探析反例在初中數學教學中的應用

李如俞

（甘肅省通渭縣隴山學校，甘肅通渭 743318）

數學教學中的反例主要是指符合命題條件，但是與命題結論相反的例子。反例在數學教學中的應用優勢非常突出，不但具有說服力強的特點，而且可以幫助學生對數學概念、公式、錯誤問題等建立深刻、具象的認識，培養學生全面考慮問題的思維品質。為此，教師應該充分明晰反例在數學教學中的應用價值，努力將反例引入數學課程的各個環節，使單一的數學教學內容得到補充和拓展，訓練和強化學生的數學核心素養與綜合思維。下面我們就針對這個目標展開簡單教學探析。

一、反例在初中數學教學中的應用價值

要想提高學生的學習能力，僅靠程式化的知識講授是難以實現的，教師需要抓好思維方面的訓練，使學生從多個角度剖析理解數學知識。反例是一種科學有效的思維訓練工具，無論在鞏固學生數學基礎還是提升學生思維延展性上都發揮著舉足輕重的作用。經過細致的分析研究，筆者將反例在初中數學教學中的應用價值歸納為以下三個方面：

第一，應用反例可以深化學生對數學概念知識的理解。初中數學課程中涉及的基礎概念非常龐雜，且這些概念知識具有一定的相似性，學生在記憶和理解的過程中容易出現混淆現象，直接影響學生的后續運用和學習效果。反例在數學教學中最卓越的一項應用價值就是可以深化學生對數學概念知識的理解，因此教師可以根據不同數學概念點之間的細微差別列舉恰當的反例，不僅能夠刷新學生對數學概念學習的枯燥體驗，也能鞏固學生的數學知識鏈，使學生在難以區分相似概念時能聯想到相關反例。這樣學生的數學概念體系就不容易出現斷層，有利于學生開展其他高階數學探究活動。

第二，應用反例有助于培養學生的逆向思維能力。逆向思維能力不僅是數學核心素養的重要維度之一，也是學生參與數學探究必備的思維品質，但是大部分初中生逆向思維能力都有待強化，教師必須著力開拓創新的思維培養方法。反例是與命題結論相矛盾的例子，應用反例是培養學生逆向思維能力行之有效的方法。因此，教師在數學推理論證活動中引入反例能夠幫助學生從正向和逆向兩個視角看待命題，促使學生經歷思維發散的過程，又能基于理性思維和逆向思維去判定一個命題的真假，從而不斷提升學生的數學素養。

第三，應用反例能夠降低學生的錯題率。長期以來，學生在數學解題學習中出現錯誤無法避免，主要原因是數學題目求解需要運用諸多概念、定理和公式，且某項條件發生變化會導致解題思路和結果大相徑庭。在學生解題思維不夠縝密、基礎知識運用欠缺靈活性的情況下，同類錯誤是難以得到有效規避的。應用反例教學的直觀性和說服力非常突出，而且反例對多種數學題型都具有適用性，教師借助反例帶領學生辨析數學解題錯誤，可以使學生對錯誤原因的印象更加深刻，同時能夠做到對知識結構的薄弱環節查缺補漏。這樣，學生的解題能力、自我糾錯和完善能力都可以得到良好發展。

二、反例在初中數學教學中的應用策略

（一）在概念教學中應用反例，幫助學生輕松理解

上文我們談到，反例在提高學生對數學概念理解效率方面彰顯深刻價值，這主要得益于反例和命題事實相悖的特點，教師在初中數學教學中合理構建反例可以引領學生經歷數學概念模型的生成過程，并激發學生的反思意識。這樣，學生在理解數學概念遭遇思維障礙時就可以基于反例明確矛盾沖突，從而實現對數學概念的深刻掌握和長時記憶。在初中數學概念教學中應用反例的步驟和方法如下：

第一，了解學生的概念理解難點，列舉恰當的反例加以引導。在數學概念教學中應用反例追求針對性和目的性，所以教師必須先了解學生對數學概念中的哪個要素認知理解存在模糊，進而選擇最恰當的反例實施教學。具體來說，可以鼓勵學生自由發言，闡述自身對數學概念的存疑之處，然后教師將這些疑難問題羅列在黑板上，留作后續的反例列舉依據。接下來，在選擇和列舉反例時，教師應該根據學生的概念理解難點甄別采用基本形式反例、條件變化型反例或者是充分條件、必要條件假設判斷型反例。比如，學生對數學概念的生成條件認知不夠透徹，這時教師就可以列舉條件變化型反例，直接攻破學生的理解障礙。

第二，出示反例，組織學生對數學概念自主構建。教師根據學生實際情況初步確定概念教學所用的反例之后，可以應用多媒體投屏工具出示反例。比如，在學生學習圖形概念遇到難點時，教師就可以結合圖形特征設計幾個符合圖形特征判定條件，但不符合概念結論的反例選項，同時在電子白板投屏上展示幾個直觀的圖形，讓學生分小組合作觀察圖形、思考和辨析反例。如果各小組對圖形概念存在爭議，教師還可以鼓勵組間開展辯論活動，引導各組學生應用反例印證自身結論、說明理由并說服其他組員消除對圖形概念的錯誤認識。這樣，學生就能夠順利借助反例實現對數學概念的自主構建和透徹掌握。

第三，對于學生容易混淆的數學概念，分別跟進反例講解。隨著數學教學的持續推進，學生需要掌握的概念知識點越來越多，教師也發現學生對區分相似概念存在困難。針對這種現象，教師需要在日常教學中加以留心，把學生經?；煜臄祵W概念歸集匯總起來，如有理數、無理數和實數的概念，相反數、倒數和絕對值的意義概念，矩形、菱形、正方形的概念、性質、判定條件以及三者的關系和區別等等。將這些相似概念整理成條分縷析的微課件，在每一組相似概念后方都標注一個簡明恰當的反例，播放微課件鼓勵學生小組合作探討，還可以讓學生根據自己對相似概念的理解列舉更多反例，進而準確區分相似數學概念。

（二）在命題辯證中應用反例，提高學生判定能力

初中數學教學中涉及很多真假命題的判定。對于真命題，大部分學生可以運用正向思維或是正面例子加以判定，但是數學課程中也不乏假命題的存在，在學生正向思維形成定式的條件下命題辯證就會遭遇阻礙，影響學生數學思維的和諧發展。反例在數學命題辯證中的實用性很強，尤其可以打破學生的思維定式，提高學生的命題判定能力和推理論證能力，使學生養成正向和逆向思維相結合的數學探究習慣。在初中數學命題辯證中應用反例的具體步驟和策略如下：

第一，應用反例引導學生明確并不是所有命題結論都是成立的。學生命題判定思維形成定式的最主要表現是接觸太多真命題，所以在命題辯證中總是習慣性地認為命題結論成立，所以教師在應用反例時應該多引入一些假命題，出示假命題之后先留給學生幾分鐘合作思考和討論的時間，然后讓學生呈現討論結果。此時，學生的命題判定結論大多存在分歧，教師就可以適時出示反例。比如，在菱形和矩形特征判定的假命題中，教師就可以列舉“所有邊都相等的多邊形一定是正多邊形”的反例，緊接著讓持不同意見的學生重新思考和判定命題，使學生逐步意識到命題結論不一定都成立，并掌握基于反例辯證判定命題的一般方法。

第二，向學生滲透應用反例辯證命題的技巧。應用反例辯證和判定命題的真偽，其路徑和方法不是唯一的，教師在滲透技巧指導時可以應用具體數值代入法和畫圖法。在應用具體數值代入法時，教師可以向學生出示字母類命題，然后引導學生把命題中的字母替換成具體數字，檢驗命題的結論是否成立，如果成立命題就是正確的，反之命題錯誤。教師還應該重點指導學生注意特殊值“0”，這是因為很多字母命題代入“0”進行計算，命題結論是否成立就可以一目了然。在應用畫圖法時，教師可以出示幾何圖形類命題，引導學生合作觀察和分析命題，根據命題設置的內容在演算紙上畫出具象直觀的圖示。比如，在關于“同位角相等、三角形全等”的命題判定中，畫出具體的圖示后，學生就可以對命題真偽做出迅速、準確的辯證和判定。

（三）在解題教學中應用反例，降低學生的出錯率

學生在數學解題中的錯誤情況屢屢發生，教師要合理地利用反例開展教學活動，降低學生的出錯率，鍛煉學生的審題和解題能力，從而突出反例在數學教學中的實踐價值。將反例引入初中數學解題教學中的路徑和方法主要有以下兩條：

第一，在方程解題教學中運用反例。方程在初中數學解題教學中占據重要地位，但是由于一些學生對一元一次方程和一元二次方程的解題方法掌握不到位，容易出現解題錯誤。為此，教師可以先向學生講授兩類方程題的解題步驟和方法，然后再出示幾道經典例題，讓學生分小組合作解題。各組學生初步求解之后，教師讓每組派代表將解題過程和結果呈現到黑板上，鼓勵學生詳細探討出錯的原因，讓學生自主分析對方程式解題定理運用的薄弱點。這樣，學生就可以加深印象，有效規避常見錯誤。

第二，在應用題審題分析中采用反例。數學應用題解題教學中的審題環節十分關鍵，教師可以根據應用題給出的數量條件設計幾個條件改變型反例，把原始題目和反例同時出示給學生，讓學生分組觀察、分析、判斷條件變化后應用題的求解結論是否還成立，鼓勵學生說出結論或其中存在的矛盾，并在演算紙上列出正確的數量條件和邏輯關系，引導學生聯系反例思考和明晰題目求的到底是哪項條件、屬于哪類應用類問題，比如路程、時間、植樹等等，最后再運用對應公式、代入具體的數量條件列式解題。這樣，即便是數學應用題的各項條件千變萬化，學生也能從反例的角度嚴謹審題、減少解題錯誤的發生。

（四）在知識鞏固中應用反例，增強學生學習效果

初中數學教學是一個動態化過程，隨著學生吸納的數學知識點和技能越來越多，教師也應該著力跟進復習和鞏固教學，促進學生數學學習效果的增強。反例具有良好的教學輔助和補充作用，適合教師在數學知識鞏固中應用。具體的反例應用策略如下：

第一，應用反例考查學生數學知識體系中的疏漏點。教師可以根據學生以往學過的數學知識設計一組由正面例子和反例混合組成的命題組，然后讓他們互相問答判斷每個命題選項的正確性，邊判斷邊說出相關的概念、定理和公式依據。如果學生說不出判斷依據，則代表學生對數學基礎知識掌握不扎實，教師應該把這些判斷錯誤的反例命題單獨提煉出來講解，引導學生運用所學知識正確區分正例和反例，使學生知識體系中的漏洞得到彌補。

第二，編制反例復習合集。在應用反例鞏固學生數學知識的過程中，教師還可以采用編制反例復習合集的方法將學生認知理解模糊或是容易忽略的知識點整理出來，并在每個知識點后面列舉幾個反例。比如，在軸對稱、軸對稱圖形、中心對稱、中心對稱圖形的概念復習中，教師可以如法炮制編制反例合集，然后組織學生自主復習、自主研究反例，還可以把電子版反例合集下載到學習優盤中，方便日后復習鞏固。這樣，學生的數學基礎勢必能得到長效強化。

（五）在拓展訓練中應用反例，強化學生逆向思維

拓展訓練是初中數學課程中的關鍵環節，以往教師在拓展訓練中采用的例題，大多是題目條件和結論相一致的正例。這種教學模式對于訓練學生逆向思維效果不夠明顯，因此要想真正實現具有拓展性和發散性的思維訓練，教師采用反例教學法是十分必要的。在初中數學拓展訓練中應用反例的策略如下：

首先，教師應該根據數學課程的具體訓練目標，先向學生提出一個命題判定問題，如判定命題“一組對角相等，一組對邊相等的四邊形是平行四邊形”的真偽，然后讓學生分組口頭交流，再引導學生根據題設應用尺規作圖，使學生從逆向思維出發利用圖示自主構建反例，從而驗證對命題真偽的猜想和論斷。在此基礎上，教師還可以鼓勵學生結合題設條件列舉同類反例，并針對每個反例編制一道簡單的練習題。學生能夠列舉一些反例和習題，就證明他們已經養成良好的正向、逆向思維結合習慣，同時反例教學的實踐目的也就達到了。

三、結語

總而言之，在初中數學教學中應用反例不但可以增強學生對概念、公式、定理的記憶，培養學生的逆向思維，還能降低學生的出錯率。因此，教師應該根據數學教學需求在概念教學、命題辯證、解題教學、知識鞏固以及拓展訓練中引入反例，全方位完善學生的數學知識體系和思維品質，避免學生陷入非理性的數學探索和思考誤區，從而真正達到去偽存真的教學效果。