五法求解數列通項公式的思路例析

馬應雄

(陜西省漢中市鎮巴中學)

數列不僅在高中數學中占有不可或缺的地位,而且在高考中也有重要地位,求解數列的通項公式是經?？疾榈闹R點,通項公式能夠直接反映出數列的實質,是解答數列問題的關鍵所在.求解數列通項公式的題型多樣,求解方法靈活多變,很多學生還未真正掌握求解通項公式的方法.本文將利用幾個具有代表性的例題幫助學生理解和掌握求解數列通項公式的幾種常用方法,希望能夠幫助學生厘清思路,正確求解問題.

1 公式法

公式法是求解數列通項公式最簡單、最基礎的方法,主要利用等差數列或等比數列對應的公式求解,即an＝a1＋(n－1)d或an＝a1qn,適用于能直接解得數列的首項和公差(或公比)的題目.利用公式法求數列通項公式的具體步驟如下:1)根據具體題意確定數列的類型;2)分析數列的首項、公差或公比,并利用對應的公式計算,解得所求的數列通項公式.

2 累加法

累加法,也叫逐差疊加法,指的是多次相加求解的意思,其本質是恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1),適用于差值不是相等就是有規律變化的情形.當給定條件最終可轉化為形如an＋1＝an＋f(n)的形式時(f(n)可以是常數,也可以是等差數列或關于n的一次函數、分數函數等),便可利用累加法求解通項公式.利用累加法求通項公式的具體步驟如下:1)根據題意將已知條件轉化為an＋1－an＝f(n)的形式;2)利用累加法,將各個等式等號左、右兩邊分別相加,計算解得通項公式;3)檢驗n＝1時上述通項公式是否成立,得到最終答案.

例2 若數列{an}滿足an＋1＝an＋2n＋1,a1＝1,求數列{an}的通項公式.

分析 本題是一個典型的an＋1＝an＋f(n)型數列,將其整理成an＋1－an＝2n＋1的形式,直接利用累加法,解得an＝n2(n≥2),檢驗n＝1時上式也成立,確定an＝n2.

當n＝1時,a1＝1,也滿足上式.因此,數列{an}的通項公式為an＝n2.

3 累乘法

4 遞推作差法

遞推作差法是根據遞推公式采用逐項相減的方法求解問題,一般指的是利用公式Sn－Sn－1＝an求解數列的通項公式,適用于已知Sn與an的題目.利用遞推作差法求通項公式的具體步驟如下:1)作差,將題設中的等式兩兩相減解得出當n≥2時的通項公式(Sn－Sn－1＝an)或公差;2)結合題意分析數列首項的值,進而解得數列的通項公式.

例4 (1)已知Sn表示數列{an}的前n項和,an＞0,且滿足a2n＋2an＝4Sn＋3,求數列{an}的通項公式;

(2)已知數列{an}的前n項和為Sn＝n2－10n,求數列{an}的通項公式.

因為an＞0,所以an＋1－an＝2,當n＝1 時,由a21＋2a1＝4S1＋3,解得a1＝3或－1(舍).因此,數列{an}是首項為3,公差為2的等差數列.

綜上,{an}的通項公式為an＝2n＋1.

(2)當n≥2 時,an＝Sn－Sn－1＝(n2－10n)－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11.當n＝1 時,a1＝S1＝12－10×1＝－9,也滿足an＝2n－11.因此,數列{an}的通項公式為an＝2n－11.

5 待定系數法

待定系數法是求解數列通項公式的常用方法,它是將一個多項式表示成含有待定系數的形式,進而得到一個恒等式,利用恒等式的性質得出系數應滿足的方程或方程組,再求出待定系數或找出某些系數所滿足的關系式.待定系數法適用于遞推式為an＋1＝pan＋q(p≠1,pq≠0)或an＋1＝pan＋qn＋1(p,q為常數)等類型問題.利用待定系數法求通項公式的具體步驟如下:1)構造等比數列,根據具體問題構造形如an＋1＋x＝p(an＋x)的等式,解得x的值;2)代入x的值計算數列{an＋x}的通項公式,并借此解得所求數列的通項公式.

數學歸納法也是求解數列通項公式的常用方法,此方法對學生的能力要求較高,除此之外,還有一種簡單的方法——觀察法,即直接分析前幾項數列的規律和特點,直接解得通項公式.