貝葉斯公式在實際應用方面的探究

◇宿遷學院 王 玉 周 怡 張庭磊 龐曉宇 李蘇寧

貝葉斯公式是概率論與數理統計中一個相當重要的公式，主要是利用先驗概率研究后驗概率的計算.本文將從實際生活出發，討論了貝葉斯公式在醫療檢測、產品質量檢測、公司決策、日常生活等不同領域分別進行了研究，并給出了具有一定參考價值和實際意義的結論.本文提出的案例貼近生活，具有可行性、多樣性和實用性.

1774年，法國數學家Pierre-Simon Laplace通過研究男孩和女孩的生育比例，發現了貝葉斯公式.貝葉斯公式能夠通過對主觀判斷的修正，將先驗概率過渡到后驗概率，為人們提供了更有效的決策信息，幫助人們將復雜問題轉化為簡單問題.因此貝葉斯公式在實際生活的各個領域都有廣泛的應用.

本文基于在大量學者研究的基礎上，進一步將貝葉斯公式應用到醫療檢測、產品質量檢測、公司決策、日常生活等幾個方面中，進行了詳細的研究，并給出了一定意義的結論.

1 貝葉斯公式

式（1）稱為貝葉斯（Bayes）公式.

2 貝葉斯公式的應用

2.1 在醫療檢測中的應用

貝葉斯公式和理論在醫學中的應用廣泛，難以確診的病癥相似的病人的區分、新藥的研發、醫療器械的試驗等都會用到貝葉斯公式和理論.

案例1 甲地出現化療誘發心臟毒性損傷的人數占總化療人數的0.113，出現心臟毒性損傷的患者通過MUGA有0.9的概率對試驗呈現陽性反應，沒有出現心臟毒性損傷的患者有0.28的概率對這種試驗呈陽性反應，現在隨機地從這個地區的化療病人中抽取一個，經過試驗，結果呈陽性，問該病人有多大的概率出現心臟毒性損傷？

由貝葉斯公式，將以上數據帶入公式即得

由上述結果可知，經過試驗并結果呈陽性反應，其被抽查者出現化療后心臟毒性損傷的概率是0.2905，概率從原來的0.113上升至0.2905，將確認的可能性提高超過一倍.由此可見，貝葉斯公式在醫學上進行臨床診斷，可以作為一種非常有效且有很大價值的輔助手段.

2.2 在產品質量檢測中的應用

在檢測產品質量的問題中，貝葉斯公式和理論具有極其重要的作用.

案例2 某品牌堅果公司的堅果是從四家不同的供應商處收購的，根據以往的數據分析得出以下數據（見表1）.

表1 次品率與份額

已知堅果公司的堅果儲藏室沒有進行區域分類管理，而是將四家供應商的堅果集中放置，且沒有標簽，堅果的外觀也沒有明顯的區別.

（1）隨機在儲藏室取一袋堅果，求發現是次品的概率；

（2）隨機在儲藏室取一袋堅果，若取到的堅果是次品，請問堅果出自哪個供應商的可能性最大？

（1）由全概率公式

（2）根據題意可知

由上述敘述可知，貝葉斯公式在生產生活中，擁有幫助廠家進行產品質量檢測的功能，在一定程度上緩解了難以發現次品出處的問題.

2.3 在決策方面的應用

有時，一個決定中也蘊含著貝葉斯公式和理論.

案例3 在中國某偏僻沙漠區域，某炮兵團正在進行練習發射炮彈.由于炮彈與子彈不同，其飛行軌跡呈拋物線，瞄準難度較大，所以士兵們常常在發射炮彈時利用貝葉斯方法來進行調整.運用理論與實踐經驗，炮兵會得到一個可能可以命中目標的瞄準角度，然后按照瞄準標度射擊.但由于炮兵的個體差異性，部分炮兵沒有按照瞄準角度發射.已知在射擊后，已命中目標的炮彈中按照瞄準角度射擊的占77%，未命中目標的也有15%的炮彈是根據瞄準角度射擊的，同時從以往訓練記錄來看，該炮兵團總體發射命中目標的概率是0.86.現在隨機地從已經發射的炮彈中抽取中一個，得知該炮彈是按照瞄準角度射擊的，問此炮彈有多大的概率可以命中目標？

則根據題意可知

利用貝葉斯公式，將以上數據帶入式子得到

由此可知，炮兵在發射炮彈時，調整炮彈瞄準角度可以大大提高炮兵發射的命中率.

2.4 在生活方面的應用

貝葉斯公式和理論在實際生活中也無處不在.

案例4 李明出差幾天，家中有一只貓需要照看，于是在出差前拜托張華照看，如果幾天內張華記得喂食，藍貓的存活率為0.77，如果幾天內張華忘記喂食，貓的存活率是0.19，由于李明對張華的了解，記得喂食的概率是0.8，忘記喂食的概率是0.2.

問：（1）李明出差后貓存活的概率是多大？

（2）若李明出差回家，發現貓還活著，那么“記得喂食”的概率為多大？

由題意可知

（1）因此，貓存活的概率即為

（2）第二問即求

所以李明出差回家，發現貓還活著，張華記得喂食的概率是0.942.

3 結束語

目前，貝葉斯公式以及由貝葉斯公式引申出來的統計手段有著極其方便、廣泛、實用和準確的應用價值，成為計算機科學、經濟、醫療、教育等學科的研究熱點.貝葉斯公式的優點是非常顯著的，它可以對已有信息的價值進行判斷.在應用過程中，貝葉斯公式也能夠依據具體情況不斷地使用，使得判斷逐步完善并且更加科學.

本文首先給出了貝葉斯公式，接著分析并探索了貝葉斯公式在醫療、決策、生活等方面的應用，通過貝葉斯公式計算出MUGA試驗對提高確認病人出現心臟毒性損傷的可能性的作用，肯定了MUGA試驗的功能.同時，應用貝葉斯公式來檢測產品的質量問題，充分說明了貝葉斯公式在生產生活中的作用.在決策方面，探討了可信度與客戶決策的變化的關系以及炮兵命中率與調整瞄準角度的關系，從理論的角度說明了人們作出某一決策的原因.本文以藍貓的飼養問題為例，簡要的介紹了貝葉斯公式在生活中的應用.

但是貝葉斯公式在解決復雜問題時，所需要的數據比較多，采集數據困難的矛盾凸顯，所需耗費的人力物力也隨之增長.而且，在使用貝葉斯公式時，有些數據必須要采用主觀概率，這樣的主觀概率難以其他類似的問題中進行引用.貝葉斯公式的研究是一個具有挑戰性以及實際應用價值的課題，相信隨著現階段大數據時代的來臨，貝葉斯公式和理論將會迎來新的發展.