基于混沌壓縮感知和DNA編碼的多圖像加密算法

杜鑫昌，高瑜翔，曹遠杰，涂雅培，吳美霖

(成都信息工程大學 通信工程學院(微電子學院)，四川 成都 610225)

0 引言

隨著互聯網技術的快速發展，5G技術開始逐漸進行商用。人們進行信息交換的媒介也在發生著巨大的變化，從最初的文本信息逐漸過渡到圖像信息和視頻信息，從而使信息傳遞過程中所占據的信道帶寬與信息占據的存儲空間也越來越大[1]。另外，隨著人們越來越頻繁地進行信息交流，如何保證信息的安全性也是所面臨的重要問題[2-3]。

傳統的加密算法已不再適用于加密數據量大、冗余度高和相關性強的數字圖像信息[4-5]。20世紀70年代發展起來的混沌理論為加密算法提供了新的方向，混沌系統的初值與參數極端敏感性、非周期性和長期演化軌道的不可預測性與圖像加密系統的密鑰敏感性、密文呈噪聲特性和明文敏感性等特性相對應，因此基于混沌系統的密碼產生算法在圖像加密中的應用受到了極大的關注[6]。低維混沌系統雖運行速度快、運行效率高，但系統初始值少，密鑰空間較小、安全性能較低。高維混沌系統雖然安全性能較高，但由于系統較復雜，故運行效率低[7]。因此，為改善加密方案的性能，需要與其他的加密算法相結合。

DNA編碼技術是密碼學與生物技術相結合的新型研究領域。DNA序列不僅組合規則多樣，而且還存在著較高的并行性以及信息存儲密度高等優點[8-9]。因此將DNA編碼技術與混沌加密系統相結合能夠有效地改善加密方案的性能。壓縮感知(Compressed Sensing,CS)[10-11]作為一種新的信號采集方法，在遠低于奈奎斯特采樣頻率的情況下，可以從采樣過程中精確地重建原始信號[12]。對比傳統的采樣方法，壓縮感知在相同采樣值的情況下可以恢復更多的信息。近幾年來，基于壓縮感知的圖像加密方案的研究是圖像加密領域的研究熱點之一。

為此，本文提出了一種基于混沌壓縮感知與DNA 編碼的多圖像加密算法。通過混沌方程產生的偽隨機序列，構建壓縮感知受控測量矩陣及DNA運算規則序列，同時對多幅加密圖像進行壓縮加密并合并為一幅密文圖像，在保證信息安全性的前提下，極大地增加了帶寬利用率，節省了存儲空間。所以，基于混沌壓縮感知與DNA編碼圖像加密技術具有很好的應用前景。

1 基礎知識

1.1 壓縮感知

壓縮感知是一種新興的信息獲取與處理理論，最早由文獻[12]提出。在遠低于奈奎斯特采樣頻率的情況下，從采樣樣本中精確地重建原始信號。

壓縮感知的核心思想主要包括3個方面：

(1) 信號的稀疏表示

通常信號都是在時域或者空域中來表示，也可以在其他變換域中通過一些少量元素的組合來近似地表示該信號。信號的稀疏表示是壓縮感知理論的先驗條件，壓縮感知采集處理的信號必須是稀疏的。常見的信號稀疏基包括正(余)弦基、小波基以及chirplet基等[13]。

本文提出的加密方案中采用小波基對圖像做稀疏處理，小波圖像將圖像信號轉化為高頻和低頻部分，最低頻的部分給出了圖像的一個粗略尺度近似，然而高頻成分填充了圖像的細節部分。以標準測試圖像Lena作為測試圖像，如圖1所示,稀疏圖像中圖像的絕大部分信息分布在左上角部分，其余部分的像素值灰度值幾乎為零。不同剪切率下的稀疏圖像的重建圖像的峰值信噪比(PSNR)如表1所示。由表1可知，選擇性地舍去黑色部分的區域對于信號重構的質量影響不大。因此，將多幅不同的密文稀疏圖像剪切合并為一幅稀疏圖像，就可以達到多圖像合并壓縮的效果，如圖2所示。

(a)剪切率為0

(b)剪切率為0.5

(c)剪切率為0.75

表1 不同剪切率下重構圖像質量分析

(a)合并2幅圖像

(b)合并4幅圖像

(2) 編碼測量(采樣過程)

測量矩陣影響了信號采樣壓縮復原的效果。測量矩陣包括確定性測量矩陣和隨機測量矩陣。隨機矩陣中的高斯矩陣和伯努利矩陣都能夠滿足約束等距條件(RIP)。

RIP定義：定義測量矩陣A的RIP參數δk為滿足式(1)的最小值δk[10]：

(1)

式中，x為K稀疏信號。若δk<1，則稱測量矩陣A滿足K階RIP[10]。

但是，隨機矩陣的不確定性和傳輸存儲過程中占據較大的空間等缺點，難以在實際運用中使用。確定性測量矩陣可以很好地克服這些不足，因此很多研究學者利用其他技術在構造受控的測量矩陣，例如Dimakis,Smarandache和Vontobel利用LDPC校驗矩陣來構建測量矩陣；劉鑫吉、夏樹濤采用陣列碼構造測量矩陣；LeiYum,Jean Pierre Barbot采用混沌序列構造測量矩陣[14]。

(3) 恢復算法(非線性)

壓縮感知的重構問題的求解是一個非凸優化問題，屬于NP難問題。由低維M維的矢量求解高維N維的矢量，是一個欠定問題的求解。常見的壓縮感知恢復算法包括：匹配追蹤算法、正交匹配追蹤算法、分段正交匹配追蹤算法和壓縮采樣匹配追蹤算法等來重構原始信號[13]。

1.2 混沌映射

1.2.1 超混沌Lorenz系統

超混沌Lorenz系統是Lorenz混沌系統的一種演變。主要定義如下：

(2)

當a=-10,b=8/3,c=28且-1.52≤r≤-0.06時，系統處于超混沌狀態。

1.2.2 Chen氏超混沌系統

陳氏混沌系統與Lorenz系統相似，但不拓撲等價而且更加復雜。定義如下：

(3)

式中，a，b，c，d，k是系統參數，a=36，b=3，c=28，d=16，-0.7≤k≤0.7。Chen系統進入超混沌系統，可以生成4條混沌序列。

1.3 DNA基本理論

在生物學中，每條DNA分子鏈包含4種核酸堿基：A，C，G，T。其中，堿基A與堿基T互補，堿基C與堿基G互補[15]。通過規定A，C，G，T分別編碼為00，01，10，11，這樣的編碼方案有24種，但是只有8種編碼方案滿足Watson-Crick規則[15]，如表2所示。

表2 DNA編碼方案

對應于8種DNA編碼規則，也分別存在8種加法、減法以及異或運算規則。任何一個堿基在每行每列都是唯一的，即序列的運算結果也是唯一的。表3，表4和表5分別介紹了DNA編碼的運算方案。

表3 DNA加法運算方案

表4 DNA減法運算方案

表5 DNA異或運算方案

1.4 安全散列算法

安全散列算法是一個密碼散列函數家族，包括SHA-1,SHA-224,SHA-256,SHA-384和SHA-512。本文采用SHA-256哈希函數用于圖像加密系統混沌系統初始值的生成，通過把消息或數據壓縮成摘要，使得數據量變小，將數據的格式固定之后打亂混合，重新創建一個散列值的指紋。對于任意長度的數據，SHA-256都會產生一個256 bit的二進制哈希值,任何一個輸入數據的改變，都會使生成的哈希值發生很大的改變,所以SHA-256具有較高的安全性[16]。本文通過隨機選取一幅圖像數據作為哈希函數的輸入，然后將生成的256 bit二進制密鑰分為8塊的十六進制字符串,表示為：

H=(h1,h2,h3,h4,h5,h6,h7,h8)。

(4)

加密系統中超混沌Lorenze混沌系統的初始值r為：

(5)

2 總體加密方案

總體加密方案如圖3所示，輸入加密圖像通過SHA-256函數生成系統密鑰，通過密鑰計算生成加密系統中混沌系統的初值并生成多個偽隨機序列。將多幅加密圖像進行稀疏基稀疏變換得到加密圖像的小波稀疏圖像。截取每幅加密圖像小波圖的左上角部分拼接為一整幅小波圖。為降低稀疏圖像中非零元素點的相關性，使之分布的更加均勻，對稀疏圖像進行加權置亂處理。利用超混沌Lorenz系統方程生成偽隨機序列構造受控的測量矩陣并進行壓縮感知測量得到壓縮加密后密文圖像，通過Chen氏超混沌系統生成的偽隨機序列構造DNA矩陣并生成DNA編解碼運算序列。與密文圖像進行分塊DNA操作，獲得最后的密文圖像。

圖3 總體加密方案設計Fig.3 Overall encryption scheme design

3 加密與解密步驟

3.1 加密步驟

(1) 將需加密的圖像經過稀疏基稀疏處理得到稀疏圖像，截取每幅小波圖像的右上角非零信息部分將其合并為一幅稀疏圖像。

(2) 對稀疏圖像進行加權置亂操作，通過提高稀疏信號之間的差異性，降低相鄰非零元素的相關性，從而提高重建信號的重構質量。

(3) 加密圖像通過SHA-256函數生成系統中多個混沌系統的初始值，通過不同的初始值使混沌系統迭代生成多條偽隨機序列用于后續操作。

(4) 利用超混沌Lorenz系統產生的偽隨機序列構造受控測量矩陣，并將壓縮感知線性測量后得到的壓縮加密后的密文圖像進行無重復置亂操作，降低相鄰元素的相關性。

(5) 利用Chen氏超混沌系統產生的偽隨機序列構建DNA矩陣，并構建DNA編碼規則序列、DNA運算規則序列以及DNA解碼序列。

(6) 將密文矩陣與DNA矩陣進行分塊處理，進行塊與塊之間的編碼、運算和解碼操作，最后合并為密文圖像。

3.2 解密步驟

解密過程就是加密過程的逆過程：

(1) 將密文圖像與DNA矩陣分塊后進行解碼、運算和編碼的逆操作生成密文矩陣P1。

(2) 對密文矩陣P1進行置亂逆操作獲得觀測矩陣P2。

(3) 通過重建算法對觀測矩陣進行信號重構獲得密文圖像P3。

(4) 對密文圖像P3進行加權置亂逆操作得到小波圖像P4。

(5) 對小波圖像P4進行分割獲得各個加密圖像的小波圖像并進行小波逆變換得到加密圖像。

4 仿真實驗

4.1 壓縮性能分析

為驗證本文算法壓縮復原的性能，選取多幅標準的灰度測試圖像作為實驗圖像。在壓縮率分別為0.75和0.5的情況下通過比較PSNR來衡量本文算法的壓縮性能。

加密單幅圖像的第1組和第2組測試如圖4和圖5所示。

(a) 明文圖像

(b) 壓縮率0.75密文圖像

(c) 壓縮率0.5密文圖像

(d) 壓縮率0.75復原圖像

(e) 壓縮率0.5復原圖像

(a) 明文圖像

(b) 壓縮率0.75密文圖像

(c) 壓縮率0.5密文圖像

(d) 壓縮率0.75復原圖像

(e) 壓縮率0.5復原圖像

加密2幅圖像如圖6所示。

(a) 明文圖像

(b) 明文圖像Camera

(c) 壓縮率0.75密文圖像

(d) 壓縮率0.75復原圖像Lena

(e) 壓縮率0.75復原圖像Camera

(f) 壓縮率0.5密文圖像

(g) 壓縮率0.5復原圖像Lena

(h) 壓縮率0.5復原圖像Camera

加密4幅圖像如圖7所示。

(a) 明文圖像

(b) 壓縮率0.75密文圖像

(c) 壓縮率0.75復原圖像

(d) 壓縮率0.5密文圖像

(e) 壓縮率0.5復原圖像

加密壓縮單幅圖像重構圖像質量分析如表6所示。合并壓縮2張圖像下重構圖像質量分析如表7所示。合并壓縮4張圖像下重構圖像質量分析如表8所示。

表6 加密壓縮單幅圖像重構圖像質量分析

表7 合并壓縮2張圖像下重構圖像質量分析

表8 合并壓縮4張圖像下重構圖像質量分析

經過多次多組實驗仿真分析，本文提出的壓縮加密算法具有良好的性能，在合并壓縮2張圖像情況下，復原圖像與原圖像相比，圖像的質量基本不受影響。存儲空間節省率達到75%。在合并壓縮4張圖像的情況下，復原圖像與原圖像相比，復原圖像雖然在重構質量上有一定的影響，但是在視覺上影響不大，還是可以清晰地觀察到圖像的細節，存儲空間節省率達到87.5%。

4.2 密鑰空間

密鑰空間是指能夠生成密鑰的所有可能密鑰的集合。決定了密碼系統的最重要的特性之一，理論上圖像加密算法的密鑰空間大于2100就可以抵御蠻力攻擊[17]。本文加密算法的密鑰由3部分組成：

(1) 給定的超混沌Lorenz系統的初始值a,b,c以及r。

(2) 一圖一密，隨機選取一幅加密圖像通過函數SHA-256生成的256 bit的哈希值。

(3) 給定的Chen氏超混沌映射的系統初值X0,Y0,Z0,H0。

超混沌Lorenz混沌方程中，a∈(-40,40),b∈(-40,40),z∈(1,81),r∈(-250,250),x、y和z的步長為10-13，r的步長為10-12，因此混沌方程的密鑰空間大小約為7.68×1059。SHA-256的密鑰空間為2128，Chen氏超混沌系統具有5個系統初值(如果計算進度為10-14,密鑰空間為4×1056)。故加密算法總的密鑰空間遠遠大于2100[17]，所以該方案的密鑰空間足夠抵御蠻力攻擊。

4.3 敏感性分析

敏感性的性能分析有2個參數：像素變化率(NPCR)和統一平均變化強度(UACI)。2個參數分別表示了明文圖像與加密圖像之間的像素值變化率和平均變化強度值[20]。它們的理想值分別為：NPCR=99.609 4%，UACI=33.463 5%。如果2幅圖像所有相應位置的像素值均不相同，則NPCR=100%，即：

(6)

(7)

敏感性分析如表9所示。

表9 敏感性分析

由表9可知,密文圖像與各個明文圖像在敏感性的參數上接近于理論值，表明本文提出的加密算法是安全的。

4.4 統計分析

針對統計規律的攻擊方案被稱為統計分析攻擊。統計分析攻擊是指攻擊者通過分析密文與明文的統計規律來破譯密碼。通過截獲的密文圖像的統計規律并與明文的統計規律進行比較，從而分析出明文圖像與密文圖像之間的變換關系。統計分析包括直方圖分析和相鄰像素點的相關性分析。

4.4.1 直方圖分析

為抵御統計分析，密文的直方圖必須是均勻的，并且完全不同于明文圖像的直方圖。以合并加密4幅圖像為例，如圖8所示。

(a) 明文圖像Lena直方圖

(b) 明文圖像Peppers直方圖

(c) 明文圖像Couple直方圖

(d) 明文圖像Boat直方圖

(e) 合并密文圖像直方圖圖8 實驗圖像直方圖Fig.8 Experimental image histogram

由圖8可知，密文圖像的像素分布的直方圖是均勻分布，且不同于任何一個明文圖像的直方圖，因此可以抵抗統計直方圖攻擊。

4.4.2 相鄰像素相關性分析

相關性分析如表10所示，是指對2個或多個具備相關性的變量元素進行分析，從而衡量變量之間的相關密切程度。由于圖像的相鄰像素之間存在著較高的相關性，通過一個像素往往會泄露周邊像素的信息。因此攻擊者往往可以通過圖像的這一特性推測出周圍像素的灰度值，從而對密文圖像進行破解。所以為了抵御統計攻擊，需要打破這一特性。下面從像素的垂直方向、對角線方向以及水平方向對密文圖像進行分析，計算表達式為：

(8)

(9)

(10)

(11)

由表10可知，密文圖像的各個方向像素值之間的相關性的數值極大地接近于零，因此可以抵抗基于相關性的統計攻擊能力。

4.5 信息熵分析

信息熵是反映圖像信息不確定性的重要指標。信息熵的值越大，表明圖像信息的不確定性越大。信息量越大，說明信息的可視性就越小，系統的加密性能就越好。就以灰度等級為256的圖像而言，信息熵的理論最大值為8[21]。一般來說，密文圖像的信息熵超過了7.99,就說明該加密系統具有良好的加密性能。因此對加密前后的密文圖像與各個明文圖像的信息熵進行比較。信息熵分析如表1所示。

信息熵的計算公式為：

(12)

由表11可知,密文圖像的信息熵數值接近于信息熵的理論最大值，說明本文提出的算法具有良好的加密性能。

5 結束語

本文提出的基于混沌壓縮感知與DNA編碼多圖像加密算法，利用壓縮感知技術與混沌理論、DNA編碼技術及其他加密算法相結合，同時對多幅圖像進行壓縮加密，在保證了密文圖像傳遞的安全性的同時極大地減少了傳遞過程中密文的帶寬占用率并節省了存儲空間。加入SHA-256安全散列算法，一次一密，極大地增加了整體加密算法的安全性。與其他類似加密算法相比較，本文提出的算法具有一定的優勢。由于在壓縮感知理論中不同的稀疏基、測量矩陣和重構算法都會對重構信號的質量造成影響，因此下一步將對此方面進行優化，提高重構信號的質量。