含復雜近鄰的二維正方格子鍵滲流的蒙特卡羅模擬*

尋之朋 郝大鵬

(中國礦業大學材料與物理學院,徐州 221116)

1 引言

滲流模型蘊含著豐富的物理,是統計物理學領域的基礎模型之一[1-6].一方面,研究滲流模型對理解自然界中的相變和臨界現象、分形、標度理論等均有著重要的科學價值.另一方面,滲流具有廣泛的應用,如流體流經多孔物質、森林火災、流行病的傳播(如最近爆發的新冠肺炎)等.因此,對滲流的深入研究具有重要的理論價值和現實意義.

建立各種格點滲流模型是研究滲流常用的方法之一.在指定格點模型上,每一個格點(或鍵)是獨立的并以一定的概率p被占據(不被占據的概率為 1-p),被占據的格點(或鍵)可以形成毗連的團簇.當占據概率p從 0 逐漸增大到某一臨界值時,格點模型上將開始出現大到能夠貫穿整個系統的團簇,并且這時的系統通常表現出連續相變的特性,稱這樣的系統為滲流,并且稱此時的臨界概率為滲流閾值,用pc表示.滲流閾值pc是滲流的核心參數之一,只有準確地確定滲流閾值,才能更好地研究其臨界行為以及確定臨界指數.

無論從解析角度還是采用蒙特卡羅模擬等數值方法,許多格點模型被廣泛研究以獲得滲流閾值pc以及相應的臨界指數.在眾多格點模型中,含復雜近鄰的格點滲流模型由于多方面的應用而成為該領域的熱點研究課題之一.例如,該類模型點滲流可以鏡像到格點模型上擴展形狀(如圓形、球形)的吸附滲流過程[7,8].鍵滲流不僅與小世界網絡有著密切的聯系[9],還可以從滲流的角度去研究分析流行病的傳播過程[10,11].其次對這類滲流模型的深入研究,既能豐富相關的滲流理論,又對研究滲流閾值與格點模型的結構,尤其是格點配位數之間的關系具有重要的指導作用.此外,這類格點滲流模型的結構介于離散滲流與連續滲流之間,對其進行深入探討也有助于揭示離散滲流和連續滲流之間轉變的物理機制.

對含復雜近鄰的格點滲流模型的研究可以追溯到由Dalton,Domb 和Sykes[12-14]提出的“等效近鄰模型”.之后,研究人員在該方向開展了廣泛的研究,如菱形結構緊密區域的長程點滲流[15],考慮最近鄰和次近鄰的體心立方格子的點滲流和鍵滲流[16],含第四近鄰格點的面心立方格子的點滲流[17]等.d’Iribarne 等[18-20]從圖論的角度系統計算了長程關聯(最大計算到了第10 近鄰格點)的全部11 種阿基米德格子的點滲流.Malarz 和Galam[21]引入“復雜近鄰”的概念,即不同近鄰格點的各種組合而并不局限于緊密近鄰格點,隨后該課題組對二維正方格子、三維簡單立方格子、四維超立方格子的點滲流開展了一系列的研究工作[22-26].最近,基于多種有效算法的發展,含復雜近鄰的格點模型的鍵滲流也得到了廣泛的研究[27-30].

滲流閾值pc與格點模型結構(如配位數z)之間的依賴關系一直是探討的焦點之一.例如文獻[23]指出一些三維格點模型的點滲流閾值與格點配位數之間滿足冪律關系pc～z-a,指數a=0.790(26) .Galam 和Mauger[31],van der Marck[32],以及其他研究人員也分析研究了許多其他體系,得出類似的冪律關系[29,30].Domb[12]指出在相同的格點單元形狀下,含擴展近鄰的格點模型點滲流在配位數z較大時的漸近行為與連續滲流閾值ηc有關;該論點得到了其他學者的贊同和推進[7,8,20],最近更深入的研究[33]揭示出該漸近關系為pc～2dηc/z.對于鍵滲流,該漸近關系趨于Bethe 格子的結果pc～1/(z-1);以及當z為有限值時滿足有限尺寸修正zpc-1～a1z-x,其中在二維及三維情況下x=(d-1)/d[34,35].這些理論分析結果均得到了大量數值模擬工作的驗證[27,28,33,35].

但是,以上漸近行為及有限尺寸修正行為僅對含緊密近鄰的格點滲流模型是有效的,而對于含復雜(非緊密)近鄰格點滲流模型的分析卻遇到了困難.其主要原因是這類格點滲流模型表現出所謂的“簡并”現象,即一個配位數z對應于多個格點模型結構,如圖1 所示的含復雜近鄰格點的二維正方格子(圖中“?”代表中心格點,①代表最近鄰或第1近鄰格點,②代表次近鄰或第2 近鄰格點,······),“第1 近鄰+第2 近鄰”與“第1 近鄰+第3 近鄰”所對應的配位數是相同的,均為8;但是這兩種結構的滲流閾值卻是不相同的.因此,對于這類格點滲流模型,僅僅考慮配位數一個參量是不夠的,如何綜合考慮格點模型的拓撲結構來消除“簡并”是解決該問題的關鍵所在.

圖1 正方格子中心點(“ ? ”)的近鄰格點,到第 5 近鄰Fig.1.Neighbors of a central site (“ ? ”) on a square lattice,up to 5 th nearest neighbors.

為了更深入地探討滲流閾值與格點模型的幾何或拓撲結構之間的關聯,本文基于圖論[36]、有機化學[37,38],以及最近Malarz[39]關于點滲流中模型參數識別的基本思想,引入新的標量參數ξ=其中zi和ri分別為第i近鄰格點的配位數及其到中心格點的距離,綜合地考慮格點滲流模型的拓撲結構來消除這種“簡并”,并將該標量參數應用于研究分析含復雜近鄰的格點模型的鍵滲流.同時,基于一種高效的單團簇生長算法對含復雜近鄰的二維正方格子鍵滲流進行了大量的蒙特卡羅模擬研究,得到了這些格點滲流模型高精度的鍵滲流閾值.所得到的滲流閾值與新的標量參數很好地滿足冪律關系pc∝ξ-γ,數值擬合得指數γ≈1 .

2 理論基礎

團簇的統計分布是研究滲流的一個中心物理量,通過該分布的特性即可確定滲流閾值及相應的臨界指數.首先定義團簇的尺寸為一個團簇中所含格點(或鍵)的個數,用s表示.則團簇的分布通常用ns(p) 表示,它是指在占據概率p下,尺寸為s個格點(或鍵)的團簇的數目.在實際使用時,將對團簇的分布進行歸一化處理.在滲流閾值pc處,ns(pc)滿足關系式

其中,τ為Fisher 指數,Ω為冪律關系的一階修正指數.τ和Ω均被認為具有普適性,只與系統的維度有關.A0和B0為與具體的模型有關的兩個參數,是非普適的.由(1)式可得出模型上每個格點(或鍵)屬于尺寸大于或等于s的團簇的概率為

其中,A1=A0/(τ -2),B1=(τ -2)B0/(τ+Ω-2) .(2)式兩邊同時乘以sτ-2得

可以看出,當s較大時,sτ-2P≥s隨s-Ω的變化將呈線性關系.利用該線性關系可以確定滲流閾值,因為當p/=pc時,關系是非線性的.

當p/=pc時,需要引入標度函數.在標度極限s →∞和p→pc下,(p-pc)sσ趨于常數,P≥s滿足

式中σ為另一普適指數.對標度函數f(x) 作泰勒展開

其中,C2=B2f′(0) .這里假設f(0)=1,將(5)式代入(4)式可得

其中D2=A2C2.(6)式表明,當s較大時,sτ-2P≥s在p→pc時將趨于常數,而在p遠離pc時將偏離該常數.這提供了確定滲流閾值的另一個途徑.

3 數值模擬結果與分析

單團簇生長算法的基本規則[29,30]如下:在格點模型上任取一個格點作為種子,以該種子為起點開始生長單獨的團簇.在周期邊界條件下,格點模型上任意一個格點都可以作為種子,本文在數值模擬中選取為坐標原點.從種子格點開始,團簇以一定的概率p占據(不被占據的概率為 1-p)與之連接的鍵從而向近鄰格點生長.在系統尺寸為L×L=16384 × 16384 的正方格子上,針對每一個格點滲流模型,獨立地生長不少于 5×108個系綜(即獨立的團簇).從統計上來講,這些團簇具有不同的尺寸,尺寸較小的團簇將很快停止生長,而有的團簇則可以生長到很大的尺寸.因此在實際的數值模擬中,需要設定團簇生長的上臨界截斷閾值尺寸來避免出現邊界環繞,同時控制程序運行時間,當團簇的生長達到預設的上臨界截斷閾值尺寸時停止生長.然后,將尺寸落在區間 [ 2n,2n+1-1] (n=0,1,2,···)內的團簇的數量記錄到結果向量的第n個值中.對于達到上臨界截斷閾值尺寸仍在生長的團簇,它將被統計到結果向量的最后一個值中.對于本文所模擬的所有格點模型,上臨界截斷閾值均設置為 216,這也就意味著結果向量的長度為17.采用單團簇生長算法在數值模擬中不需要存儲記錄大量的中間迭代數據,僅需要對結果向量進行處理即可,這是該算法優于其他方法的一個方面.此外,新的單團簇生長算法[29,30]在原有的基礎上采用了有效的技術手段對算法進行改進,成功地避免了每次單個團簇生長之后將整個格點模型信息清除.優化的基本思想如下:將每個格點的初始值設置為零,對于第n個團簇(對應于統計系綜次數),晶格模型上任何值小于n的格點都被視為未被占據.當一個格點在新團簇生長的過程中被占據時,其值賦為n.這個過程節省了大量時間,因此我們可以模擬非常大的晶格尺寸,并且不必在每個團簇(實際上許多團簇都很小)生長之后清除整個晶格的信息,使計算效率得到了顯著的提高.在文獻[29]中,我們給出了該優化算法的程序偽代碼.

對于普適的標度指數,目前已得到二維情況下的解析 解τ=187/91,σ=36/91和Ω=72/91,本文在數值分析中直接使用這些普適參數值.于是根據蒙特卡羅模擬數據,相應的物理量,如sτ-2P≥s,便可易于計算得到.

本文使用 S Q-a,b,···來表示含第a近鄰,第b近鄰,······的二維正方格子.基于理論公式(6),圖2為在占據概率分別為 0.250365 ,0.250367 ,0.250368,0.250369 及 0.250371 時 S Q-1,2 格子 鍵滲流sτ-2P≥s隨sσ的變化曲線.可以看出:當團簇尺寸s較小時,由于有限尺寸效應,sτ-2P≥s隨sσ急劇下降;當s較大時,sτ-2P≥s隨sσ的變化逐漸表現出線性行為,并且隨著占據概率p趨于滲流閾值pc,曲線逐漸趨于水平,即趨于常數.根據圖2 中線性部分的性質,對每一個占據概率下曲線的線性部分計算斜率,滲流閾值的中心值可以通過作圖

來進行確定,如圖2 中的插圖所示.通過插圖中的線性部分與橫軸的交點,可以確定滲流閾值的中心值為pc=0.2503683 .

圖2 SQ-1,2 格子鍵滲流在不同占據概率p 下sτ-2P≥s隨 s σ 的變化曲線,其中 τ =187/91 ,σ =36/91 .插圖表示主圖中所示結果線性部分的斜率隨占據概率p 的變化關系Fig.2.Plot of s τ-2P≥s vs.s σ with τ =187/91 and σ=36/91 for the bond percolation of the S Q-1,2 lattice under different values of p.The inset indicates the slope of the linear portions of the curves shown in the main figure as a function of p.

另一方面,基于理論公式(3),在占據概率分別為p=0.250365 ,0.250367 ,0.250368 ,0.250369,以 及 0.250371 時 S Q-1,2 格子鍵滲流sτ-2P≥s隨s-Ω的變化曲線如圖3 所示.由圖3 可以很明顯地看出,當占據概率p偏離滲流閾值pc時,曲線表現出明顯的偏離線性行為;而當占據概率p逐漸趨于滲流閾值pc時,曲線表現出越來越好的線性行為.于是,通過圖3 可以確定鍵滲流閾值的范圍為0.250368＜pc＜0.250369.

圖3 SQ-1,2 格子鍵滲流在不同占據概率p 下sτ-2P≥s隨 s -Ω 的變化曲線,其中 τ =187/91 ,Ω=72/91Fig.3.Plot of s τ-2P≥s vs.s -Ω with τ =187/91 and Ω=72/91 for the bond percolation of the S Q-1,2 lattice under different values of p.

綜上兩種方法,可以確定 S Q-1,2 格子鍵滲流閾值為pc=0.2503683(7),其中括號里面的數字表示閾值末位的誤差.對于本文所模擬的其他格點模型,其分析過程與上述類似;因此不再贅述每一個格點模型具體的結果圖形及分析過程,而是直接給出鍵滲流閾值的數值處理結果,并將結果總結在表1 中.

表1 含復雜近鄰格點的二維正方格子的鍵滲流閾值Table 1.Bond percolation thresholds of square lattice with complex neighborhoods.

表1 第2 列給出了每一個格點模型的配位數z.可以看出存在明顯的“簡并”現象,即許多不同的格點模型具有相同的配位數z,但鍵滲流閾值卻不相同.圖4 給出了這些格點模型鍵滲流閾值pc隨格點配位數z變化的對數-對數曲線,也可以明顯地看出“簡并”行為.這些結果說明,對于含復雜(非緊密)近鄰的格點滲流模型,滲流閾值不僅僅取決于格點配位數,而需要對格點模型的其他幾何參數進行更深入的分析.

圖4 表1 中所示格點模型 pc 隨z 變化的對數-對數曲線Fig.4.The log-log plot of pc vs.z for the lattices shown in Table 1.

以上分析表明需要采取有效的技術手段,引入新的參數來消除“簡并”.最近,Malarz[39]綜合考慮第i近鄰格點的配位數zi以及其到中心格點距離的平方引入了新的標量參數

來有效消除“簡并”,并將其應用于分析含復雜近鄰格點的二維三角格子的點滲流,取得了成功.實際上,這種消除簡并的方式在圖論中分析樹結構的拓撲不變性[36],有機化學中分析分子拓撲指數[37,38]等方面也有成功的應用.本文嘗試采用這種方法來分析含復雜近鄰二維正方格子的鍵滲流.首先,根據(8)式計算得到每一個格點模型對應的標量指數ξ,如表1 中第3 列所示.對應于不同近鄰格點的zi和ri2參見表2.從計算結果可以看出,引入新的參數后,在很大程度上消除了“簡并”現象.然后,作出滲流閾值pc隨參數ξ變化的對數-對數曲線,如圖5 所示.結果顯示,滲流閾值pc隨ξ的變化呈現出很好的冪律關系pc∝ξ-γ,并且線性擬合得到冪律指數γ≈1 .可見,(8)式消除簡并的方法也能夠成功地應用于含復雜近鄰格點模型的鍵滲流.

表2 正方格子不同近鄰格點的相關參數Table 2.Parameters of different nearest neighbors on square lattice.

圖5 表1 中所示格點模型 pc 隨ξ 變化的對數-對數曲線Fig.5.The log-log plot of pc vs.ξ for the lattices shown in Table 1.

4 結論

綜上,為了深入分析滲流閾值與格點模型結構之間的關系,本文基于高效的單團簇生長算法,對含復雜近鄰的二維正方格子鍵滲流進行了大量的蒙特卡羅模擬研究.得出主要結論如下:

1) 單團簇生長算法能夠有效地模擬含復雜近鄰的格點模型的鍵滲流,并獲得了高精度的鍵滲流閾值.對于這類格點模型,由于模型中存在交叉(非相交)鍵,這在很大程度上限制了之前許多算法或方法的有效應用,而單團簇生長算法則提供了模擬此類格點模型的有效途徑.