橢圓形平面鏡的高精度面形重構技術

閆公敬，羅 旺，張斌智

（1.齊齊哈爾大學 理學院，黑龍江 齊齊哈爾 161000；2.廣東省季華實驗室，廣東 佛山 528200）

1 引 言

高精度的光學平面鏡被廣泛應用于光刻系統(tǒng)[1-3]、大型地基望遠鏡系統(tǒng)[4-6]及空間光學系統(tǒng)[7]中。橢圓形光學平面反射鏡在上述光學系統(tǒng)中通常被用做45°反射鏡，這種鏡面在大口徑地基望遠鏡中的應用尤其廣泛，例如在美國、中國、日本等國家合作的三十米望遠鏡（Thirty Meter Telescope, TMT）項目中，三鏡是一塊2.5 m×3.5 m的橢圓形平面鏡[4]；在我國12 m大型光學紅外望遠鏡（Large Optical Telescope, LOT）的可能設計方案中，三鏡為一塊1.573 m×1.333 m的橢圓形平面反射鏡[5]。

子孔徑拼接檢測是大口徑光學鏡面檢測的一種通用手段。國內外的眾多學者都對上述方法進行了研究，例如美國QED公司成功研制出了拼接干涉儀，可以對200 mm口徑以內的平面、球面及適度偏離量的非球面完成拼接測量[8-9]；中國科學院上海光學精密機械研究所朱鵬輝、王向朝研究員對平面子孔徑拼接中的累積誤差進行了系統(tǒng)的分析[10]；中國科學院長春光學精密機械與物理研究所（簡稱長春光機所）王孝坤研究員對大口徑非球面次鏡的拼接面形重構方法進行了系統(tǒng)的研究[11-12]。同時國內眾多學者也對拼接鏡的檢測進行了深入研究[13-15]。在上述子孔徑拼接測量中，參考鏡的面形誤差被忽略不計，然而，在進行光刻系統(tǒng)元件檢測、大型望遠鏡鏡面面形檢測等高精度光學元件面形檢測時，需要在檢測結果中分離標準鏡誤差。針對上述檢測要求，美國亞利桑那光學中心蘇鵬博士提出了一種最大似然估計算法模型，實現(xiàn)了1.6 m圓域光學平面鏡的絕對檢測[16]；長春光機所蘇東奇博士提出了一種旋轉平移絕對檢測算法，實現(xiàn)了光刻系統(tǒng)中圓域平面鏡的絕對檢測[17]；山東大學楊忠明博士提出了一種基于高階旋轉平移算法的大數值孔徑圓域球面鏡絕對檢測算法，實現(xiàn)了高數值孔徑圓域球面反射鏡的高精度測量[18-19]。

上述面形重構算法主要可以分為兩類，一類是在忽略了參考鏡面形誤差的情況下實現(xiàn)待測鏡的面形重構，該方法要求參考鏡面形誤差相比與待測鏡面形誤差可以忽略不計；另一類則是考慮了參考鏡面形誤差不可忽略的情況，然而待測鏡需為圓域鏡面。這為上述兩類算法的應用帶來了一定的局限性。本文所述的面形重構算法可以在參考鏡面形精度不高的情況下實現(xiàn)待測鏡的面形重構，本文在第三部分的模擬計算中對該類情況進行了仿真計算；同時，在參考鏡面形精度較高但是不可忽略的情況下，也可對橢圓域鏡面實現(xiàn)高精度面形重構，在本文第四部分實驗部分著重對上述結果進行了分析。

本文的具體安排如下，在本文的第二部分，詳細介紹了上述方法的理論模型；第三部分，在參考鏡面形精度不高時對本文算法的擬合精度進行了分析；第四部分對上述方法的可行性與檢測精度進行了實驗分析，驗證本方法的實際檢測效果；第五部分給出了文章的相關結論。

2 橢圓域平面鏡絕對檢測算法模型

2.1 正交化算法模型

標準Zernike多項式在光學設計及檢測中通常被應用于圓域鏡面的描述與表征，而在非圓域鏡面的描述中，由于上述多項式的非正交性質，往往會導致擬合偏差大，擬合精度低等問題。在本文所述的橢圓形平面鏡絕對檢測算法中，首先需要利用正交化擬合算法對Zernike多項式在檢測域進行正交化擬合，利用橢圓域正交化多項式對檢測面形進行表述求解[20-21]。

考慮{Fi}為橢圓域內的一組正交多項式，它可以表示為一組標準Zernike多項式的線性組合：

其中Mij是轉換矩陣，J是多項式擬合階數；由于{Fi}在橢圓域內正交，其應該滿足：

其中δij為克羅內克函數。在式(1)兩邊分別乘以Zk，可以得到：

其中i,k分別為橢圓域內正交化多項式{Fi}與標準Zernike多項式{Zk}的序號，i,k=1,2,···J。式(3)可以表示成：

其中CZF與CZZ均為J×J階矩陣，對于一個橢圓比例系數為b的橢圓域，矩陣CZF與CZZ中元素c可以通過下式求得：

在求得了矩陣CZF與CZZ后，矩陣Mij即可通過式(4)求解得到，即由式(1)得到了橢圓域內的正交多項式{Fi}。

2.2 絕對檢測面形重構算法

對于大口徑平面鏡絕對檢測，通常其參考鏡為標準圓域鏡面，參考面面形誤差可以表示為：

對于待測鏡，其面形誤差可以表示為：其中，Wt與Wr分別為待測鏡與參考鏡的面形誤差，ai與bi分別為擬合多項式系數，k與m為多項式擬合階數；對于一幅子孔徑干涉檢測結果，其可以表示成下式：

其中D1為子孔徑1檢測結果相位值，為相位值中可以用多項式解析描述的部分，residuals為檢測結果中不能用多項式解析描述的殘差部分，a5～ak為檢測鏡面橢圓域內的正交化多項式{Fi}系數，b5～bm為參考鏡面圓域內的Zernike多項式{Zi}系數。通過最小二乘擬合算法求解式(9)的最小值，即可分別求得待測鏡多項式擬合系數a5～ak與參考鏡多項式擬合系數b5～bm，從而求解得到待測鏡與參考鏡的面形結果。

3 理論模擬

為了驗證本文算法在參考鏡面形精度不高的情況下對待測鏡的面形重構精度，本文開展了相關的理論模擬計算。模擬計算中，利用150 mm口徑參考平面鏡對250 mm×300 mm橢圓形平面鏡進行模擬檢測，共進行了9個檢測子孔徑規(guī)劃，如圖1所示。利用上述9個子孔徑可以實現(xiàn)對待測鏡面的全口徑覆蓋。

圖1 檢測子孔徑規(guī)劃圖Fig.1 Arrangement of subapertures

模擬中，設置參考鏡的面形誤差RMS值為100.01 nm；如圖2所示。待測鏡的面形精度RMS值為104.32 nm，如圖3所示。參考鏡與待測鏡的面形輸入結果屬于參考鏡面形精度較差的情況。

圖2 參考鏡面形誤差Fig.2 Surface error of reference mirror

圖3 待測鏡面形誤差Fig.3 Surface error of the mirror to be measured

結合本文所述的絕對檢測算法，完成了參考鏡與待測鏡的面形重構，其中參考鏡面形重構結果如圖4所示，其面形RMS值為98.13 nm；待測鏡的面形重構結果如圖5所示，面形RMS值為104.86 nm。由圖2與圖4的對比及圖3與圖5的對比結果可以發(fā)現(xiàn)，利用本文算法可以在一定精度內實現(xiàn)對待測鏡的面形重構，二者重構面形誤差分布一致。為了更好地評價本文算法對鏡面面形的重構精度，分別對待測鏡及參考鏡計算了擬合殘差（即初始面形與重構面形的殘差值），其中參考鏡面形擬合殘差結果如圖6所示，其殘差RMS值為6.58 nm，待測鏡面形擬合結果如圖7所示，其殘差RMS值為3.24 nm。可以看出，利用本文所述算法可以實現(xiàn)對待測鏡的面形重構。

圖4 參考鏡面形重構結果Fig.4 Surface reconstruction map of reference mirror

圖5 待測鏡面形重構結果Fig.5 Surface reconstruction map of the mirror to be measured

圖6 參考鏡擬合殘差Fig.6 Surface residual map of reference mirror

圖7 待測鏡擬合殘差Fig.7 Surface residual map of the mirror to be measured

4 實驗驗證

為了驗證本文所述橢圓形鏡面絕對檢測算法的可行性與檢測精度，開展了相關的絕對檢測實驗。實驗開展于2021年2月，實驗地點為長春光機所光學中心檢測實驗室，實驗裝置如圖8所示。實驗中利用3D打印制作一個250 mm×300 mm的橢圓形光闌，將其覆蓋在Φ300 mm口徑Zygo標準平面鏡頭上，形成250 mm×300 mm的橢圓形待檢測區(qū)域。利用Zygo Φ150 mm口徑干涉儀對上述橢圓形檢測區(qū)域進行干涉測量。

為了實現(xiàn)待測鏡的全口徑面形重構，檢測時規(guī)劃了9個測試子孔徑，規(guī)劃路徑如圖1所示。利用上述9個子孔徑可以實現(xiàn)對待測鏡面的全口徑覆蓋。9個子孔徑干涉檢測結果如圖9（彩圖見期刊電子版）所示。

圖8 實驗裝置圖Fig.8 Experimental setup

圖9 子孔徑測試結果Fig.9 Measured subapertures

在采用絕對檢測算法進行面形重構時，采用79階橢圓域內正交化Zernike多項式描述待測鏡，采用79階標準圓域內Zernike多項式描述參考鏡面，圖10給出了橢圓域檢測鏡面面形重構結果，圖11給出了參考鏡面面形重構結果。

圖10 測試鏡面形重構結果Fig.10 Reconstructed full aperture map of the elliptic surface

圖11 參考鏡面形重構結果Fig.11 Reconstructed surface map of reference mirror

從圖10中可以看出，測試鏡面PV值與RMS值分別為0.126λ和0.011λ（λ=632.8 nm），由圖11可以看出，參考鏡面的PV值與RMS值分別為0.045λ和0.005λ。由圖10與圖11可以看出，基于本文所述算法可以同時重構出待測鏡與參考鏡的鏡面面形。為了進一步評價本文算法的性能與精度，計算了每一個子孔徑測試結果與拼接結果的殘差圖（在圖9所示子孔徑檢測數據中去除待測鏡面形重構結果與參考鏡面形重構結果）如圖12所示。

圖12 子孔徑檢測結果與拼接結果殘差圖Fig.12 Difference maps between each subaperture map and its corresponding stitching map

由圖12可以看出每一幅子孔徑檢測數據對應的殘差圖，其RMS值均小于0.5 nm，證明了本文所述算法的精度較高。同時也計算了面形重構時各子孔徑檢測數據重疊區(qū)域的數據偏差（偏差數據去掉了各子孔徑間的相對調整誤差），計算結果如圖13所示。

圖13 子孔徑重疊區(qū)域偏差結果Fig.13 Subaperture variations

從圖13可以看出，重疊區(qū)域子孔徑偏差結果的RMS值為0.29 nm，這說明了各子孔徑重疊區(qū)域數據的一致性。

本文還對比了橢圓域正交化擬合算法與傳統(tǒng)絕對檢測算法[13]（標準圓域擬合算法）的面形重構精度。在傳統(tǒng)絕對檢測算法中，參考鏡面與待測鏡面均采用標準圓域Zernike多項式進行擬合重構計算。

利用傳統(tǒng)絕對檢測算法，可以重構出待測鏡面形，結果如圖14所示，參考鏡面形結果如圖15所示。

圖14 傳統(tǒng)算法測試鏡面形重構結果Fig.14 Reconstructed testing elliptic surface map with the standard Zernike polynomials fitting method

為了進一步比較本文所述的橢圓域絕對檢測算法與傳統(tǒng)拼接算法的拼接精度。計算了應用傳統(tǒng)絕對檢測算法后，每一個子孔徑測試結果與拼接結果的殘差圖，如圖16所示。

由圖16可以看出，利用傳統(tǒng)絕對檢測算法檢測時，每一幅子孔徑檢測數據對應的殘差圖，其RMS值在0.53 nm到0.68 nm間，對比圖12，與本文所述橢圓域絕對檢測算法相比，對應子孔徑殘差結果相對較大。同時還計算了傳統(tǒng)絕對檢測算法進行面形重構時各子孔徑檢測數據重疊區(qū)域的數據偏差，計算結果如圖17所示。

圖15 傳統(tǒng)算法參考鏡面形重構結果Fig.15 Reconstructed reference surface map with the standard Zernike polynomials fitting method

圖16 子孔徑檢測結果與傳統(tǒng)絕對檢測結果殘差圖Fig.16 Difference maps between each subaperture map and its corresponding stitching map using the traditional method

從圖17可以看出，利用傳統(tǒng)絕對檢測算法進行面形重構時，其子孔徑重疊區(qū)域偏差結果RMS值為0.32 nm，高于本文所述橢圓域絕對檢測算法偏差值，這進一步說明本文所述算法可以更好地實現(xiàn)橢圓域平面反射鏡面形的高精度重構。

圖17 傳統(tǒng)算法子孔徑重疊區(qū)域偏差結果Fig.17 Subaperture variations with the traditional method

5 結 論

本文根據現(xiàn)代先進光學系統(tǒng)中對大口徑橢圓形平面光學元件高精度檢測的要求，提出了一種橢圓域絕對檢測算法，并介紹了該算法的原理。論文算法的創(chuàng)新點主要體現(xiàn)在兩個方面：首先可以在參考鏡面形精度不高時實現(xiàn)對待測鏡的干涉測量，在模擬部分對檢測結果精度分析進行了詳細的說明；其次，可以在參考鏡面形精度較高，但是相較于待測鏡要求精度不可忽略的情況下，對橢圓域平面鏡面形誤差實現(xiàn)高精度重構。利用本文所述算法可以同時實現(xiàn)參考鏡面與橢圓域待測鏡面的面形重構，從而實現(xiàn)二者面形誤差的有效分離，完成對待測鏡面的高精度面形重構。為了驗證本文所述算法的準確性與精度，開展了橢圓域平面鏡面絕對檢測實驗，實驗中利用Φ150 mm Zygo標準鏡面作為參考鏡面，對Zygo250 mm×300 mm橢圓域標準鏡面完成了絕對檢測，面形重構結果中測試鏡面其PV值與RMS值分別為0.126λ和0.011λ（λ=632.8 nm），參考鏡面的PV值與RMS值分別為0.045λ和0.005λ。子孔徑測試結果與拼接結果殘差圖的RMS值均小于0.5 nm，子孔徑檢測數據重疊區(qū)域的數據偏差RMS值為0.29 nm，均優(yōu)于傳統(tǒng)絕對檢測算法所實現(xiàn)的標準鏡面與待測鏡面面形重構結果。驗證了本文算法的可靠性與精度。