在對比中明晰方法 在反思中深化概念
——“平均數”教學分析

吳 青

（南通師范學校第二附屬小學，江蘇 南通 226001）

“平均數”是四年級上冊統計單元中的內容，需要學生在經歷用平均數反映一組數據總體水平的過程中，體會平均數的意義，掌握求簡單平均數的方法，并能夠運用平均數解決生活中的簡單實際問題。

平均數是刻畫一組數據集中趨勢的一個統計量，它能夠比較客觀地反映出一組數據的總體水平，因此平均數在生活和生產中的應用非常多，比如平均成績、平均溫度、平均產量、平均年齡等。學生以后還將學習到中位數和眾數這兩個統計量，平均數是學生學到的第一個統計量，也是最為常見、應用范圍最廣、內涵最為豐富的一個統計量。

所以教師要關注平均數的教學，讓學生深刻認識平均數的特點，理解平均數的內涵，掌握平均數的計算方法，并能夠靈活地運用平均數來解決生活中的實際問題。

一、創設比賽情境，激活生活經驗

平均數是怎樣產生的？人們為什么要用平均數來表示一組數據的總體水平？

我們知道，數學知識都來源于生活實踐，是人們對生活現象的分析和對實際問題思考的結晶。統計知識與生活的聯系尤其緊密，我們在生產生活中經常會用到統計的方法來收集、整理、分析和描述數據，平均數更是在對兩組數據進行比較的過程中產生出來的。所以教師在教學平均數的知識時，要創設優化的數學情境，讓學生在情境中分析實際問題，感悟平均數的產生，理解平均數的意義，掌握平均數的計算方法，體會平均數的應用價值。

教材中安排了這樣的例題：四年級第一小組的男、女生進行套圈比賽，每人套15 個圈。隨后用兩張條形統計圖分別給出男、女生套中的個數（如圖1），接下來讓學生思考，“男生套得準一些還是女生套得準一些？你想怎么比？”

圖1

這道例題是以男女生套圈比賽為素材，學生對于套圈游戲都是非常喜歡的，所以例題的素材貼近學生的生活，能夠引起學生的共鳴，活躍課堂氣氛，激發學生的學習興趣。

在課堂教學時，教師可以創設生動有趣的比賽情境，以教材中提供的套圈比賽為素材，選出4 個男生和5 個女生來進行套圈比賽。教師可以在課堂上現場開展比賽，記錄數據，用學生套圈的實際數據替換教材中例題的數據，現場生成實際問題。這樣的情境創設，會讓學生感覺更有真實感，更能激發學生的學習興趣和探究欲望，也更能真切地認識到平均數的應用價值。但是，現場進行套圈比賽，會占用較多的課堂教學時間，可能會來不及完成教學任務。同時，現場生成的套圈數據，在計算平均數時可能會出現有余數的情況，這時課上更改數據顯得有些弄虛作假、不真實，違背了統計的真正價值，而不改數據又會出現余數，讓教師陷入尷尬的境地。所以，課上現場進行套圈比賽的做法，出發點很好，但是不太現實。

因此，可以在課前組織學生開展套圈比賽，記錄數據，然后課上分析數據。由于數據是課前記錄的，教師可以對個別數據進行調整，確保在計算時不出現問題。同時可以拍一段套圈比賽的視頻片段，在課堂開始的導入部分播放，引發學生對課前比賽場景的回顧，從而創設出一個比賽的生活情境，讓學生在優化的情境中進行探究，從而激發他們的學習興趣和探究欲望。

二、對比呈現數據，激發學生思考

教材中的例題，以條形統計圖的形式分別給出了男生和女生套圈的個數，然后讓學生思考，“男生套得準一些還是女生套得準一些？你想怎么比？”

在教學中一般都是將男、女生的數據全部呈現出來，然后讓學生進行思考、討論，下面是課堂教學的一個片段：

【片段一】

師：同學們，現在老師請你們來當小裁判，請你判斷一下，在這次比賽中是男生套得準一些，還是女生套得準一些？

生1：我覺得是女生套得準一些，因為女生中的吳×套中了10 個，套中的個數最多。

生2：我不同意，套中最多的是女生，最少的也是女生，劉×和沈×都只套中了4 個，所以我覺得不能認為女生套得準一些。

師：我們只比某一個人套中的個數，就來判斷是女生套得準一些，你們覺得合理嗎？

生：不合理。

師：那么應該怎么判斷呢？

生3：男生的幾個人套中的個數比較接近，水平差不多，而女生套中的個數相差較大，所以我覺得男生套得準一些。

生4：我不同意。我算了一下，男生一共套中了28 個，而女生一共套中了30 個，女生套中的個數比男生多，所以我覺得女生套得準一些。

師：女生套中的總數比男生多，所以認為女生套得準一些，你們同意嗎？

生5：不同意，因為男生和女生的人數不相等。男生只有4 個人，而女生有5 個人。

師：這位同學真會觀察，發現了男女生人數不相等，那么比總數公平嗎？

生：不公平。

師：比某一個人套中的個數不合理，人數不相等時比總數也不公平。那么怎樣比才公平呢？

在這個教學片段中，學生通過觀察男、女生的套圈數據，分別提出了比某一個人套中的個數、比數據之間的差異、比套中的總數等幾種比較方法，但都被否定掉了，于是他們繼續討論、研究。

教過這個內容的教師都知道，要讓學生通過自己的研究，得到“比較平均每個人套中的個數”這種方法，是非常困難的，需要教師給予一定的提示、引導。所以，也有教師把這個難點分散，分成幾次來進行比較，逐步得出最終的方法，我們來看下面的教學片段：

【片段二】

第一場比賽：男生4 人，每人都套中7 個；女生4 人，每人都套中6 個。

讓學生比較，很顯然是男生套得準一些。

第二場比賽：男生4 人，套中的個數分別為6、9、7、6；女生4 人，套中的個數分別為10、4、7、5。

學生發現，男生一共套中了28 個，女生一共套中了26 個，男生套得準一些。

第三場比賽：女生隊又增派了一個同學，套中4 個，這時女生隊能贏嗎？

生1：現在女生一共套中了30 個，比男生多，所以女生隊贏了。

生2：不同意，男生只有4 個人，而女生有5個人，人數不相等，所以這樣比較總數不公平。

師：對啊，現在男女生人數不相等，比總數就不公平了，那應該怎么比較呢？

生3：我們可以讓男生隊也再增派一個同學，這樣大家都是5 個人，就可以比較總數了。

師：這是一個辦法，不過，現在男生就是4個人，不能增加人數，怎么辦呢？

生4：我想，能不能像第一場比賽那樣，把男生4 個人套中的個數都變得一樣多，把女生5 個人套中的個數也都變得一樣多，這樣就可以比較了。

師：你想得真好！把男生4 個人套中的個數都變得一樣多，這時候的個數就是男生平均每人套中的個數。

在這個教學片段中，教師把學生思考的難點進行了分解，先后進行了三場比賽，學生逐漸意識到，當人數不相等時，可以把每個人套中的個數變得一樣多，這樣就可以比較了。此時，平均數的概念已經呼之欲出，接下來再引出“平均數”的概念也就水到渠成了，學生對平均數也會有更加深刻的認識。

上面這兩種不同的教學方法，有著各自的特點。對于片段一的教學方法來說，教師幾乎完全放手讓學生進行討論、研究，教師要做的工作就是及時引導學生對提出的比較方法進行深入反思、質疑，從而不斷的否定，最終逐步得出正確的比較平均數的方法。在這個教學過程中，學生是課堂的主人，是學習的主體，學生的積極能動性得到了充分地展示。但是，研究的難度很大，所以中間需要經過比較長時間的討論、糾結，才能慢慢得出正確的方法。

而對于片段二的教學方法來說，學生在這三場比賽的指引下，能夠比較輕松的得出用平均數來比較的方法，但是，教師所安排的這三場比賽，帶有非常明顯的暗示性，學生獨立思考的成分不高，學生的主體性沒有得到充分體現。

在教學中，我們可以兼顧以上兩種方法，既保證學生的學習主體性地位，又能有效的縮短學生思考的時間，讓學生少走彎路，節省寶貴的課堂教學時間，達到最佳的教學效果。

三、探究計算方法，深刻理解內涵

平均數是把一組數據變得一樣多之后得到的數據，要想把一組數據變得一樣多，我們用的最多的方法就是移多補少，即把較大的數據移一部分給較小的數據，最終使得它們同樣多；同時，我們也可以把所有的數據全都合并起來，再進行平均分，從而確保所有的數據都一樣多。因此，我們求一組數據的平均數，也就有移多補少和先合后分這兩種不同的方法，教材中的例題，也在引導學生分析的基礎上，給出了這兩種解答方法。

（一）抓住平均數的內涵理解移多補少法

移多補少法，就是把一組數據中較大的數據移一部分給較小的數據，經過這樣的幾輪操作之后，最終使得它們全都變得同樣多，這個同樣多的數據就是這組數據的平均數。這種方法和平均數的內涵是完全一致的，是平均數內涵的直接體現。在教學時，我們要始終抓住平均數的內涵，幫助學生深刻理解移多補少，加深對平均數內涵的認識。

在教學例題時，當學生說出要把4 個男生套中的個數都變得一樣多，也就是要得到男生平均每人套中的個數，可以讓學生想一想，怎么才能把每個男生套中的個數變得一樣多？學生通過思考和討論交流之后發現，把多的移給少的，這樣就可以變得一樣多了，這就是移多補少的實質。我們一定要讓學生自己動手操作，經歷移多補少的過程，加深對移多補少方法的理解，同時能更加深刻地認識平均數的內涵。

課堂上，筆者給學生提供可操作的學具，在男生套圈統計圖上用棋子表示數量的多少，棋子可以隨意移動，學生通過親手移一移，并最終把男生套中的數據變得一樣多，感受平均數的涵義。同時，棋子移動之后，統計圖上會留下棋子初始位置的痕跡，也就是原始數據，通過這些初始痕跡，幫助學生理解剛才的移動并不是把這些棋子真正拿走，而僅僅是采用“移多補少”的方式得到平均數，移多補少的過程是一個虛擬的過程，每個男生套中的個數仍然是原來那么多，并沒有變多，也沒有變少，我們只是假想著把他們變得一樣多而已，從而認識到平均數與真實數據的區別。

通過移多補少的操作過程學生發現，把最多的移給最少的，經過幾次操作之后才變得一樣多，得到平均數，所以平均數一定比最多的數據要小，比最少的數據要大，平均數在最大數與最小數之間。而且原始數據中一定有一部分數據比平均數大，還有一部分數據比平均數小，平均數處于原始數據靠近中間的位置，這才是“平均”的真正涵義。

此外，把超出平均數的那部分棋子移到比平均數少的數據上去，因此在一組數據中，比平均數多的部分和比平均數少的部分應該正好相等。這個規律，在有些思考題中有著獨特的作用。比如這道題目：“兩組學生進行跳繩比賽，平均每人每分鐘跳152 次。甲組有學生6 人，平均每人每分鐘跳140 次。如果乙組學生平均每人每分鐘跳160 次，那么乙組有學生多少人？”用常規的思路，這道題目需要用方程來解答，而且方程比較復雜，解方程的過程也很麻煩。如果從平均數“移多補少”的內涵來分析這道題，就簡單多了。甲組學生的平均數比兩組的總平均數要少，那么甲組一共比平均數少跳的次數，應該就正好等于乙組一共比平均數多跳的次數，因此列式為（152-140）×6÷（160-152），從而可以方便的求出乙組有學生9 人。

抓住平均數的內涵來理解移多補少法，不僅可以直觀的得到平均數，而且還能讓學生更深刻的理解平均數的內涵，認識平均數的特點。

（二）緊扣平均數的本質掌握先合后分法

通過移多補少的操作來得到平均數的方法，比較適合于數據比較少，并且數據之間相差不大的情況，如果一組數據比較多，或者數據之間相差較大，這時移多補少法就比較麻煩了，所以需要采用計算的方法。

課堂教學時，在學生采用移多補少的方法得到男生套中的平均數之后，讓學生繼續思考，有沒有其它方法可以得到男生的平均數了？除了移多補少之外，還有什么方法可以使得男生套中的個數都變得一樣多？對了，在平均分的時候，分得的每一個數量全都一樣多。因此我們可以把男生套中的個數全都合并在一起，然后再平均分，這樣就會變得一樣多。這就是先合后分的計算方法，是計算平均數時最常用的方法。

計算之后，引導學生回顧反思先合后分的計算過程，理解平均分得到的數量一樣多，也就符合平均數的內涵要求，體會平均數概念中的“平均”二字，與平均分中的“平均”之間的聯系，從而加深對平均數內涵的理解，進一步掌握先合后分的計算方法。

（三）通過對算法的對比加深對平均數內涵的認識

移多補少和先合后分這兩種方法都可以得到一組數據的平均數，但是它們的側重點各不相同，在學生掌握了兩種方法之后，我們需要對這兩種方法進行對比分析，從而幫助學生加深對平均數內涵的認識，更加熟練地掌握這兩種方法。

移多補少是用操作的方法得到一組數據的平均數，它適用于數據的個數比較少且數據之間相差不大的情況，如果數據比較多或者數據之間相差較大時，移多補少的過程就會比較麻煩，但是先合后分的計算方法對于任何情形都是適用的，只不過當數據較大時，計算會稍微麻煩一些。所以在遇到實際問題時，我們要根據數據的特點靈活選擇合適的方法，在分析課堂練習題時，一定要讓學生掌握判斷的方法，選擇最簡便的方法來得到平均數。

既然先合后分的計算方法能夠適用于任何情形，而移多補少法有較多的局限性，那么以后是不是就可以全都采用先合后分法來計算平均數，甚至在教學時也沒有必要再分析移多補少法了，這樣不是能夠節省一些教學時間？其實不然，在有些情況下，采用移多補少的方法還是比先合后分法要簡便一些。同時先合后分法重在結果，而移多補少法重在過程，在移多補少的操作過程中，學生能夠直觀地看出一組數據的平均數一定在最大數與最小數之間，一組數據中一定有一些數據比平均數大，也有一些數據比平均數小，而且比平均數多的部分與比平均數少的部分恰好同樣多。對于平均數的這些特點，先合后分的計算方法無法直觀地發現，只有在移多補少的過程中才能直觀地看出，所以在教學時，我們應該要兩種方法并重，而在解決實際問題時，要靈活選擇合適的方法來得到平均數。

（四）兩種方法的融合提升

先合后分法只是純粹的機械計算，而移多補少法則注重過程的技巧性。如果實際問題中遇到5623、5625 和5618 這三個數時，移多補少法只關注三個數據之間的差，而無需理會這三個數有多大，采用移多補少法的過程與23、25和18 這三個數是一樣的，但是采用先合后分法時，在計算方面就會稍微麻煩一些。

所以許多時候，我們會把兩種方法結合起來，兼顧兩種方法的優點，采用更加靈活方便的計算方法。比如上面的三個數，我們發現它們都超過5600，因此可以把超過5600 的部分截取出來，為23、25 和18，用先合后分法先計算這三個數的平均數是22，然后再加上5600，就可以得到原來三個數的平均數是5622。這種方法類似于移多補少法那樣只關注條形統計圖中數據直條頂端的差異，而暫時舍棄同樣長的直條部分，同時又采用了先合后分的計算，把兩種方法完美的融合在一起，使得我們的計算更加簡便，更加靈活。

四、拓展引申對比，深化概念認知

在四年級上冊，學生認識了平均數，知道可以用平均數來刻畫一組數據的集中趨勢，反映一組數據的總體水平。以后學生還會再認識中位數和眾數。平均數、中位數和眾數是比較常見的三個統計量，它們有各自的特點，在實際應用中有各自的使用場合。

對于四年級學生來說雖然還沒有學到中位數和眾數的知識。但是作為教師，我們需要對平均數、中位數和眾數這三個統計量的各自特點以及它們之間的區別非常熟悉，這樣才能在教學平均數時，引導學生正確認識平均數的特點，深刻理解平均數的內涵，從而為以后能夠比較輕松的將中位數和眾數融入到自己的知識體系中，對這三個統計量有更加深刻地認識。

根據以上的對比分析，在平均數教學時，我們要讓學生認識到平均數的特點，知道平均數的存在性、唯一性、虛擬性與易變性，知道平均數和每一個數據都有關系，能夠反映一組數據的整體水平。同時也要引導學生認識到，盡管每個數據的變動都會引起平均數的變動，但是當個別數據變動較大時，平均到每個數據上之后，平均數的變動相對比較小，因此平均數可以弱化個別數據的影響，這也是生產、生活中廣泛運用平均數的一個原因。

平均數在生活和生產中的應用非常廣泛，在課堂教學中，我們通過創設優化的生活情境，引導學生經歷用平均數描述數據特征的過程，逐步掌握平均數概念的內涵、熟悉平均數的特點，能夠熟練計算一組數據的平均數，從而更好的解決生活中的實際問題。