探究數(shù)列問(wèn)題的致錯(cuò)根源

舒 靜

(云南省曲靖市第二中學(xué))

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的基本模塊,主要涉及等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)問(wèn)題,以及求與這兩個(gè)數(shù)列相關(guān)的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和問(wèn)題.學(xué)生在解題中由于對(duì)相關(guān)概念的理解不全面,不注意公式應(yīng)用的條件,以及n的范圍等,易造成無(wú)謂失分.下面針對(duì)這些失分點(diǎn)舉例分析,給學(xué)生提個(gè)醒,避免錯(cuò)誤再次出現(xiàn).

1 對(duì)數(shù)列概念的理解不充分

等差數(shù)列、等比數(shù)列是兩個(gè)最基本的數(shù)列模型,高考中與數(shù)列有關(guān)的命題,大多以這兩個(gè)數(shù)列或可以轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列的問(wèn)題為背景,因此我們要準(zhǔn)確把握這兩個(gè)數(shù)列的概念.

例1 已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且Sn－Sn＋1＝an,則數(shù)列{an}一定是( ).

A.等差數(shù)列

B.等比數(shù)列

C.常數(shù)列

D.無(wú)法判斷

剖析 等比數(shù)列的定義:從第二項(xiàng)起,每項(xiàng)與其前一項(xiàng)之比為常數(shù).因其中涉及兩數(shù)之比,故等比數(shù)列中不能有為0的項(xiàng).本題中若an＝0,則Sn＋1,Sn均為0,滿足Sn－Sn＋1＝an,此時(shí)數(shù)列{an}不是等比數(shù)列.故選D.

2 對(duì)數(shù)列的性質(zhì)認(rèn)識(shí)不全面

等差數(shù)列與等比數(shù)列有很多重要的性質(zhì),在某些問(wèn)題的求解中,靈活應(yīng)用這些性質(zhì)可簡(jiǎn)化解答過(guò)程.但這些性質(zhì)的成立是有條件的,如果解題中沒(méi)有注意這些條件,往往會(huì)造成錯(cuò)誤的判斷.

例2 已知{an}是公比為q的等比數(shù)列,現(xiàn)有如下3個(gè)命題:

①若q＞1,則?n∈N*,都有an＋1＞an;

②數(shù)列{an}的依次每n項(xiàng)之和仍為等比數(shù)列;

其中正確命題的個(gè)數(shù)是( ).

A.0 B.1 C.2 D.3

錯(cuò)解 在解答此題時(shí),由于對(duì)等比數(shù)列的性質(zhì)認(rèn)識(shí)不全面,選擇B,C或D 的學(xué)生大有人在.

剖析 對(duì)于①,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1,其增減性除了和q有關(guān)外,還與首項(xiàng)a1的正負(fù)有關(guān).當(dāng)a1＞0時(shí),若q＞1,{an}單調(diào)遞增;若0＜q＜1,{an}單調(diào)遞減;當(dāng)a1＜0時(shí),若q＞1,{an}單調(diào)遞減;若0＜q＜1,{an}單調(diào)遞增.故①錯(cuò)誤.

對(duì)于②,依次每n項(xiàng)之和,即Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…,其為等比數(shù)列的條件是Sn≠0.若Sn＝0,則這一性質(zhì)不成立,如數(shù)列1,－1,1,－1,1,－1.故②錯(cuò)誤.

3 忽視公式成立的條件

剖析 本解法的錯(cuò)誤之處就是在利用等比數(shù)列求和公式時(shí),未能對(duì)q≠1及q＝1進(jìn)行討論,從而出現(xiàn)錯(cuò)解.

由2Sn＝Sn＋2＋Sn＋1,即2Sn＝(Sn＋an＋1＋an＋2)＋(Sn＋an＋1),容易得到2an＋1＋an＋2＝0,故q＝－2.

4 忽視n 為正整數(shù)的限制

數(shù)列可視為以n為自變量的函數(shù),因此某些數(shù)列問(wèn)題可類比函數(shù)進(jìn)行處理,但要注意與函數(shù)不同的是數(shù)列中的n的取值為正整數(shù),若忽視這一性質(zhì),則可能在解題時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

5 忽視結(jié)論成立的充分性

6 忽視n 的范圍

通常情況下數(shù)列中n的范圍是正整數(shù),但在某些關(guān)系式的限制下,n的范圍并不是所有的正整數(shù),此類問(wèn)題的求解中要注意考慮n的范圍.

例6 在數(shù)列{an}中,a1＝1,an＝a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_________.

7 求和時(shí)對(duì)項(xiàng)數(shù)的統(tǒng)計(jì)出錯(cuò)

無(wú)論是等差數(shù)列還是等比數(shù)列,在求某些項(xiàng)的和時(shí),除了要知道公差或公比外,還要知道具體的項(xiàng)數(shù),而對(duì)某些數(shù)列求和時(shí),其項(xiàng)數(shù)并不易直觀判斷,學(xué)生在解題中常出現(xiàn)項(xiàng)數(shù)統(tǒng)計(jì)出錯(cuò)的情況.

8 在求Sn 的最值問(wèn)題中忽視零項(xiàng)的存在

以等差數(shù)列為例,若公差d＜0,則其前n項(xiàng)和有最大值;若公差d＞0,則其前n項(xiàng)和有最小值.對(duì)于取得最值時(shí)n的值為多少,若忽視為0的項(xiàng)的存在,則易出現(xiàn)漏解的情況.