某些鏈環瓊斯多項式的零點性質

韓友發， 張宇濃, 燕佳鈺, 姜明慧

(遼寧師范大學 數學學院，遼寧 大連 116029)

本論文主要分為兩個部分,第一部分介紹一些基本知識,包括紐結鏈環的定義,Alexander多項式和Jones多項式的表達形式與性質;第二部分,重點討論了排叉結P(k,1,…,1)和P(k,k,k)的瓊斯多項式的零點分布性質，給出了某些單位根不是解的證明.

1 預備知識

1.1 紐結的基本概念

定義1.1把嵌入歐式空間R3或者三維球面S3中的圓周S1稱為紐結.若給紐結規定一個方向,則得到有向紐結.

定義1.2由有限條互不相交的簡單閉曲線構成的圖形,稱為鏈環;組成鏈環的每一條閉曲線稱為該鏈環的一個分支；如果給鏈環的每一個分支規定一個方向,則稱該鏈環為有向鏈環.

定義1.3對有向投影圖L的全體交叉點符號(+1或-1)(見圖1)求和,結果稱為L的擰數,記作ω(L).

圖1 交叉點符號

1.2 紐結多項式

引理1.1[3]亞歷山大多項式Δ(L)的3個基本性質：

(1)同痕不變量.

(2)拆接關系式:

(3)Δ()=1.

引理1.2[3]設L是紐結的任意一個有向投影圖，則都有一個關于t的整系數多項式V(L),同時滿足下面3個性質：

(1)它是同痕不變量.

(2)滿足拆接關系式:

(3)平凡紐結的多項式為

V()=1.

則稱V(L)是L的瓊斯多項式.

1.3 排叉結

定義1.4排叉結p(c1,c2,…,cn)由n元數組(c1,c2,…,cn)確定,i=1,2,…,n(n≥3),|ci|表示該位置的半扭轉數,ci的正負表示扭轉數的正負(見圖2)．

圖2 p(c1,c2,…,cn)標準圖

2 排叉結及排叉鏈環的瓊斯多項式零點性質

引理2.1[7]當k是偶數時,P(k,1,…,1)為排叉紐結,其瓊斯多項式為

t1-n+(t+t-1+1)·(tk-1)·(-1)n-1}.

(1)

當k是奇數時,P(k,1,…,1)為排叉紐結,其瓊斯多項式為

Vp(k(1),1(n-1))(t)=

(2)

(tk+t+t-1+1)·t1-n+(t+t-1+1)·(tk-1)·(-1)n-1，

得到

(3)

根據i4k=1,i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3=-i(k為整數)，可以分下幾種情況討論(見表1，表2)：

表1 取值討論表

表2 取值討論表

當k為偶數,n為偶數時： 此時式(3)變為

同樣以下幾種情況討論：

2.2 排叉鏈環P(k,k,k)的瓊斯多項式零點性質

引理2.3[7]當k是正整數時,排叉鏈環P(k,k,k)的瓊斯多項式為

(4)

t3k+(t+t-1+1)[3tk+(-1)3k(t+t-1)],

得到

由數學歸納法知

循環重復取值,周期為8(見表3).

表3 取值討論表

當k≠4n時，虛部不為0，結論成立.

當k=4n時，虛部為0，下面證明實部不為0.

表4 取值討論表