極坐標系與直角坐標系優、劣勢對比研究

鄧超群 胡書麗

(湖北省襄陽市第三中學)

極坐標方程與參數方程在高中數學中占有一席之地,這源于它在解決實際問題過程中帶來的便捷.尤其在圓錐曲線中涉及過一定點的長度、面積問題,若能恰當使用極坐標系或者選用直角坐標系下的參數方程,可以達到優化解題思路、簡化計算過程、快速準確得出答案的奇效.本文以近幾年高考試題、教材習題在這一板塊的高頻考點為依托,詳細闡述極坐標系和直角坐標系下的參數方程在圓錐曲線中的精彩應用,以期對讀者有所幫助.

極坐標系和直角坐標系是兩種不同的坐標系,它們互相轉化的前提是極點與坐標原點重合、極軸與x軸正半軸重合.參數方程是直角坐標系下曲線軌跡方程的另一種形態.在解決實際問題時,選用何種坐標系以及何種形態方程更合適呢? 下面以人教A版高中數學《選修4-4》課后習題和近幾年的高考題為例,對不同坐標系下不同方程的應用和同一坐標系下不同方程的應用做對比研究,找出它們的共性,總結出解決這一類問題的最佳方案.

1 不同坐標系對比研究

對比本例第(2)問的兩種方法,方法1 更為簡便.這是因為在極坐標系下把最值問題變成了三角函數最值問題,充分利用二倍角公式和正弦三角函數的有界性求出了最值.而傳統方法除了運算量大,還需要對重要不等式的應用掌握到位,最后轉化為二次函數利用數形結合得出最終結果.

結合極坐標系下A,B兩點的實際含義,本例第(1)問用余弦定理就能解決問題,第(2)問轉化成直角三角形斜邊在直角邊上的射影問題.若用直角坐標系解決此題,也比較便捷.由此可見兩種坐標系各有優勢,做題時要靈活選擇,方法沒有高低之分,但是總有最優解.

2 同一坐標系下不同方程應用對比研究

(1)求C和l的直角坐標方程;

(2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1,2),求l的斜率.

本例第(2)問的兩種解法相較而言,極坐標系下更為簡便.因為在極坐標系下把問題變成了中點坐標公式的應用,而利用普通方程的解法,對變形技巧要求比較高.

3 追本溯源總結共性

在解決實際問題中,我們經常會遇到過一定點的長度、面積問題.通過以上題目的解法探究,我們得到以下啟示.涉及長度、面積問題,且這些線段所過的定點為原點時,選用極坐標系較簡單.這是由極徑的本質定義決定的.極徑ρ表示線段OM從極軸出發繞極點O旋轉θ而得,即極徑ρ過極點O,故當線段過的定點與直角坐標系原點O重合時,選用極坐標較為簡單;否則,選用直角坐標系下的參數方程更為簡便.

4 小結

基于以上探討和研究,結合日常教學經驗,筆者有以下幾點感悟.

1)強化概念教學

李邦河院士在2009年4月中國數學會上說過數學玩的是概念,而不是純粹的技巧.每一個數學概念都是無數優秀的人用最優秀的智慧凝練而成,它精準、簡潔.數學概念是構成數學知識結構體系的基礎,也是數學思維的基礎.因此,理解數學概念、掌握和應用數學概念是學生形成數學學科核心素養的基本要求.作為教師,給學生講清楚概念的來龍去脈,引導學生探究真相,揭示本質,總結共性,達到增強學生的思辨能力和創新意識是概念教學的最終目的.具體到極坐標和直角坐標優、劣勢對比,兩種不同坐標系互化的前提是極點與直角坐標系原點重合、極軸與x軸正半軸重合,這是基石,教學中有必須要給學生強調到位.

2)加強對比、類比研究

章建躍說過利用對比明晰概念.有比較才有鑒別,對同類概念進行對比,可概括共同屬性,對具有種關系的概念做類比,可突出被定義概念的特有屬性.對比研究、類比研究是建立直觀感知的重要學習方式,新教材中的很多知識點都是建立在對比研究、類比研究上的.教師在實際教學中通過對比研究、類比研究可以拓寬學生的視野、拓展學生的思路,激發學生的求知欲望,有利于培養學生科學的探索精神,塑造學生的思維品質.

3)教師要有正確的學生觀

學生是發展的人,教育的根本目的是為了使人得到更好的發展.教師應當給學生創造展示、表達的機會,呵護學生對新知識的探索欲望.以極坐標系這一節為例,教師完全可以通過對比研究、類比研究的方式,讓學生總結歸納兩種不同坐標系下的優劣勢,讓學生感受到知識是有用的、概念是鮮活的、方法是令人驚嘆的、數學是美的.