一類積分算子的有界性

李 然， 姜宏升

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧 大連 116029)

1 預(yù)備知識

2000年 Hedenmalm, Korenblum和Zhu[1]率先刻畫一類積分算子的有界性.2006年Kures和Zhu[2]對單位球上一類積分算子的有界性進行完全刻畫. 2015年Zhao[3]介紹單位球上舒爾檢驗, 并且應(yīng)用此舒爾檢驗去證明單位球加權(quán)空間Lp(Bn,dμc)到Lq(Bn,dμd)上的一類積分算子的有界性.本文研究在單位圓盤加權(quán)空間Lp(D,dμc)到Lp(D,dμd)上一類積分算子的有界性.更多高維空間上積分算子的性質(zhì)可以詳見參考文獻(xiàn)[4].令D表示復(fù)平面C中的單位圓盤, dA(z)表示D上的單位面積測度. 先介紹一類積分算子.

定義1.1對于任意實參數(shù)a,b,c,d,考慮兩個積分算子:

和

考慮Ta,b,c,d,p和Sa,b,c,d,p在單位圓盤加權(quán)空間Lp(D,dμc)到Lp(D,dμd)空間上的有界性, 其中，1≤p<∞, dμc(z)=(1-|z|2)cdA(z),dμd(z)=(1-|z|2)ddA(z).

用〈·,·〉d表示Lp(D,dμd)中對偶積分對, 〈·,·〉c表示Lp(D,dμc)中對偶積分對, ‖·‖p,d表示Lp(D,dμd)中范數(shù). 通過Banach共軛算子的定義, 得到

〈(Ta,b,c,d,pf),g〉d=〈f,[(Ta,b,c,d,p)*g]〉c,

進而有

因此得到從Lq(D,dμd)到Lq(D,dμc)的積分算子(Ta,b,c,d,p)*,

由于實參數(shù)a,b,c,d任意性,發(fā)現(xiàn)Ta,b,c,d,p的共軛算子(Ta,b,c,d,p)*和Ta,b,c,d,p的表達(dá)形式有如下關(guān)系.

引理1.2設(shè)q是p的共軛指數(shù), 那么

(Ta,b,c,d,p)*=Tb-c,a+d,d,c,q.

引理1.3若f(z)為D上解析函數(shù), 對于c>-1, 有

引理即證.

引理1.4[2]對任意-1<α<+∞和任意實數(shù)β,令

引理1.5[4]設(shè)X是測度空間,μ和ν是X上的正測度. 令T(x,y)是X×X上正可測函數(shù),T是從Lp(X,dμ)到Lp(X,dν)的積分算子,

2 一類積分算子有界性

下面對于定義1.1中的積分算子討論有界性.

定理2.1對于1≤p<∞, 且d≤c, 下面3個條件等價.

(1)Ta,b,c,d,p在Lp(D,dμc)上有界;

(2)Sa,b,c,d,p在Lp(D,dμc)上有界;

(3)ap+d>-1，c+1

證為了敘述方便, 令Ta,b,c,d,p=T,Sa,b,c,d,p=S.

(2)?(1):

對于Lp(D,dμc)中任意函數(shù)f, 可知

(1)?(3):

因此,

選取測試函數(shù)f(z)=(1-|z|2)N, 令Np+c>-1, 因此f∈Lp(D,dμc). 根據(jù)引理1.3, 得到

因此ap+d>-1.

當(dāng)p>1時, 由引理1.2、引理1.3和ap+d>-1,得到(b-c)q+c>-1.因此c+1

當(dāng)p=1時,T*在L∞(D,dμd)上有界, 不等式轉(zhuǎn)化為b>c.

選取測試函數(shù)f(z)=1. 根據(jù)引理1.2和引理1.3得到

根據(jù)引理1.5, 令α=a+d>-1,β=c-d, 因為d≤c, 所以β≥0, 即(T*f)(z)無界, 矛盾. 因此b>c.

(3)?(2)：

當(dāng)p=1時,

根據(jù)Fubini定理, 得到

令α=a+d>-1,β=b-d>b-c>0, 由引理1.4得到

因此‖Sf‖1,d≤‖f‖1,c.

當(dāng)p>1時, 令

(1)

將式(1)帶入引理1.5, 得到

化簡得

(2)

化簡得

(3)

這里M為正數(shù),q為p的共軛指數(shù).