可換邏輯的代數(shù)語義綜述

楊小飛, 辛小龍

(1.西安外事學(xué)院商學(xué)院,陜西 西安 710077;2.西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710127)

1 引言

經(jīng)典邏輯的代數(shù)語義是布爾代數(shù),布爾代數(shù)是由 Boole于 1847年在其著作《Mathematical Analysis of Logic》提出的一種代數(shù)系統(tǒng).布爾代數(shù)是有補(bǔ)的有界分配格,格的交運(yùn)算對應(yīng)為邏輯的合取,格的并運(yùn)算對應(yīng)為邏輯的析取,格的補(bǔ)運(yùn)算對應(yīng)為邏輯的否.在本文中,為了將布爾代數(shù)直接解釋為經(jīng)典邏輯,給出了布爾代數(shù)中元素真假的判定方法,從而布爾代數(shù)中的元素可以看成命題,布爾代數(shù)中的交、并和補(bǔ)分別是邏輯的合取、析取和否,即布爾代數(shù)是經(jīng)典邏輯.在布爾代數(shù)中,兩個(gè)重要的等式是x∨x′=1和x∧x′=0,這里x′表示x的補(bǔ)元.從中可以看出,原命題及其否命題有且只有一個(gè)為真,這是恒真命題.

從經(jīng)典邏輯到模糊邏輯,重要的突破是兩個(gè)重要的等式不必成立,即在模糊邏輯中,x∨x′=1和x∧x′=0一般不成立.這就導(dǎo)致了真值域由{0,1}擴(kuò)大到更多元素的集合,從而出現(xiàn)了更加復(fù)雜的邏輯語構(gòu)系統(tǒng)以及相應(yīng)的代數(shù)系統(tǒng).這些常見的代數(shù)系統(tǒng)有MV-代數(shù)[1],BL-代數(shù)[2],MTL-代數(shù)[3],剩余格[4]和半-Hoop[5].為了給出ukasiewicz Logic的代數(shù)語義,文獻(xiàn)[1]定義了MV-代數(shù),文獻(xiàn)[6]給出了完備性證明.為了對連續(xù)t-模誘導(dǎo)的模糊邏輯公理化,文獻(xiàn)[2]提出了BL邏輯(Basic Logic),該邏輯的代數(shù)語義是BL-代數(shù).進(jìn)一步,為了對左連續(xù)t-模誘導(dǎo)的模糊邏輯公理化,文獻(xiàn)[3]提出了MTL邏輯 (Monoidal t-norm based Logic),其代數(shù)語義是MTL-代數(shù).剩余格是環(huán)上理想格的一般化[4],是子結(jié)構(gòu)邏輯[7]的代數(shù)語義.由于這些代數(shù)系統(tǒng)剩余性(乘法與蘊(yùn)含是伴隨)都是成立的,因此不妨把他們稱為剩余結(jié)構(gòu).由于這些剩余結(jié)構(gòu)不涉及謂詞的量化,通常被認(rèn)為低階模糊邏輯的語義系統(tǒng).進(jìn)一步,本文將介紹高階模糊邏輯的語義系統(tǒng),主要介紹兩類代數(shù)系統(tǒng):EQ-代數(shù)[8]和相等代數(shù)[9].

本文主要介紹經(jīng)典邏輯和模糊邏輯對應(yīng)的代數(shù)結(jié)構(gòu),借助例子討論他們之間的關(guān)系,進(jìn)而給出了這些代數(shù)結(jié)構(gòu)在概率、格序群和拓?fù)渲械难芯窟M(jìn)展,最后給出一些公開問題.本文對這些邏輯代數(shù)給出了看法,例如通過極大濾子判定布爾代數(shù)元素的真假,從而得到布爾代數(shù)是經(jīng)典邏輯;從代數(shù)的觀點(diǎn)給出模糊邏輯與經(jīng)典邏輯的區(qū)別.希望初學(xué)者能對可換邏輯代數(shù)有一個(gè)初步的了解,進(jìn)而找到感興趣的方向.

2 經(jīng)典邏輯與布爾代數(shù)

經(jīng)典邏輯的代數(shù)語義是布爾代數(shù),布爾代數(shù)是有補(bǔ)分配格.具體定義如下:

定義 2.1[10]設(shè)B是一個(gè)集合.稱(B,∨,∧,′,0,1)是布爾代數(shù),如果它滿足

(B1)(B,∨,∧,0,1)是有界分配格;

(B2)對任意的x∈B,存在唯一的x′滿足x∨x′=1和x∧x′=0.

為了說明布爾代數(shù)是經(jīng)典邏輯,下面介紹濾子及性質(zhì).具體如下:

定義2.2[10]設(shè)L是格,?F?L.稱F是格L上的濾子,如果對任意的x,y∈B滿足(F1)若x∈F且x≤y,則y∈F;(F2)若x,y∈F,則x∧y∈F.

下面給出布爾代數(shù)上極大濾子的刻畫,記布爾代數(shù)B上全體極大濾子為F(B).

命題2.1[10]設(shè)B是布爾代數(shù),F是B上的濾子,則下列條件等價(jià):

(1)F是極大的;(2)F是素的;(3)?x∈B滿足x∈F當(dāng)且僅當(dāng)x′F.

對偶地,可以得到格上理想的定義及布爾代數(shù)上極大理想的相應(yīng)性質(zhì).

給定一個(gè)布爾代數(shù),如何說明它是經(jīng)典邏輯?關(guān)鍵是如何判斷布爾代數(shù)中元素的真假.在經(jīng)典邏輯中一個(gè)命題是真或者是假,且只能占其一.由此把問題轉(zhuǎn)化為如何把布爾代數(shù)劃分為兩類的問題,下面給出方法.任給布爾代數(shù)B,任給B上的極大濾子F.令F′={x′|x∈F},由F是布爾代數(shù)上的極大濾子和命題2.1可以驗(yàn)證F′=Fc,這里Fc表示F的補(bǔ)集,進(jìn)而由文獻(xiàn)[10]中的定理9.8可知F′是極大理想.由此得到B上的劃分{F,F′},它具有性質(zhì):F是極大濾子且F′是極大理想.因此可以把F中的元素理解為真命題,F′中的元素理解為假命題.通過下面的定理可知布爾代數(shù)及其一個(gè)極大濾子是經(jīng)典邏輯.

定義 2.3[11]設(shè)B是布爾代數(shù),稱e:B?→{0,1}是賦值映射,如果e滿足

(E1)對任意的x∈B,e(x)=1?e(x′);

(E2)對任意的x,y∈B,e(x→y)=0當(dāng)且僅當(dāng)e(x)=1,e(y)=0,這里

記布爾代數(shù)B上的全體賦值映射為Ω(B).由文獻(xiàn)[11]引理1.2.18知賦值映射保∧,∨運(yùn)算.

定理 2.1設(shè)B布爾代數(shù),則F(B)與Ω(B)存在雙射.

證明給定F∈F(B),定義eF:B?→{0,1}具體為eF(x)=1,x∈F,否則eF(x)=0.下面證明eF是賦值映射,從而eF∈Ω(B).首先證明eF滿足(E1),對任意的x∈B,由F是極大濾子知x∈F當(dāng)且僅當(dāng)x′/∈F,從而eF(x)=1當(dāng)且僅當(dāng)eF(x′)=0.這就證明了eF(x)=1?eF(x′).下面證明eF滿足 (E2),設(shè)eF(x→y)=0,由x→y=x′∨y知x′∨y∈Fc.因?yàn)镕c=F′是理想,所以x′∈Fc,y∈Fc.由Fc={x′|x∈F}知x∈F,這就證明了eF(x)=1,eF(y)=0.另一方面,設(shè)eF(x)=1,eF(y)=0,則x∈F,由F是極大濾子知x′∈Fc.由Fc是理想知x′∨y∈Fc,即eF(x→y)=0.

給定e∈Ω(B),定義Fe={x|e(x)=1},下面證明Fe是極大濾子,從而Fe∈F(B).首先證明Fe保上集,設(shè)x∈Fe且x≤y,則1=e(x)=e(x∧y)=e(x)∧e(y).從而e(y)=1,即y∈Fe.其次x,y∈Fe,則e(x∧y)=e(x)∧e(y)=1,即x∧y∈Fe.由e滿足(E1)知對任意的x∈B有e(x)e(x′),這說明對任意的x∈B有x∈Fe當(dāng)且僅當(dāng)x′/∈Fe.由命題2.1知Fe是極大濾子.

容易驗(yàn)證FeF=F和eFe=e成立,從而F(B)與Ω(B)存在雙射.

定理2.1說明極大濾子是賦值映射的刻畫.當(dāng)給定布爾代數(shù)的一個(gè)極大濾子時(shí),布爾代數(shù)是一個(gè)經(jīng)典邏輯.需要注意的是,在給定的布爾代數(shù)上,當(dāng)選擇不同極大濾子時(shí),會對應(yīng)不同的邏輯系統(tǒng).直觀的理解,極大濾子是判斷布爾代數(shù)中元素真假的標(biāo)準(zhǔn).在不同的標(biāo)準(zhǔn)下,布爾代數(shù)中元素的真假會不同.后文中,涉及“標(biāo)準(zhǔn)”特指極大濾子.

例2.1設(shè)B={0,a,b,1},其上序?yàn)?≤a≤1和0≤b≤1.令F1={a,1},F2={b,1},則Fi是極大濾子,i∈{1,2}.a在標(biāo)準(zhǔn)F1下為真,在標(biāo)準(zhǔn)F2下為假.在這個(gè)意義下,布爾代數(shù)B上有兩個(gè)邏輯系統(tǒng).

命題2.2設(shè)B是布爾代數(shù),則∩F(B)={1}.

證明設(shè) 1b∈B,則 [b′,1]:={x∈B|b′≤x≤1}是真濾子,從而存在極大濾子F包含[b′,1].由B是布爾代數(shù)可知bF,因?yàn)镕是真濾子.這說明∩F(B)={1}.

設(shè)B是布爾代數(shù),且b∈B?{0,1}.命題2.2說明一定存在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)(極大濾子)使得b是真的,同時(shí)也存在另一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)使得b是假的.命題2.2也說明只有元素1在所有標(biāo)準(zhǔn)下是真的.這說明所有極大濾子的交有著明顯的邏輯意義,即所有極大濾子的交是恒真命題.對偶地,所有極大理想的交是恒假命題,所有極大理想的交是根理想的定義,因此根理想的邏輯意義是恒假命題.

下面用布爾代數(shù)是經(jīng)典邏輯的結(jié)論,給出有限布爾代數(shù)表示定理中n的確定方法.

命題2.3[10]設(shè)B是有限布爾代數(shù),則B同構(gòu)于冪集格2n.

如何找到命題2.3中的n呢？下面從邏輯的角度理解布爾代數(shù),并給出答案.給定集合A={a,b,c},則得到布爾代數(shù)(B,?),這里

當(dāng)把布爾代數(shù)B看作是經(jīng)典邏輯系統(tǒng)時(shí),則{a},{b},{c}是原子公式.從格的視角看待這個(gè)問題,{a},{b},{c}覆蓋了最小元,因此稱這些元素為原子[6].這就可以看做格中原子概念的由來.進(jìn)一步,記A(B)是布爾代數(shù)B的所有原子,從這些原子公式出發(fā),通過合取、析取和否運(yùn)算可得到邏輯系統(tǒng)的所有公式構(gòu)成的集合B,即從邏輯的角度看下面的命題是顯然的.

命題2.4[10]設(shè)B是有限布爾代數(shù),則B同構(gòu)于冪集格2|A(B)|.

3 模糊邏輯與剩余結(jié)構(gòu)

基于t-模的邏輯系統(tǒng)是模糊邏輯中重要的一類,t-模可以解釋為兩個(gè)命題之間的合取.當(dāng)t-模是左連續(xù)時(shí),它可以誘導(dǎo)剩余性蘊(yùn)含,從而可以利用t-模表示蘊(yùn)含算子和偽補(bǔ)算子(?x=x→0,這里0是最小元).因此,這一節(jié)圍繞由合取算子⊙和剩余性蘊(yùn)含算子→構(gòu)成的剩余結(jié)構(gòu)討論這些代數(shù)系統(tǒng).半-Hoop是一類較為寬泛的剩余結(jié)構(gòu),下面給出它的定義.

定義 3.1[5]稱 (L,∧,⊙,→,1)是半 -Hoop,如果它滿足

(SH1)(L,∧,1)是∧-半格且1是最大元;(SH2)(L,⊙,1)可換的幺半群;

(SH3)剩余性:(x⊙y)→z=x→(y→z).

定義 3.2(1)稱 (L,∧,∨,⊙,→,0,1)是剩余格[4],如果它滿足

(R1)(L,∧,∨,0,1)是有界格;(R2)(L,⊙,1)可換的幺半群;

(R3)剩余性:x⊙y≤z當(dāng)且僅當(dāng)x≤y→z.

(2)稱剩余格 (L,∧,∨,⊙,→,0,1)是 R?-monoid[12],如果它滿足可分性,即

(3)稱剩余格 (L,∧,∨,⊙,→,0,1)是 MTL-代數(shù)[3],如果它滿足預(yù)線性,即

(4)稱 MTL-代數(shù) (L,∧,∨,⊙,→,0,1)是 BL-代數(shù)[2],如果它滿足可分性.

(5)稱 BL-代數(shù) (L,∧,∨,⊙,→,0,1)是 MV-代數(shù)[1],如果它滿足對合性,即

例 3.1[13]設(shè)L={0,a,b,c,d,1}∨{(x,x)∈R2|x∈(2,3)},這里

其上交運(yùn)算∧、乘法運(yùn)算⊙和蘊(yùn)含運(yùn)算→定義如下:

否則u⊙v=0.當(dāng)u∧v=u,u→v=1;當(dāng)u=1,u→v=v;否則u→v=c.則L是半-Hoop.但它不是∨-半格,因?yàn)閍,b無上確界.此外,它不滿足可分性,因?yàn)閍⊙(c→a)a∧c.

例 3.2設(shè)L={0,a,b,c,d,e,1},序關(guān)系為

其上乘法運(yùn)算⊙和蘊(yùn)含運(yùn)算→如表1:

表1 剩余格例子

則L是剩余格.但它不滿足預(yù)線性,因?yàn)?b→c)∨(c→b)1.它不滿足可分性,因?yàn)閐⊙(d→b)d∧b;e⊙(e→b)/=e∧b;e⊙(e→d)e∧d.

例 3.3[14]設(shè)L={0,a,b,c,1},序關(guān)系為0

表2 R?-monoid

則L是R?-monoid.但它不滿足預(yù)線性,因?yàn)?a→b)∨(b→a)1.

例 3.4[15]設(shè)L={0,a,b,c,d,1},序關(guān)系為0

表3 MTL-代數(shù)

則L是MTL-代數(shù).但它不滿足可分性,因?yàn)閏⊙(c→b)c∧b.此外,它顯然不滿足對合性.

例 3.5設(shè)L={0,a,b,1}是鏈,其上乘法運(yùn)算⊙和蘊(yùn)含運(yùn)算→如表4:

表4 BL-代數(shù)

則L是BL-代數(shù).但它不滿足對合性,因?yàn)?/p>

例 3.6設(shè)L={0,a,b,c,1}是鏈,其上乘法運(yùn)算⊙和蘊(yùn)含運(yùn)算→如表5:

表5 MV-代數(shù)

則L是MV-代數(shù).

下面給出非鏈的MV-代數(shù).

例 3.7設(shè)L={0,a,b,c,d,1},序關(guān)系為

其上乘法運(yùn)算⊙和蘊(yùn)含運(yùn)算→如表6:

表6 MV-代數(shù)

則L是MV-代數(shù).

下面以MV-代數(shù)為例從代數(shù)的觀點(diǎn)說明模糊邏輯與經(jīng)典邏輯之間的區(qū)別.

(1)在經(jīng)典的邏輯系統(tǒng)中,對任意的命題x,可得恒假命題對于ukasiewicz邏輯,由例3.6知b≡b,從而b∧b不是假命題.從經(jīng)典邏輯觀點(diǎn)看,b既不是真命題,也不是假命題,這意味著經(jīng)典邏輯失效了.為解決這個(gè)問題,可以把0.5賦值給b,表示命題b是真的程度為0.5.因此必須把真值域從{0,1}擴(kuò)大到更大的范圍,從而得到了一種新的邏輯系統(tǒng)-模糊邏輯.

(3)從極大濾子角度觀察兩者的區(qū)別,在經(jīng)典邏輯系統(tǒng)中,由命題 2.2知布爾代數(shù)上所有極大濾子的交僅包含一個(gè)元素,它是恒真命題.在ukasiewicz邏輯中,這一結(jié)論不成立.在例 3.7中,{b,a,1}和{d,a,c,1}是濾子 (見定義 2.2),且他們是格L={0,a,b,c,d,1}上所有極大濾子,{b,a,1}∩{d,a,c,1}={a,1}.從而例3.7不是布爾代數(shù).但發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有意思的現(xiàn)象,在例3.7中,F={b,a,1}是格L={0,a,b,c,d,1}上的極大濾子,且F′={c,d,0},這里F′={x′|x∈F},容易驗(yàn)證F′=Fc.用定理2.1的觀點(diǎn)看,在標(biāo)準(zhǔn)F下,雖然也能判斷L中的元素的真假,但L不是布爾代數(shù).因?yàn)樵诹硪粋€(gè)標(biāo)準(zhǔn)G={d,a,c,1}下,G∩G′={a,d}?,即a與a′=d既是真命題又是假命題,矛盾.基于這些觀測,給出下面定理.

定理 3.1MV-代數(shù)L是布爾代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)格L上的任意極大濾子F滿足F∩F′=?,這里F′={x′|x∈F}.

證明由第2節(jié)內(nèi)容知?顯然成立.反之,設(shè)L是MV-代數(shù).若存在x∈L滿足x∧x′=b>0,則區(qū)間[b,1]是真濾子.從而存在極大濾子F使得F?[b,1],由此可得x,x′∈F.因此{(lán)x,x′}?(F∩F′).矛盾!這說明對任意的x∈L都有x∧x′=0.下面證明對任意的x∈L都有x∨x′=1.若存在x∈L滿足x∨x′=c<1,則x∧x′=(x∨x′)′=c′>0.矛盾!

例 3.8[16]設(shè) (G,+,?,0,∧,∨)是阿貝爾格序群,u∈G是強(qiáng)單位元 (?x∈G,?n滿足x≤nu).在集合[0,u]?G上定義

則 ([0,u],∧,∨,⊙,→,0,u)是 MV-代數(shù).

MV-代數(shù)與格序群有著密切的聯(lián)系,文獻(xiàn)[16]證明了MV-代數(shù)范疇與有強(qiáng)單位元的阿貝爾格序群范疇是等價(jià)的;進(jìn)而文獻(xiàn)[17]證明了偽MV-代數(shù)范疇與有強(qiáng)單位元的格序群范疇是等價(jià)的.從而建立了格序群與MV-代數(shù)的聯(lián)系,這說明可以把格序群中的概念和結(jié)論轉(zhuǎn)化到MV-代數(shù),反之亦然[18].

為了用分析的方法研究代數(shù)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)(例如收斂性),拓?fù)涫且粋€(gè)很好的工具.拓?fù)涓裥蛉菏艿絿鴥?nèi)外學(xué)者的關(guān)注,得到了一系列的研究成果.這些工作自然可以轉(zhuǎn)化到MV-代數(shù)中.文獻(xiàn)[19]利用容許集C建立了格序群上的C-拓?fù)?在此基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[20]借助距離度量和濾子F定義了開F-球,進(jìn)而以這些開球?yàn)榛玫搅薓V-代數(shù)上的拓?fù)?這里不要求MV-代數(shù)是2-可分的,從而改進(jìn)了文獻(xiàn)[19]的工作,之后文獻(xiàn)[21]給出了單和半單MV-代數(shù)的拓?fù)淇坍?另外,一個(gè)有意思的工作是文獻(xiàn)[22]利用domain的思想研究格序群,提出連續(xù)格序群的概念,進(jìn)而產(chǎn)生C-拓?fù)?這對研究剩余結(jié)構(gòu)上的拓?fù)溆泻芎玫膯l(fā).

定義 3.3[23]稱映射s:B?→[0,1]為MV-代數(shù)B上的態(tài),如果它滿足

(S1)s(0)=0,s(1)=1;

(S2)對任意的x,y∈B,若x⊙y=0,則s(x)+s(y)=s((x′⊙y′)′).

下面從概率的角度解釋態(tài)的定義.設(shè)F有限且是σ-代數(shù),p是F上的概率.則F是布爾代數(shù).下面說明p是 MV-代數(shù)F上的態(tài).首先p滿足(S1),因?yàn)榭帐录母怕适?0,全空間事件的概率是 1.其次p滿足 (S2),若A,B∈F是不相容事件,即A∧B=0,則p((A′⊙B′)′)=p(A∨B)=p(A)+p(B).需要注意的是,當(dāng)把布爾代數(shù)F看作是MV-代數(shù)時(shí),⊙與∧一樣,從而 (A′⊙B′)′=A∨B.在概率論中條件概率是重要的內(nèi)容,如何把條件概率推廣到MV-代數(shù)中,這是一個(gè)有意義的問題.

在態(tài)理論研究中,Bosbach態(tài)和Rie?an態(tài)是重要的兩類態(tài).文獻(xiàn) [24]研究了剩余格上兩類特殊的廣義Bosbach態(tài),解決了三個(gè)公開問題.文獻(xiàn)[25]研究了MTL-代數(shù)上的 Bosbach態(tài)和Rie?an態(tài),證明了 MTL-代數(shù)上存在 Bosbach態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)奇異濾子存在.由于邏輯代數(shù)的態(tài)不是它自身的算子,因而具有態(tài)的代數(shù)一般不是泛代數(shù),所以不能自然誘導(dǎo)斷言邏輯.為了給模糊事件的概率提供代數(shù)基礎(chǔ),文獻(xiàn)[26]運(yùn)用概率的方法引入了一種可代數(shù)化邏輯,它的等價(jià)語義恰好是具有內(nèi)態(tài)的MV-代數(shù)簇.在此基礎(chǔ)上,很多學(xué)者在剩余結(jié)構(gòu)上研究了內(nèi)態(tài)理論,例如:態(tài)半-Hoops[27]、態(tài)剩余格[28]、態(tài) R?-monoids[29]和態(tài) BL-代數(shù)[30].

下面給出特殊的一類半-Hoop,即它是半-Hoop且滿足可分性.

定義 3.4[5]稱 (H,⊙,→,1)是 Hoop,如果它滿足

(H1)(H,⊙,1)可換的幺半群;(H2)剩余性:(x⊙y)→z=x→(y→z);

(H3)可分性:x⊙(x→y)=y⊙(y→x);(H4)x→x=1.

需要注意的是,由可分性知Hoop是交半格,從而Hoop一定是半-Hoop.另一方面,Hoop一般情況下沒有格結(jié)構(gòu),從而Hoop未必是剩余格.若Hoop是有限的,則它一定是剩余格.因此構(gòu)造一個(gè)例子說明(H,⊙,→,1)是Hoop但不是剩余格,這是有價(jià)值的工作,但有一定的難度.因?yàn)镠必須是無限的.另外由于Hoop還要滿足可分性,這意味著運(yùn)算⊙與→有非常苛刻的兼容性,嚴(yán)重降低了構(gòu)造例子的自由度.反之,由例3.2知剩余格未必是Hoop.由例3.3知存在代數(shù)結(jié)構(gòu),它既是剩余格又是Hoop.

4 高階邏輯與 EQ-代數(shù)和相等代數(shù)

模糊型理論是一類高階模糊邏輯,它以模糊相等作為主要聯(lián)結(jié)詞.為給模糊型理論尋找更為廣泛的代數(shù)結(jié)構(gòu).文獻(xiàn)[8]提出了EQ-代數(shù).EQ-代數(shù)定義在有最大元的交半格上,有兩個(gè)邏輯運(yùn)算:合取運(yùn)算和模糊相等運(yùn)算,具體定義如下:

定義 4.1[8]稱 (E,∧,⊙,～,1)是 EQ-代數(shù),如果對任意的x,y,z,t∈E滿足

(EQ1)(E,∧,1)是1為最大元的∧-半格;

(EQ2)(E,⊙,1)是幺半群且⊙保序;(EQ3)自反性:x～x=1;

(EQ4)替代公理:((x∧y)～z)⊙(t～x)≤z～(t∧y);

(EQ5)全等公理:(x～y)⊙(z～t)≤(x～z)～(y～t);

(EQ6)單調(diào)性:(x∧y∧z)～x≤(x∧y)～x;

(EQ7)有界性:x⊙y≤x～y.

定義 4.2[8](1)稱 EQ-代數(shù) (E,∧,⊙,～,1)是好的,如果滿足x～1=x.

(2)稱 EQ-代數(shù) (E,∧,⊙,～,1)是剩余的,如果滿足 (x⊙y)∧z=x⊙y當(dāng)且僅當(dāng)x∧((y∧z)～y)=x.

EQ-代數(shù)是剩余格的推廣,兩者主要區(qū)別是:EQ-代數(shù)誘導(dǎo)的蘊(yùn)含算子

與乘法算子不再是伴隨的.因此,EQ-代數(shù)未必是剩余格(見下面的例子).需要注意的是,雖然有限剩余EQ-代數(shù)是剩余格,但剩余EQ-代數(shù)不是剩余格[13].在例3.1基礎(chǔ)上,定義x～y:=(x→y)∧(y→x),則 (L,∧,⊙,～,1)是剩余 EQ-代數(shù),但不是剩余格,因?yàn)樗皇遣敫?

例4.1[31]設(shè)E={0,a,b,c,d,1},序關(guān)系為0

表7 EQ-代數(shù)

則(E,∧,⊙,～,1)是EQ-代數(shù),但不是剩余格.因?yàn)椤巡粷M足交換性,例如

設(shè) (E,∧,⊙,～,1)是 EQ-代數(shù),且⊙1≤⊙(⊙1≤⊙定義為

則(E,∧,⊙1,～,1)是EQ-代數(shù).從中發(fā)現(xiàn)EQ-代數(shù)的乘法與模糊相等運(yùn)算存在較弱的關(guān)系,因此Jenei忽略乘法運(yùn)算,提出相等代數(shù),具體定義如下:

定義 4.3[9]稱(E,∧,～,1)是相等代數(shù),如果對任意的x,y,z∈E滿足

(EA1)(E,∧,1)是1為最大元的∧-半格;

(EA2)x～y=y～x;(EA3)x～x=1;(EA4)x～1=x;

(EA5)若x≤y≤z,則x～z≤x～y,x～z≤y～z;

(EA6)x～y≤(x∧z)～(y∧z);(EA7)x～y≤(x～z)～(y～z).

給定一個(gè)好的EQ-代數(shù),舍棄相乘運(yùn)算可得相等代數(shù).特別地,例4.1是好的EQ代數(shù),從而它是相等代數(shù).反之,給定一個(gè)相等代數(shù),如何誘導(dǎo)出一個(gè)好的EQ-代數(shù)使得兩者具有相同的相等運(yùn)算.考慮有最小元的相等代數(shù),設(shè)(E,∧,～,0,1)是相等代數(shù).定義⊙?為 1⊙?x=x⊙?1=x;u⊙?v=0,其它.則 (E,∧,⊙?,～,0,1)是相等代數(shù)誘導(dǎo)的好的EQ-代數(shù).令PE={⊙|(E,∧,～,0,1)是相等代數(shù)且E,∧,⊙,～,0,1)是好的EQ-代數(shù)},則PE非空,因?yàn)椤?∈PE.定義⊙1≤⊙2為?x,y∈E,x⊙1y≤x⊙2y,這里⊙1,⊙2∈PE.則 (PE,≤)是下集.注意到在 EQ-代數(shù)中x⊙y≤x∧y,如果∧∈PE,則(PE,≤)有最小元⊙?和最大元∧.但∧∈PE不成立,例4.1是相等代數(shù),但(EQ4)不成立,因?yàn)?(b∧1)～1)∧(0～b)≤1～(0∧1)不成立.因此給定一個(gè)相等代數(shù)(E,∧,～,0,1),如何誘導(dǎo)出一個(gè)好的EQ-代數(shù)且其乘法是(PE,≤)中的極大元,這是一個(gè)有趣的問題,值得進(jìn)一步的研究.

EQ-代數(shù)聚焦于模糊相等連接詞,為模糊型理論研究提供了新思路,因此受到國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注,出現(xiàn)了一系列有價(jià)值的成果.文獻(xiàn)[32]從代數(shù)的觀點(diǎn),考慮乘法與模糊相等的兼容性提出了相容EQ-代數(shù).文獻(xiàn)[33]從拓?fù)涞挠^點(diǎn),利用鄰域系構(gòu)造拓?fù)涫沟盟峭負(fù)銭Q-代數(shù).同時(shí),文獻(xiàn)[34-37]研究了EQ-代數(shù)上態(tài),內(nèi)態(tài)和廣義態(tài)理論,拓展了態(tài)的研究范圍,大部分成果被收錄在專著[38].

5 總結(jié)與展望

本文討論了9種代數(shù)結(jié)構(gòu)及其關(guān)系.同時(shí)也追蹤了這些結(jié)構(gòu)與格序群,拓?fù)浜透怕氏嘟Y(jié)合的文獻(xiàn).特別地,本文證明了布爾代數(shù)上極大濾子恰是賦值映射,以獨(dú)特的視角說明布爾代數(shù)是經(jīng)典邏輯,進(jìn)而從代數(shù)的視角揭示了經(jīng)典邏輯與模糊邏輯的不同.為了更好地理解這些代數(shù)結(jié)構(gòu),給出了相應(yīng)的例子.因?yàn)槔邮菍Υ鷶?shù)結(jié)構(gòu)及其理論的有力說明,也是把相應(yīng)理論運(yùn)用到實(shí)際問題的基礎(chǔ).

作為進(jìn)一步的研究,給出下面公開問題:

(1)概率模型在MV-代數(shù)上的推廣是態(tài)理論,條件概率及分布函數(shù)在MV-代數(shù)上的推廣是什么呢?

(2)構(gòu)造一個(gè)例子,它是Hoop,但不是剩余格.

(3)給出一個(gè)算法,能找到一個(gè)有限交半格的所有EQ-代數(shù).

(4)如何從相等代數(shù)誘導(dǎo)出一個(gè)好的EQ-代數(shù)?