 mm變為0.2 mm。隨著聚焦效果逐漸增加，散斑場的時間頻譜帶寬明顯增大。仿真結果與理論分析結果相吻合。由此可見，可以從動態散斑頻譜帶寬中獲得的評價因子反饋目標光斑的聚焦效果。

圖4 根據點運動模型探測的動態散斑信號。（a）探測面一定孔徑內的散斑強度波動信號；(b)目標光斑半徑由0.2 mm逐步變為1.2 mm時，對應的散斑功率譜帶寬逐漸縮短。Fig.4 The dynamic speckle signals according to the model of the movement of Scatters.(a) Speckle signal fluctuations.(b)The frequency bandwidth of the power spectra decreases as the target spot size changes from 0.2 mm to 1.2 mm

由于動態散斑強度波動信號在有限的采樣時間內獲得的頻譜輸出結果會存在估計誤差。根據Akhmanov等人[31]對頻譜誤差的研究分析可知，這一誤差主要取決于頻譜GI的分布形態和采樣時間。為減小誤差，首先要求采樣時間盡可能延長，T?1/ωI（其中ωI為頻譜帶寬的截止頻率），即v?bs/T。其次輸出值誤差的方差逐漸逼近GI(ω=0)/T，這表明誤差主要來自于低頻頻譜分量上的波動，因此，為了減小誤差，需要降低低頻貢獻。通過對頻譜圖乘以逐步增大的權重積分求和的方式降低低頻貢獻，獲取散斑評價因子J：

其中βi= 1/(n-i)為權重參數，隨著光譜區域的中心頻率的增大而增大。Δ為通過頻譜圖將輸出結果等分成n份的光譜區域，每個光譜帶的寬度。ωi為每個光譜區域所對應的中心頻率。散斑因子J的探測精度主要取決于權重參數βi。對比單通道獲取的動態散斑時間頻譜，N通道同時采集可以聯合散斑的空間時間統計特性對目標光斑能量進行判斷。對空間不相關的時間頻譜獲得的結果取平均，可以假設誤差εT是隨機和獨立的，重復獨立測量K次，則理論上這種取平均獲得的評價因子測量精度將比單通道提高倍。

另一種方法，在每次采集足夠的信號前提下，對多通道散斑波動信號截斷1/N后連接信號獲取散斑頻譜，將空間與時間統計特性同時融入到回波評價體系中，可以視為在犧牲探測像素的前提下擴大探測空間口徑，以提高散射光場對遠場上光斑質量評價的精度與效率。

根據上述參數設置，在探測面選取兩兩間隔50 mm的4個空間位點，4個單點探測器單次采集2 000個數據，采集100次獨立且隨機的結果取平均，獲得的歸一化評價因子J仿真結果如圖5（彩圖見期刊電子版）所示。其中藍色曲線為單通道獲得的評價因子Jone，紅色曲線對應4個通道結果取平均的評價因子Jave，黃色曲線為多通道信號截斷獲得時間空間頻譜得到的評價因子Jspt。通過對比仿真結果，可以看出動態散斑時間頻譜獲得的評價因子會隨目標光斑聚焦尺寸增加而逐漸減小，符合動態散斑時間頻譜獲得評價因子的理論分析。且評價因子Jave的曲線比單通道的Jone平滑，這驗證了對空間不相關散斑信號結果取平均的精度會有明顯提高；評價因子Jspt結合了散斑場時間空間信息，獲得數值明顯高于利用散斑時間頻譜獲得的評價因子，曲線不僅趨勢與單通道的一樣，而且下降更為明顯。

圖5 評價因子隨目標光斑尺寸變化的仿真結果。目標光斑半徑從0.2 mm變為1.2 mm，間隔為0.01 mmFig.5 Simulation results of the speckle-metric varying with the target spot size from 0.2 mm to 1.2 mm,with an interval of 0.01 mm

為使結果更清晰，在圖5中擬合了評價因子的4次多項式擬合曲線，對比殘差值分析對應評價因子的精度。表1顯示了基本擬合信息，相關系數R2和誤差估計RMSE。相關系數大于0.9認為擬合曲線是正確的。誤差估計的結果證實了4通道獲得的Jave精度將比單通道Jone提高接近2倍，而Jspt精度略低與單通道Jone精度，但是結合時間空間信息的這種方法在獲得相同采樣量時，速度會提高4倍。綜上所述，多點協同獲得的散斑評價因子反饋目標光斑尺寸信息的方法是可行的，且評價因子的精度和效率均有所提高。

值得注意的是，評價因子Jspt數值大于單通道的，這是因為在信號拼接過程中出現了一定的諧波。這種情況會在數據少量時更為明顯，以單通道采集400個數據而4通道單次采集100個數據疊加為例，對比獲得的散斑時間頻譜如圖6（a）（彩圖見期刊電子版）所示，可以看出拼接散斑光強波動的方法在數據量較少時，會使頻譜出現高度突變，類似于諧波。為研究這種情況是否對評價因子的準確性造成影響，4個通道單獨采集100、200、500組數據，分析50次獨立探測取平均的評價因子Jspt隨目標光斑的尺寸變化結果如圖6（b）（彩圖見期刊電子版）所示，歸一化結果顯示，單次采樣數據量充足時，頻譜諧波不影響評價因子的準確度。

圖6 （a）單通道獲得的時間頻譜和4通道獲得的時間空間頻譜。（b）四通道獲得的歸一化評價因子隨目標光斑尺寸的變化Fig.6 (a) Temporal spectrum obtained by a single-channel, and the spatio-temporal spectrum obtained by a four-channel.(b)The normalized speckle-metric obtained by the four-channel varying with the target spot size

表1 擬合信息Tab.1 Fitting results

4 實驗結果

搭建由兩個單點探測器采集激光回波散斑的實驗平臺，如圖7所示，激光經準直擴束和聚焦系統匯聚到旋轉的粗糙目標靶面上，光束質量分析儀探測目標聚焦光斑的共軛面獲得光斑的尺寸信息，攜帶著靶面信息的激光回波由兩個焦距為10 cm的透鏡匯聚到探測面，經兩個Thorlabs單點探測器接收。實驗測量的目標光斑半徑為：0.403 3、0.498 8、0.697 1、0.935 7、1.060到1.233 mm。雙通道結構可以通過后向散射增強效應提高接收信號的信噪比。激光光源的波長為532 nm，通過聚焦系統將光束會聚到7.5 m遠的漫反射目標圓盤上，轉動線速度為1.256 m/s，經漫反射產生的動態散斑場由兩個相同的回波接收系統匯聚到激光光源旁的單點探測器內，兩個探測器間隔10 cm且擺放位置和目標運動方向平行，采樣率均為1 MHz，每組采集106組數據。經計算，目標的截止頻率為6 280 Hz，滿足探測條件。實驗中可以通過調整發射端聚焦系統的焦距，改變目標靶面的聚焦光斑尺寸，并利用分光鏡獲得目標光斑的共軛面，通過光束質量分析儀無接觸探測其艾里斑半徑。對探測器接收的散斑強度波動信號進行濾波、自相關和傅立葉變換，分析通過時間頻譜信號獲得的評價因子與目標光斑尺寸之間的關系。

圖7 兩個單點探測器采集激光回波散斑的實驗平臺Fig.7 Experimental platform for collecting laser echo speckle with two single-point detectors

實驗中通過動態散斑時間頻譜獲得評價因子實驗結果如圖 8（彩圖見期刊電子版）所示，圖 8（a）和 8（b）為兩個單點探測器分別獲得的時間頻譜，x軸代表頻率，y軸代表目標面激光光斑尺寸，z軸代表實驗中獲得的散斑波動信號功率譜。散斑強度波動功率譜的結果曲線顏色分別為紅、黃、綠、藍、靛、紫，依次代表對應目標光斑尺寸為12.33 mm、10.6 mm、9.357 mm、6.971 mm、4.988 mm、4.033 mm。（c）為兩個單點探測器經10次獨立測量取平均獲得的兩組單通道評價因子Jone，圖8(d)對應兩通道的實驗結果取平均獲得評價因子Jave和融合空間時間頻譜的評價因子Jspt。可以看到通過權重獲得的評價因子能夠更直觀地反映出目標光斑的變化，提高了頻譜法監視光斑的精度，同時實驗驗證了動態散斑的時間頻譜帶寬會隨目標光斑尺寸的增加而減小。此外，圖8（c）單通道評價因子的結果在光斑尺寸為0.935 7 mm處存在一跳點，這是因為評價因子是根據散斑的時間統計特性獲得的，存在概率及光束抖動問題。圖8（d）的實驗結果證實了多通道探測的方法可以提高探測精度，和結合空間時間兩個維度的方法獲得的評價因子可以反饋目標光斑尺寸信息，并且使系統的帶寬提高兩倍。

圖8 散斑強度頻譜法實驗結果，（a）和（b）中橫坐標表示強度波動的頻率，縱坐標為兩個探測器獲得的歸一化時間頻譜。（c）兩個單點探測器獲得的評價因子Jone實驗結果，（d）對應兩通道的實驗結果取平均獲得評價因子Jave和融合空間時間頻譜的評價因子Jspt.Fig.8 Experimental results of the speckle spectroscopy method.The horizontal coordinates in (a) and (b) indicate the frequency of intensity fluctuations, and the vertical coordinates are the normalized temporal spectra obtained from the two detectors.(c) Results of the speckle-metric Jone obtained by two point detectors, and (d) shows the speckle-metrics obtained by averaging the two-channel results (Jave) and the spatial-temporal spectrum (Jspt).

5 結 論

本文提出了一種多點協同探測獲取動態散斑評價因子的方法，在充分利用單點探測器高采樣速率前提下增加了空間維度，為解決應用散斑統計特性探測目標信息過程中系統帶寬小、采樣時間長等問題提供了新的思路。4通道協同采集散斑信號，對時間頻譜的仿真結果取平均獲得的評價因子Jave測量精度比單通道提高了2.05倍；而融合時間空間頻譜取平均獲得的評價因子Jspt仿真結果表明，這種以犧牲像素為代價，擴大探測孔徑的方法在保證精度同時可以使系統帶寬提高4倍。此外，實驗驗證了理論與仿真的正確性，兩種方法獲得的散斑評價因子可以監視毫米量級目標的尺寸變化，且多點協同探測方法可以提高散斑評價因子監視遠場目標光斑系統的精度和帶寬。本文將為利用動態散斑評價因子實現閉環實時光束校正的工程應用提供理論依據和數據支撐。