撥云去霧尋根源，火眼金睛揭本質

林生

從2016年到2021年的高考題來看：歷年來三角函數是高考的重頭戲，而在三角函數中，往往涉及到很多求值和化簡的問題，而在這個過程中，三角函數是以“角 ”為變量的函數，它們的求值和化簡問題又會出現很多相異的角，除了要選擇合適的三角函數公式外，還要在求解時厘清角與角之間的關系，要懂得觀察它們之間的角的特征，同時還要注意角的取值范圍. 如果我們在解題過程中缺乏掌握“求值”技巧——角的轉化或代換，而角的轉化則需要對角進行配角（所謂配角法就是用已知角來表示目標角的方法）、湊角、換角等靈活使用.不少考生雖然知道解決此類問題的策略是將目標角用已知角來表示，但對于一些角的關系比較隱蔽，難以發現它們之間內在的聯系，不知道怎樣用已知角來表示目標角，不能實現配角、湊角的操作，這就會使考生對三角函數這方面的內容出現學習障礙——“迷霧”，但這種“求值”技巧，特別是對角進行“配角、湊角、換角”等靈活運用，這些在三角函數中占有較重要的地位，在高考中屢見不鮮，它實際上就是一種整體運算思想以三角函數的形式的再現.因此我們有必要掌握的三角函數“求值”技巧，能夠靈活對角進行代換或“配角、湊角、換角”等，真正地尋找“求值”技巧的“根源”，下面我們一起來拔云去霧，尋找“求值”的根源，揭示“求值”的本質，真正地掌握三角函數“求值”的技巧，使考生在運用“求值”技巧時達到融會貫通的境界.

一、萬丈高樓平地起 ? 通性通法最本真——“求值”的實質

我們在解決三角函數問題時首先要對三角函數的公式要熟練，要對公式的“正用、逆用、活用”熟練掌握，同時要對“求值”的基本技巧進行把握，要在這個過程中懂得對角進行“配角、湊角、換角”等，所謂的“配角”，實際上就是一種整體運算思想以三角函數的形式的再現. 因此只要我們在解題過程中把握其“實質”——在解題過程中找出已知角和目標角的關系，用已知角來表示目標角，最終實現對角進行“拆、湊、配”等操作，從而很好地將問題解決.

四、無須刻意求佳境自有奇峰報曉春——備考策略

通過上面對三角函數求值的問題和技巧深入分析與研究，要真正地把握三角函數“求值”技巧，首先要對三角函數的有關公式理解要到位，要正確理解三角函數的誘導公式、兩角和差公式、二倍角公式，要知其然，知其所以然，對這些公式的“正用、逆用、活用”的技巧要理解，只有先理解公式，才可以對三角函數求值的有關類型有深入的了解，掌握常規題型中的配角、湊角等簡單技巧，特別是例5中的解法2采取角的整體代換的方法將問題轉化為常規問題，這體現了解決問題的一般性方法——通法，只有我們在備考的過程中學會“撥云去霧”，突破這類問題的思維障礙，把握本質——懂得將此類問題轉化，并且注意角的取值范圍，學會變通，在這個過程中強化思維方法的訓練，這樣才可以真正找到其“源”與“流”，把握住備考的“根”——落實通性通法，我們才可以做到居高臨下覓悟出“備考之道”，因此我們要實現高考高效備考時要做好以下方面：

（1）咬定基礎不放松，立根通法破題中

通過近年來的高考題的題目分析可知：注重考查基本的知識，注重考查通性通法，同樣我們在三角函數的備考中一定要重視基礎知識，注重通性通法. 比如這里的三角函數求值，首先在備考中要讓學生對三角函數的基本概念、三角函數的誘導公式、兩角和差公式、二倍角公式等公式要系統化、網絡化，要注意辨清三角函數公式之間的相互推導關系，把握它們之間的內在邏輯關系，要讓學生知其然，還要其所以然. 另外復習時還要引導考生對三角函數的基本題型和方法要熟透，還要深入研究教材，要以新教材中的例、習題為教學素材，深入淺出、舉一反三、加以推敲、延伸和適當變形，在備考中不追求解題中的所謂“特技”，不搞“偏題”“怪題”. 將最基本的數學方法進行提升和鞏固，在整個備考過程中要時刻注意培養考生的思維能力和運算能力，同時要對三角函數常規的題型及時引申拓展、培養歸納能力，這樣考生在高考中才可以達到融會貫通、高屋建瓴的境界.

（2）強化數學運算能力，注重算理和算法

對于三角函數的求值的題型，選擇入手的解題方法或許會有很多種，但方法的選取會導致結果不一樣，如果不注意分析已知角和目標角的關系，解題就很容易陷入“卡殼”狀態，正是因為如此，所以我們在備考過程中要注重培養學生的運算能力，要學會引導學生甄別解題方法的“優劣”. 因此我們在備考時，要抓住核心問題——運算能力的提升，要時刻注重強化數學運算，一步一個腳印，在利用三角函數有關公式進行計算的時候要注重算理、算法和技巧，不斷地在解題中滲透強化. 只有考生在運算過程中懂得解題的算理和算法，面對三角函數求值問題的“復雜”時，考生不再“畏懼”這些類型，真正從根本上達到高效備考.

總之，我們在平時的備考訓練中，要真正地識別三角函數中角的“玄機”，也要多在訓練過程中從角的靈活運用和本質出發，領悟角的“神韻”——構造已知角和目標角的關系，同時還要注意尋找三角函數與其它知識的“源”和“流”，不能僅僅停留解決這道題，還要在解題后要多點思考：該題的算法有“優化“嗎？這個問題能夠推廣嗎？改變一下條件如何？改變一下結論又如何？…… 要多角度、多方位分析和優化問題，要學會在解題中鞏固對知識的理解，積累解題經驗，發現解題規律，掌握解題策略，形成解題意識，必能一題破萬題，從而實現高效備考，最終笑傲2022年高考.

【本文系廣東省教育科學規劃重點課題——開展區域交流研訓助力教師專業成長的實踐研究（課題號：2020ZDJK047）、廣東省中小學“百千萬人才培養工程”專項科研項目——構建高中數學高效課堂的行動研究和廣東基礎教育教研基地項目的研究成果】