數學解題的金鑰匙
——化歸與轉化

張欣然

(北京中學)

1 思想概述

在解題實踐中,尋求正確有效的解題思路,意味著尋找一條擺脫困境、繞過障礙的途徑.因此,思考的重點就是把所需要解決的問題轉化為已能解決的問題.也就是說,在直接求解不易或從正面難以找到解題途徑時,我們往往通過轉化問題的形式,從側面或反面尋找突破口,直到最終把它轉化成一個或若干個熟知的或易解決的問題,這就是數學思維中重要的思想——化歸與轉化思想.

在用化歸與轉化思想解決數學問題時,一個必要的前提是,化歸變形后的問題必須是易解決的(即化歸后所得到的問題應當比原來的問題簡單或是已經解決的問題).因此,化歸與轉化的方向應當是由抽象到具體、由復雜到簡單、由難到易、由繁到簡.

每個數學問題都是在不斷地轉化中獲得解決的,即使是常見的數學思想方法(如數形結合思想、函數與方程思想、分類討論思想等)也都是轉化與化歸思想的表現形式.

2 轉化方法

2.1 “正”與“反”的轉化

在解數學問題時,從正面思考是常用的思維方式,但有些問題若按這種常規的思維方式求解可能會遇到困難,此時,用逆向思維即從反面去思考,往往能夠化難為易.

當正面考慮問題困難或情況較復雜時,可以從反面入手求解,這樣求解具有既嚴謹又簡捷的優勢.

2.2 “一般”與“特殊”的轉化

對于一時難以入手的問題,一種簡單易行的化歸途徑是把它向特殊的形式轉化.由于特殊的事物與普通規律有著自然的聯系,所以這種方法有兩種類型:一是將簡單情形作為解決問題的突破口;二是特殊對象(包括著眼于極端情形)為求解問題奠定基礎.

圖1

分析 可以從點P的特殊位置——橢圓與y軸交點B入手分析.

2.3 “數”與“形”的轉化

數與形是數學中的兩種最基本的研究對象,它們在一定的條件下可以相互轉化.利用數形結合思想,不但容易找到解題途徑,而且能避免復雜的計算與推理,大大簡化了解題過程.

例3 已知方程f(x)＝x3－3x,如果方程|f(x)|－m＝0有六個不同的解,那么實數m的取值范圍是________.

分析 要保證“帶有絕對值符號的三次方程有六個解”,從正面思考比較困難,但是可以化歸為研究函數y1＝|f(x)|與y1＝m的圖像交點問題.

解 因為f(x)＝x3－3x,所以f′(x)＝3x2－3,令f′(x)＝0,得到x＝1或－1.當x＞1或x＜－1時,f′(x)＞0,所以f(x)在[1,＋∞)和(－∞,－1]上單調遞增,當－1＜x＜1時,f′(x)＜0,所以f(x)在[－1,1]上單調遞減.知f(－1)＝2,f(1)＝－2,畫出y＝|f(x)|的圖像,如圖2所示.方程|f(x)|－m＝0有六個不同的解,則y＝|f(x)|的圖像與y＝m的圖像就有六個交點,觀察圖像可以得出0＜m＜2.

圖2

要想靈活應用數形結合思想解題,要注意以下三點:1)需要平時在二者的“結合”上多下功夫,多積累常見的“結合點”;2)畫圖盡量準確,這就需要學生打好扎實的畫圖基本功;3)利用數形結合思想解題在書寫步驟時,一定要敘述嚴謹,防止發生因解題不規范而失分的現象.

2.4 “高維”向“低維”的轉化

由“高維”向“低維”的轉化是解答數學問題的一種常用方法,是“以退為進”策略的一種體現.主要是將空間問題平面化,將高次問題低次化,通過轉化使問題獲解.

圖3

分析 線段CP在平面BC1C內,線段PA1在平面A1BC1內,這兩個平面有公共交線BC1,因此可以考慮把這兩個平面展開在同一平面內,這樣就能把一個“三維”問題轉化成一個“二維”問題.

圖4

解 連接A1B,將△CBC1展開與△A1BC1在同一平面內,如圖4 所示,連接A1C,則A1C的長度就是CP＋PA1的最小值.

將空間問題轉化為平面問題求解,是解決立體幾何問題的常用方法,探索空間內兩點距離的最短問題時,常用“展開”變換,化曲(折)為直,從而把“折線拉成直線,曲面展成平面”,使問題得以巧妙解決.

2.5 “整體”與“局部”的轉化

當a＞1時,2a＞a＋1.當x＞2a或0＜x＜a＋1時,f′(x)＞0;當a＋1＜x＜2a時,f′(x)＜0.因此,函數f(x)的單調遞增區間是(0,a＋1)和(2a,＋∞),單調遞減區間是(a＋1,2a).

當0＜a＜1時,2a＜a＋1.當x＞a＋1或0＜x＜2a時,f′(x)＞0;當2a＜x＜a＋1時,f′(x)＜0.因此,函數f(x)的單調遞增區間是(0,2a)和(a＋1,＋∞),單調遞減區間是(2a,a＋1).

當a＝1時,2a＝a＋1,f′(x)≥0(只在x＝2a處等于0),所以函數f(x)在定義域(0,＋∞)上是增函數.

當不能對問題所給的對象進行統一研究時,需要對研究的對象進行分類,然后分別研究每一類,得出每一類的結論,最后綜合各類的結果得到整個問題的解答.實際上,分類討論就是“化整為零,各個擊破,再積零為整”的策略.

3 備考建議

1)熟練、扎實地掌握基礎知識、基本技能和基本方法是轉化的基礎,平時要養成善于反思的好習慣,注意歸納總結一些常見的轉化模型,如不等式恒成立問題?？梢赞D化為函數值域問題.

2)在化歸與轉化時要明確三點:a)將什么東西轉化,即轉化的對象;b)轉化到何處去,即轉化的目標;c)如何進行轉化,即轉化的方法.

3)注意化歸的等價性,確保邏輯正確.化歸包括等價化歸和非等價化歸,等價化歸后的問題與原問題本質是一樣的,不等價化歸則部分改變了原對象的本質,需要對所得結論進行必要的修正.