帶有對數非線性源的p-Kirchhoff方程解的整體存在性和衰減估計

楊雨,楊晗

(西南交通大學數學學院,四川 成都 611756)

1 引言

本文考慮如下帶有對數非線性源的p-Kirchhoff方程的初邊值問題

是具有光滑邊界?Ω的有界區域.

近年來,關于具有不同非局部項的偏微分方程的研究越來越多,由于它在物理學和生物學上的重要作用,吸引了許多學者的注意.例如,文獻[1]介紹了如下的具有非局部系數的雙曲線方程

它在有限域Ω?Rn中就是一個關于在均勻密度ε下彈性字符串小阻尼橫向擺動的模型.通過令ε=0,得到如下的p-Kirchhoff拋物方程

這類方程的特點就是系數 Δpuε或 Δpu依賴于未知函數u的梯度,即方程不再是點態恒等式.由于這類模型是由Kirchhoff(基爾霍夫)首次提出的,故將這類方程稱為p-Kirchhoff方程或非局部方程,當p=2時,簡稱為Kirchhoff方程.關于非局部的其他理由是基于這樣一個事實:測量不是點態的,而是通過一些平均量得到的.

盡管Kirchhoff方程已經被提出很長一段時間了,但是在基于文獻[2]之后,它的解的存在性,唯一性,正則性等性質才得到了很好的研究.例如,關于上述方程的橢圓對應方程

當p=2時,文獻 [3]利用最小化參數和變分法研究了方程 (1.4)正解的存在性.文獻 [4]利用截斷參數和先驗估計研究了在M(s)是一個非增函數并且f(x,u)滿足Ambrosetti-Rabinowitz條件時,方程(1.4)的正解的存在性,關于此方程的更多研究可見文獻[5-9].

與Kirchhoff方程有關的研究還有很多.例如,文獻[10-11]研究了當p=2并且擴散系數M(s)滿足:對所有的s≥0,有

0

以及源項f(x,t,u)≡f(x)時,方程(1.3)的解的存在性,唯一性以及強解或弱解的漸近形態等問題.隨后文獻[12]將結果擴展到p-Kirchhoff方程中.文獻[13]利用修正勢井以及變分法研究了方程(1.3)在p=2,M(s)=a+bs,a,b>0,以及f(x,t,u)=|u|q-1u,q∈(3,2??1]的條件下,關于不同初值條件的解的整體存在性,衰減估計以及有限時間爆破.文獻[14]擴展了文獻[13]的結果,研究了如下的p-Kirchhoff方程

得到了其在一般非線性項的條件下解的有限時間爆破.

文獻[15-16]中通過勢井理論研究了對數源問題后,對數非線性源便成了當下非線性發展方程的熱點.文獻[15]研究了如下具有對數非線性源的拋物方程的初邊值問題

其中 Ω?Rn(n≥1)是一個具有光滑邊界?Ω的有界區域.利用勢井理論,他們在J(u0)

文獻[17]中研究了如下帶有對數非線性源的擬線性擴散方程

其中φp(u)=|u|p-2u,得到了在J(u0)d時解的相應結果.

從上述文獻可知,關于帶一般非線性源的p-Kirchhoff方程的研究已經逐漸成熟,但帶對數非線性源的p-Kirchhoff方程的研究結果還較少.基于此,本文擬在文獻[14]和文獻[17]的啟發下:研究一類帶有對數非線性源的p-Kirchhoff方程的初邊值問題,討論當初值滿足不同條件時,其解的整體存在性以及衰減估計.

2 預備知識及引理

2.1 符號和不等式

本節中首先給出文中會用到的符號.

2.2 勢井以及相關引理

3 整體解和衰減估計

首先構造問題(1.1)的局部解,再以此證明當初值屬于W+時,問題(1.1)的全局弱解的存在性.最后進一步得到‖u(t)‖2的衰減估計.為了得到衰減估計,需利用下面的引理.