一類具有媒體效應和追蹤隔離的SIQR 時滯傳染病模型

張鈺倩，張太雷，侯雯珊，宋學力

（長安大學理學院，陜西 西安 710064）

傳染病嚴重威脅人類的生命健康，給人類帶來了重大災難。1347—1352 年鼠疫在歐洲流行，致使2 500 多萬人死于非命，死亡人數為當時歐洲人口的近1/3［1］。1988—2020 年，全球至少出現了30 種突發性傳染病，如2003 年的SARS、2009 年的甲型H1N1、2013 年的H7N9、2014 年的登革熱和埃博拉病毒（Ebola virus）、2019 年的COVID-19。截至2022 年1 月19 日，全球220 多個國家和地區累計因COVID-19 死亡超過550 萬，并仍在持續擴散?？梢妼魅静〉姆揽匾恢笔切l生防疫部門關注的重點之一。

研究發現，影響疾病傳播的因素很多，如環境衛生狀況、人口密度、媒體報道、疫苗接種、人口遷移、氣候變化等。在信息化時代，大眾媒體與傳染病的傳播和控制之間存在復雜而密切的關系。每當一種疾病暴發時，有關這種疾病的病例數和死亡人數等信息通過大眾媒體、電視、報紙、網絡等方式告知公眾。據觀察，這些信息會令個人行為發生變化，引導人們通過采取各種措施，如戴口罩、使用消毒液、保持社交距離等保護自己，從而減少傳染病的傳播和蔓延。近年來，學者們從不同角度建立了具有媒體報道的傳染病模型［2-6］，其中，最基本的具有媒體報道的SIR 模型為

其中，f(S(t)，I(t)，M(t))=βe-α1E-α2I-α3H為媒體函數，將其嵌入接觸傳播率或發生率。CUI 等［7］取f(S(t)，I(t)，M(t))=βe-mI，LI 等［8］取f(S(t)，I(t)，M(t))=β1-β2f(I)，LIU 等［9］認為媒體函數不僅取決于感染人數，也取決于其變化率［10-12］。這些模型均間接地通過媒體報道量反映個體行為改變對傳染病的影響。YAN 等［13］主要用統計模型方法，直觀刻畫了媒體報道對個體行為的影響，并將其與傳染病動力學模型耦合。隨后根據COVID-19 的特點建立了SEIR 類型的傳染病模型［14］，用戴口罩比例函數e-kp(t)作為媒體函數嵌入感染強度，以刻畫個體行為改變對COVID-19 疫情的影響?？紤]媒體報道量隨疫情和時間不斷變化，因此將其視為變量，使得到的數學模型與現實情形更接近。近年來，研究者發現媒體報道存在時間滯后現象，因此將時滯引入具有媒體報道的傳染病動力學模型，研究結果不僅呈現了更加復雜的動力學現象，而且擴展了時滯微分方程的應用范圍［15-17］。

隨著媒體的持續報道，公眾及政府對傳染病的發病周期和傳染率等越來越重視。當傳染病暴發時，國家衛健委迅速預判并采取嚴格的管控措施，對患病群體進行隔離，以控制傳染源，防止傳染病蔓延擴散。通過限制患病群體的活動范圍，避免病毒通過患者的分泌物、排泄物、污染物及周圍環境中的病原體等媒介傳染給正常群體。歷史上隔離措施已被廣泛用于鼠疫、霍亂、麻疹、破傷風、狂犬病等人類傳染病和豬瘟等動物傳染病的控制，近年也用于手足口病、SARS、禽流感等疾病的控制［18-21］，特別是此次新冠肺炎疫情暴發，隔離措施得以進一步完善，政府及時采取了精準的追蹤隔離措施，有效控制了傳染病的傳播［22-25］。上述研究表明，對大多數傳染病而言，追蹤隔離是不可忽略的一項因素。

1 模型建立

將某一區域t時刻的總人口數N(t)分成易感者S(t)、感染者I(t)、隔離者Q(t)和恢復者R(t)四類，建立了一類具有媒體效應和追蹤隔離的SIQR 時滯模型。傳染病模型倉室示意圖如圖1 所示。

由圖1，得到時滯微分方程：

圖1 模型1 倉室示意Fig.1 Compartment diagram of model 1

其中，Λ表示人口的常數輸入，α表示去過病毒污染場所的易感者的比例，μ表示自然死亡率，η表示感染者的檢測率，r1，r2分別表示感染者和隔離者的恢復率，ζ1，ζ2分別表示感染者和隔離者的因病死亡率，τ表示媒體報道所產生的時滯。據文獻［26］，去過病毒污染場所的易感者的追蹤隔離率函數為

假設式（2）滿足初始條件：

S(θ)=φ1(θ)，I(θ)=φ2(θ)，θ=[-τ，0]。（3）φ=（φ1，φ2）T∈C，其中C表示全體從[-τ，0]映射到R2+的函數組成的巴拿赫空間C([-τ，0]，R2+)。設(S(t)，I(t))為式（2）滿足初值條件式（3）的解，顯然對任意的t≥0，有S(t)≥0，I(t)≥0。令N1(t)=S(t)+I(t)，由文獻［27］，知式（2）的解具有非負性，并將式（2）的2 個方程相加，得到

2 平衡點的存在性和穩定性

由式（5）的第1 個方程，得

綜上，當R0＞1 時，存在地方病平衡點E*=(S*，I*)。故式（2）存在無病平衡點和地方病平衡點。

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定理1 得證！

注1 研究無病平衡點和地方病平衡點的性態具有十分重要的意義。無病平衡點對應疾病的消亡狀態，而地方病平衡點對應疾病最終在人群中長期存在，成為一種地方病的狀態。因此，研究平衡點的穩定性，對了解疾病的最終發展趨勢具有重要的理論意義。

定理2 當R0＜1 時，對任意的τ≥0，無病平衡點E0局部漸近穩定；當R0＞1 時，E0不穩定。

證明 將式（2）線性化，可得其在E0處的特征方程為

定理3 當R0＜1 時，對任意的τ≥0，式（2）的無病平衡點E0全局漸近穩定。當R0＜1 時，由LaSalle不變集原理，得式（2）的無病平衡點E0全局吸引，結合定理2，可得E0全局漸近穩定。

注2 局部穩定性只能描述當初始值落在平衡點附近時疾病是滅絕還是持續存在，而全局穩定性則可將系統的初始值擴充至在更大范圍內變化時，研究疾病的最終狀態。

定理4 當R0＞1 時，若τ=0，則地方病平衡點E*局部漸近穩定。

證明 線性化式（2），可得其在E*處的特征方程為所以式（7）的根均有負實部。故當τ=0 時，地方病平衡點E*局部漸近穩定。

當τ＞0 時，隨著τ的不斷增大，地方病平衡點失去平衡，產生Hopf 分支。

3 地方病平衡點的Hopf 分支

4 疾病的持久性

5 數值模擬

取初始值(S，I)=(1.5，0.5)，θ∈[-τ，0]，參數Λ=0.4，α=0.1，β1=0.5，β2=0.9，β0=0.45，β00=0.85，δ=0.075，μ=0.2，η=0.000 3，r1=0.1，ξ1=0.000 2，σ=200，計算得到基本再生數R0=3.594 0 ＞1，地方病平衡點E*=(1.683 0，0.210 8)，取k=0，經計算可得，ω0=0.161 1，τ0=11.696 0。因此當取τ=10.5 ＜τ0時，地方病平衡點E*局部漸近穩定（圖2 和圖3），且p21-4p2=0.003 6，滿足式（11）條件（i）或（ii），與定理5 一致。隨著τ的增大，當取τ=12.5 ＞τ0時，觀察到系統在地方病平衡點E*附近出現了分支周期解，如圖4 和圖5 所示。

圖2 當τ=10.5 時地方病平衡點E*=(1.683 0，0.210 8)局部漸近穩定Fig.2 The endemic equilibrium E*=(1.683 0，0.210 8)is locally asymptotically stable when τ=10.5

圖3 當τ=10.5 時E*局部漸近穩定的相位圖Fig.3 Phase diagram of local asymptotically stable E*when τ=10.5

圖4 當τ=12.5 時式（2）出現分支周期解Fig.4 The branching periodic solution of system（2）appears when τ=12.5

圖5 當τ=12.5 時E*的相位圖Fig.5 Phase diagram of E* when τ=12.5

為更清楚地觀察τ變化對式（2）的影響，繪制了易感者和感染者關于τ的分支圖（圖6）。由圖6 可知，起初正平衡點是穩定的，當τ大于臨界值τ0時，出現了周期解，這與定理5 一致，說明時滯導致地方病平衡點失穩，產生周期性振蕩。

圖6 式（2）中易感者和感染者相對于τ 的分支圖Fig.6 Branching diagram of susceptible τ and infected persons relative to in system（2）

為研究媒體報道對系統的影響，固定τ=20，繪制以δ為分支參數的分支情況（圖7）。由圖7 可知，當δ增大時，式（2）從周期性振蕩逐漸向平衡點靠近；系統越靠近平衡點，δ越大，媒體未對傳染病信息及時報道，感染者數量隨δ的增大而增多，由于總人數不變，易感者人數隨δ的增大而減少。

圖7 式（2）中易感者和感染者相對于δ 的分支圖Fig.7 Branching diagram of susceptible δ and infected persons relative to in system（2）

同時，β0和β00表示媒體影響可達到的對有效接觸率的最大抵消作用，反映媒體報道對有效接觸率的影響。固定τ=20，繪制以β0和β00為參數的分支圖，如圖8 所示。

由圖8 可知，當β0和β00增大時，式（2）由平衡狀態轉為周期性振蕩。當系統趨于平衡狀態時，隨著β0和β00的增大，媒體影響因子對有效接觸率的抵消作用增強，有效接觸率變小，使易感者不易接觸感染者，感染者數量減少。由于總人數不變，易感者數量隨β0和β00的增大而增多。固定τ=10.5，研究媒體影響因子β0，β00，δ以及追蹤隔離影響因子σ的變化對感染者數量的影響，如圖9～圖12 所示。

圖8 式（2）中易感者和感染者相對于β0 和β00 的分支圖Fig.8 Branching diagram of susceptible and infected persons relative to β0 and β00 in system（2）

由圖9 和圖10 可知，媒體報道可大大削弱疾病的傳播。由圖11 知，δ越小感染者數量越少，說明媒體通過對傳染病信息的廣泛報道可減少疾病的傳播，從而減少感染數量。由圖12 知，σ越小感染者數量越少，說明通過提高媒體報道中相關信息的準確率，可提高感染者的追蹤隔離率，從而減少感染者數量，有效控制疾病的爆發。

圖9 參數β0 對I(t)的影響Fig.9 The influence of parameter β0 on I(t)

圖10 參數β00 對I(t)的影響Fig.10 The influence of parameter β00 on I(t)

圖11 參數δ 對I(t)的影響Fig.11 The influence of parameter δ on I(t)

圖12 參數σ 對I(t)的影響Fig.12 The influence of parameter σ on I(t)

6 結 論

為研究因媒體報道的延遲所產生的時滯對疾病發展的影響，建立了一類具有媒體效應且存在追蹤隔離的SIQR 時滯模型，研究了式（2）各個平衡點的存在性和穩定性，討論了Hopf 分支的存在條件。數值模擬顯示，當τ較小時，地方病平衡點局部漸近穩定，隨著時滯τ的增大，式（2）出現分支周期解，與定理5 一致；隨著τ的增大，模型變得不穩定，出現周期性振蕩，而固定τ、減小β0和β00、增大δ，會使感染者數量增加。此外，對影響因子β0，β00，δ和σ進行了敏感性分析，得到采取媒體報道和追蹤隔離措施可有效控制傳染病的蔓延。

若對人群進行更細致的劃分，模型將能更真實地反映疾病在現實復雜社會網絡中的傳播情況。后續工作可考慮建立復雜網絡中的傳染病模型。另外，媒體報道對疾病控制的影響很大，可考慮將媒體報道的信息量作為獨立倉室，更嚴謹細致地研究媒體報道與感染者的關系，這將是很有意義的。