關于幾類矩陣的注記

劉合國,趙靜

(湖北大學數學與統計學學院,湖北 武漢 430062)

1 引言

為方便計,本文用 diag(a1,a2,···,an)表示對角線元素是a1,a2,···,an的n階對角陣,用Cn表示基本的n階循環置換矩陣,V(x1,x2,···,xn)表示關于x1,x2,···,xn的Vandermonde矩陣,即

一般地,本文采用的術語和符號是標準的,參見文獻[1-2].

特殊矩陣在矩陣分析里起著核心的作用.循環矩陣,Vandermonde矩陣,Hilbert矩陣以及Cauchy矩陣是常常碰到的幾類矩陣,它們在各種數學理論里發揮著重要的作用,見文獻[3].現在用統一的思想來重新處理這些矩陣的幾個基本問題,由此可以看到它們之間的本質聯系,以及它們與多項式理論,線性方程組理論之間的深刻聯系,這為理解這些經典結果提供了又一種思考方式.

具體說來,運用 Cramer法則和 Lagrange插值公式來計算 Vandermonde矩陣,Hilbert矩陣和Cauchy矩陣的行列式,逆矩陣以及逆矩陣的所有元素之和等問題,用Lagrange插值公式來處理一個涉及循環矩陣的矩陣分解問題.這種處理問題的思路和方法與文獻[4-5]是一致的,其最核心的工具是插值,這是中國剩余定理的本質所在.在理解這點后,本文可以看做是文獻[4-5]的延伸.

本文反復用到的一些基本事實如下.

2 關于一個矩陣分解的定理

熟知每個n階循環矩陣都可表示為關于Cn的多項式,這類矩陣在理論和應用方面都具有重要性,見文獻 [6].從下面的矩陣恒等式可知Cn與 diag(1,ω,···,ωn?1)是相似的,

是線性無關的,故每個對角矩陣都是它們的線性組合,文獻[7-8]由此得到定理2.1的證明.注意到Lagrange插值公式能夠由多種方式推導出來,包括運用Vandermonde行列式進行證明,參見文獻[4,9],這樣本文的證明與文獻[7-8]的證明在本質上是一致的.

定理2.1可推廣成更一般的形式.

3 Vandermonde矩陣

Vandermonde矩陣是最熟悉的矩陣之一,它在線性代數 (高等代數)里時常出現,參見文獻[10-11].下面的結論是最基本的,這里給出一個多項式證明.

4 Hilbert矩陣

5 Cauchy矩陣

文獻[12-15]處理了某些與Vandermonde矩陣,Hilbert矩陣,Cauchy矩陣相關的問題.不論是就理論還是就應用來說,特殊矩陣都是值得關注的研究對象.熟練地運用基本工具去解決特殊矩陣的基本問題,是研讀矩陣分析的基本功.