數(shù)列求和模型的探究與應(yīng)用

高成龍

(天津外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校)

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中的重要知識,其中《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2017年版2020年修訂》在數(shù)列部分指出:一方面,要培養(yǎng)學(xué)生從實際問題抽象出數(shù)列模型的能力;另一方面,要體現(xiàn)數(shù)列是一種特殊的函數(shù),通過列表、圖像、通項公式表示數(shù)列,將數(shù)列融入函數(shù)中.因此,學(xué)習(xí)數(shù)列可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力,另外它獨特的遞推關(guān)系又可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象與邏輯推理能力.(an2＋bn＋c)·qn型數(shù)列涵蓋了高中學(xué)習(xí)的等差數(shù)列、等比數(shù)列、差比數(shù)列、{(－1)n·(an2＋bn＋c)}型數(shù)列.本文利用特殊到一般的思想,對(an2＋bn＋c)·qn型數(shù)列中的a,b,c,q進行分類討論,依次得到了以上數(shù)列的求和模型,最后給出一般的(an2＋bn＋c)·qn型數(shù)列求和模型.

1 等差數(shù)列求和模型

需要說明的是常數(shù)C,B的形式復(fù)雜,不要求強制記憶,解題時可根據(jù)S1,S2利用待定系數(shù)法求得.

2 等比數(shù)列求和模型

當(dāng)a＝b＝0,c≠0時,an＝c·qn,此時{an}為等比數(shù)列,下面給出等比數(shù)列求和模型.

模型2 設(shè){an}是首項為a1,公比為q(q≠1)的等比數(shù)列,則數(shù)列{an}前n項和模型為Sn＝Aqn－A,其中常數(shù)A可以由a1,q唯一確定.

3 差比數(shù)列求和模型

4 (an2＋bn＋c)·(－1)n(a≠0)型數(shù)列求和模型

當(dāng)a≠0,q＝－1時,an＝(an2＋bn＋c)·(－1)n(a≠0),下面我們探究該類型數(shù)列的求和模型.

模型4 若數(shù)列{an}滿足an＝(－1)n·(an2＋bn＋c),則{an}的前2n項和模型為S2n＝2an2＋(a＋b)n.

5 (an2＋bn＋c)·qn(a≠0,q≠1)型數(shù)列求和模型

模型5 若數(shù)列{an}滿足an＝(an2＋bn＋c)·qn(a≠0,q≠1),則數(shù)列{an}的前n項和模型為Sn＝A＋qn(Cn2＋Bn－A),其中A,B,C為待定系數(shù),可以利用a1,a2,a3求得.

證明an＝(an2＋bn＋c)·qn＝aqn2·qn－1＋(bn＋c)·qn.

由模型3-1得數(shù)列{(bn＋c)·qn}的前n項和為An＝A1＋qn·(B1n－A1).

(an2＋bn＋c)·qn型數(shù)列求和模型Sn＝A＋qn(Cn2＋Bn－A)是一個通用模型,它是數(shù)列求和模型的紐帶,利用該模型能研究等差數(shù)列、等比數(shù)列、差比數(shù)列等系列數(shù)列的求和問題.總之,利用數(shù)列求和模型求解數(shù)列前n項和將數(shù)列求和問題轉(zhuǎn)化為方程組的求解問題,體現(xiàn)了系列問題模型化、抽象問題直觀化、復(fù)雜問題簡單化的數(shù)學(xué)思想.作為教師,我們在教學(xué)中要善于總結(jié)規(guī)律,要鼓勵和引導(dǎo)學(xué)生建立一些常見的數(shù)學(xué)模型并能通過數(shù)學(xué)模型求解問題,讓學(xué)生親身經(jīng)歷將數(shù)學(xué)問題抽象成數(shù)學(xué)模型并應(yīng)用的過程,讓學(xué)生從中獲得知識的同時發(fā)展思維能力、情感態(tài)度與價值觀.另外在教學(xué)中我們提倡模型多元化,對于同一問題可以選擇用不同的模型去求解,這一過程可以培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)問題特點及運算的條件合理選擇運算方法的能力,進一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng),培養(yǎng)學(xué)生勇于創(chuàng)新的精神.