探究轉動慣量影響因素和角動量守恒的演示裝置

何佳蕊 馮志芳 楊雯雁 張冰鑫 程智博

（北京化工大學數(shù)理學院 北京 100029）

任何一門學科的發(fā)展都不是單純地依賴原有理論的傳播與推導，更需要依靠科學研究者的大膽猜想和可靠有效的實驗驗證，它從本質(zhì)上來說是實驗的科學。無論什么樣的物理學的理論與猜想都是以實驗為基礎的，且都要受到實驗現(xiàn)象與相關數(shù)據(jù)的證實。對于大學生而言，角動量可以說是一個全新的物理概念，同時，角動量守恒定律也是自然界中一個非常普遍的規(guī)律［1］。在研究相關問題時，為了便于描述轉動狀態(tài)的物理量，引入了角動量。定軸轉動剛體的角動量公式為M=Jβ，角動量的定義式是由J（轉動慣量，標量）與β（角加速度，矢量）的乘積而來，故為矢量，其方向判斷只需通過右手四指環(huán)繞轉軸轉動的方向，大拇指所指方向即為角動量方向。

在日常生活中處處存在著角動量守恒的問題，如星球自轉、直升機螺旋槳的轉動等。其實，早在以前我國先人對于該現(xiàn)象便有相關記錄，但卻無法解釋。西漢末年，丁緩制造出被中香爐，其能讓香料不會由于外界擾動而掉落。那么，為什么會出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象呢？我們通過角動量守恒定律的觀點來看待此現(xiàn)象，在內(nèi)部結構上，丁緩把香盂兩支點垂直懸于水平軸內(nèi)兩圓環(huán)中，當內(nèi)環(huán)處于水平位置時，香盂因自身重量不會左右傾斜翻倒，而外環(huán)可使香盂不會左右傾斜翻倒（兩環(huán)軸孔要垂直）［1］；處于水平位置時，初始時刻，香盂和圓環(huán)組成的系統(tǒng)是靜止的，香盂因為自身重心發(fā)生變化而導致對兩圓環(huán)產(chǎn)生不同的壓力，是系統(tǒng)的內(nèi)力，內(nèi)力對系統(tǒng)不產(chǎn)生力矩作用，所以不改變系統(tǒng)的角動量。根據(jù)上述推論，可以知道，系統(tǒng)受到的合外力矩為零，故此系統(tǒng)的角動量守恒正是當代“陀螺儀”的制造原理［2］，最終產(chǎn)生了香盂口始終朝上的奇妙現(xiàn)象。

雖然，角動量守恒的現(xiàn)象在日常常見，但是，對于如何通過實驗和量化來驗證該定律上卻沒有成熟的實驗體系。目前，國內(nèi)大多研究者只在理論上設計了一些理論上方便可行的儀器，而針對實際教育中的儀器卻很少設計。換句話說，對于性能較高、成本較低、便于實現(xiàn)的驗證角動量守恒儀幾乎沒有，這也就造成了在物理實驗等教學開展相關實驗的困難點。

本文針對此現(xiàn)狀設計了一款多功能性角動量守恒儀，借助該定性演示裝置，可以在很大程度上幫助學生理解和掌握該定理，同時，借此裝置，實驗者還可以探究影響轉動慣量的因素。國內(nèi)也有教授在相關理論和器材的基礎上改進發(fā)明出一種自制角動量守恒演示儀，但存在演示效果只能靠人眼目測感受其中的變化而不能由設備數(shù)據(jù)直接驗證定理的缺點。目前，市面上用于角動量教學的相關實驗器材雖操作方便、數(shù)據(jù)精確，但缺失驗證角動量守恒這一功能。基于以上多方面考量，在前人原有的實驗基礎上，將裝置的某些方面進行簡化處理，同時增加了光電門和橡皮筋，更方便實驗者定量測量和計算，使實驗結論更加明顯、更有說服力。

1 原理介紹

經(jīng)典力學中的三大基本守恒定律為動量守恒定律、機械能守恒定律和角動量守恒定律［3-4］，其中，動量守恒定律與機械能守恒定律兩個守恒定律在高中階段教學中均作了詳細系統(tǒng)的學習與可視化研究。但關于角動量及轉動慣量概念、角動量定理及角動量守恒定律方面的可視化資源較少，除了少量用于定性觀察的演示實驗外，國內(nèi)用于定量驗證角動量守恒定律的實驗儀器和方案還十分缺乏與不便。為了解決這一實驗難題，提高教學質(zhì)量，本小組研制了集驗證角動量和測量轉動慣量于一體的定恒儀。

角動量即是指物體到原點的位移與動量相關的物理量。在經(jīng)典力學中，角動量被定義為物體到原點的位移（矢徑）和其動量的叉積：

L=r×p=Jω

式中，r為該點相對于轉軸或原點的位失，p為該點的動量。因此，質(zhì)點的角動量L是一個矢量，它的方向垂直于r與p所在平面，滿足右手螺旋定則，即角動量是矢量，且是軸矢量。

轉動慣量即物體轉動時慣性的量度，用字母J表示［5］，轉動慣量等于組成物體各質(zhì)點的質(zhì)量m與它們到轉軸的垂直距離r平方的乘積之和，即：

顯而易見，轉動慣量不僅與整個物體的質(zhì)量有關，而且與質(zhì)量的分布及轉軸的位置有關。對于轉動慣量，有轉動慣量越大，其轉動狀態(tài)越不容易改變。例如，機械中常利用具有巨大轉動慣量的飛輪來使運轉平穩(wěn)［6］。

角動量定理即對于質(zhì)點系對任一固定參考點的角動量對時間的微商等于作用于該質(zhì)點系的諸外力對參考點的力矩的矢量和，即：

式中，Mi為該點所受的合力矩。對于剛體同時存在，剛體繞定軸轉動時，作用于剛體的合外力矩等于剛體繞此定軸的角動量隨時間的變化率，即可表示為：

則有：

角動量守恒定律即為如果物體所受合外力矩等于零，或者不受外力矩的作用，物體的角動量保持不變。因此，當系統(tǒng)繞固定軸轉動時，如若所受合外力矩為0或無外力矩作用時，該轉動軸的轉動慣量J與轉動角速度ω的乘積為常數(shù)，即：

Jω=C

式中，C為常量。本文設計的實驗裝置中，系統(tǒng)可繞定軸轉動，通過人為施加沖量矩，給予橡皮筋一定的彈性勢能，可以通過改變裝置上輕桿上滑塊到轉軸的距離，從而改變系統(tǒng)的轉動慣量［7］，進而實現(xiàn)改變系統(tǒng)繞定軸轉動的角速度。根據(jù)角動量守恒定律，系統(tǒng)轉動慣量增大，則系統(tǒng)的轉動角速度減小；系統(tǒng)轉動慣量變小，則系統(tǒng)的轉動角速度增加［8］。在使用此實驗裝置時，由于在人為施加沖量矩后不再對裝置進行操控，因此，系統(tǒng)的角動量保持恒定［9］。

2 實驗裝置介紹

圖1 是演示裝置組裝后的簡圖，它主要由鐵架臺和通過軸承與旋轉裝置相連的輕質(zhì)桿和若干滑塊組成。

圖1 實驗裝置設計圖

本實驗的材料有一個鐵架臺（起固定、支撐作用）、一根輕質(zhì)繩（連接鐵架臺與旋轉裝置）、一根輕質(zhì)橡皮筋（彈勁系數(shù)較大，給轉動系統(tǒng)提供能量）、一根透明管（與橡皮筋共同連接上、下兩根輕質(zhì)桿）、兩個軸承、兩個相同的輕質(zhì)桿（設上桿為1 號桿，下桿為2 號桿）、兩個光電門（起計時作用）、8 個質(zhì)量分布均勻的大小相同的滑塊（其中4 個滑塊完全相同，另外4 個滑塊完全相同，但比前4 個滑塊質(zhì)量小）、4 個大小適中的遮光片。

加工方案：將8個滑塊分別打孔，保證滑塊上的孔洞直徑略大于輕質(zhì)桿的直徑，能夠讓其在輕質(zhì)桿上實現(xiàn)自由移動；在兩根輕質(zhì)桿中心處打孔，保證孔洞直徑略小于軸承直徑。

安裝步驟：首先組裝旋轉裝置，將已打好孔的其中4個滑塊穿入輕質(zhì)桿，將4個遮光片分別固定在輕質(zhì)桿的兩端，再將軸承嵌入輕質(zhì)桿內(nèi)，用橡皮筋把兩個輕質(zhì)桿相連，中間用透明管包裹橡皮筋，并把兩個軸承連接在一起組成轉動系統(tǒng)，最后，用輕質(zhì)繩把轉動系統(tǒng)連接在鐵架臺上，裝置組裝完成，可順利進行實驗操作。

實驗裝置優(yōu)點如下：（1）通過鐵架臺的支撐作用，實現(xiàn)了轉動系統(tǒng)的懸空，上、下兩根輕質(zhì)桿的轉動現(xiàn)象進行對比，更加直觀，且更易得出結論；（2）利用遮光片與光電門的結合，可在一定程度上進行簡單的定量計算，使得實驗結果更有說服力；（3）輕質(zhì)橡皮筋的存在保證每次實驗操作中轉動相同的圈數(shù)，即可近似認為每次給系統(tǒng)提供的初始能量相同，以一種簡便的方式即可實現(xiàn)控制變量。

3 實驗過程

3.1 轉動慣量影響因素實驗

3.1.1 探究質(zhì)量相對中心轉軸分布的變化對轉動慣量影響的實驗

取4 個完全相同的滑塊，如圖1所示，分別將1 號輕質(zhì)桿和2 號輕質(zhì)桿上應的4 個滑塊調(diào)整到對應相同的位置，且距離透明管所在中心軸的距離相同。此時，用手將1 號輕質(zhì)桿固定，將2 號輕質(zhì)桿沿順時針（或逆時針）方向轉動，轉動10圈后即可停止。接下來，同時釋放1 號、2 號兩根輕質(zhì)桿，即可觀察到兩根桿分別沿以透明管所在的直線為軸的順時針和逆時針方向旋轉，且轉動的速度大致相同。通過兩個光電門，分別測量兩個輕質(zhì)桿的轉動周期T1、T2，根據(jù)T1、T2，即可計算出旋轉數(shù)圈，進一步可以得到某相同時刻1 號桿、2 號桿兩桿的角速度ω11、ω21。

再將上、下4 個滑塊向靠近透明管的方向移動相同距離（見圖2），并且保證上、下兩對對應的滑塊在一條豎直線上，重復上述操作，記錄與之前釋放后轉動相同圈數(shù)時刻的角動量（目的是確保系統(tǒng)獲得的轉動動能相同），此時，即可發(fā)現(xiàn)1 號、2 號兩個輕質(zhì)桿的ω21、ω22較之前增大。當將上、下4 個滑塊向遠離透明管的方向移動相同距離（見圖3，保證4 個滑塊離裝置中央透明桿的距離較圖1 的距離更大），重復上述操作，記錄并求得與之前釋放后轉動相同圈數(shù)時刻的角動量，此時，即可發(fā)現(xiàn)1 號、2 號兩個輕質(zhì)桿的角速度ω31、ω32較之前減小。

圖2 實驗演示圖A

圖3 實驗演示圖B

根據(jù)上述實驗結果及下列能量守恒公式：EK=，可得出如下結論：當系統(tǒng)的轉動動能相同時，ω越小，J越大，反之亦然。因而，當1號輕質(zhì)桿、2號輕質(zhì)桿兩部分質(zhì)量相同時，滑塊的質(zhì)量相對于中心轉軸分布越近，轉動慣量越小；當滑塊質(zhì)量相對于中心轉軸分布越遠，轉動慣量越大。

3.1.2 探究質(zhì)量大小對轉動慣量影響的實驗

在實驗（1）的基礎上，更換原有4 個滑塊為另外4個質(zhì)量相同但與實驗（1）的4 個滑塊質(zhì)量不同的滑塊（見圖4），置于與第一次實驗的相同位置，此時，重復以往實驗操作（用手固定1 號的輕質(zhì)桿，將2 號的輕質(zhì)桿沿順時針或逆時針方向轉動，轉動10 圈后即可停止，同時釋放1號、2號兩根輕質(zhì)桿，即可觀察到兩根桿分別沿以透明管所在的直線為軸的順時針和逆時針方向旋轉，且轉動的速度大致相同），記錄并求得與之前釋放后轉動相同圈數(shù)時刻（為了確保系統(tǒng)獲得的轉動動能相同）的角動量，即可發(fā)現(xiàn)此時的ω41、ω42相比于第一次實驗的ω11、ω21減小。

圖4 演示裝置圖C

根據(jù)上述實驗結果及下列能量守恒公式：EK=，可得出如下結論：當系統(tǒng)的轉動動能相同，ω越小，J越大，反之亦然。因而，1號輕質(zhì)桿、2號輕質(zhì)桿兩端的滑塊與中心轉軸的距離相同時，滑塊質(zhì)量越大，轉動慣量越大；滑塊質(zhì)量越小，轉動慣量越小。

3.2 角動量守恒實驗

（1）演示轉動慣量相同的1 號輕質(zhì)桿、2 號輕質(zhì)桿兩部分，當系統(tǒng)合外力矩為0 時，在內(nèi)力矩作用下，兩輕質(zhì)桿分別以等大反向的角速度轉動的現(xiàn)象。

取4 個完全相同的滑塊，如圖1所示，分別將1 號輕質(zhì)桿、2 號輕質(zhì)桿上分別對應的兩個滑塊調(diào)整到距離透明管所在中心軸距離相同的位置，重復上述實驗操作（用手固定1 號的輕質(zhì)桿，將2 號的輕質(zhì)桿沿順時針或逆時針方向轉動，轉動10 圈后即可停止，同時釋放1 號、2 號兩根輕質(zhì)桿，即可觀察到兩根桿分別沿以透明管所在的直線為軸的順時針和逆時針方向旋轉）。通過上、下兩個光電門，分別測量兩個輕質(zhì)桿的不同時刻的轉動周期T1、T2，可計算出旋轉數(shù)圈，進而得到在某相同時刻1 號輕質(zhì)桿與2 號輕質(zhì)桿兩桿的角速度分別為ω1、ω2，可以得到ω1大小等于或近似等于ω2，即可得到J1ω1+J2ω2= 0，其中，J1=J2。

（2）演示轉動慣量不同的1 號輕質(zhì)桿、2 輕質(zhì)號桿兩部分，當系統(tǒng)合外力矩為0 時，在內(nèi)力矩作用下，分別以不同的角速度沿相反方向轉動的現(xiàn)象。

如圖5所示，將1 號輕質(zhì)桿、2 號輕質(zhì)桿上分別對應的兩個滑塊調(diào)整到距透明管所在中心軸不同的兩個位置（該放置滑塊的方式可以實現(xiàn)上、下兩桿的轉動慣量不同），但須保證1 號輕質(zhì)桿和2 號輕質(zhì)桿上分別對應的兩個滑塊距離透明管所在中心軸的位置相同（即保證上、下兩根輕質(zhì)桿與4 個滑塊組成的部分系統(tǒng)關于透明管所在的中心軸對稱），重復上述實驗操作（用手固定1號的輕質(zhì)桿，將2號的輕質(zhì)桿沿順時針或逆時針方向轉動，轉動10 圈后即可停止，同時釋放1 號、2號兩根輕質(zhì)桿，即可觀察到兩根桿分別沿以透明管所在的直線為軸的順時針和逆時針方向旋轉）。通過上、下兩個光電門，分別測量兩個輕質(zhì)桿的轉動周期T1、T2，即可計算出某相同時刻上、下兩桿的角速度ω1、ω2［10］，可得ω1＜ω2。

圖5 演示裝置圖D

上述實驗現(xiàn)象清楚明了地反映了角動量守恒這一基本物理規(guī)律，因為保證了在釋放上、下兩根輕質(zhì)桿前系統(tǒng)靜止，所以，系統(tǒng)的總角動量為零。在釋放后，僅在內(nèi)力矩的作用下實現(xiàn)轉動，并無其他的外力矩作用在該系統(tǒng)上，其角動量總和也應為零，即，當滿足J1＞J2（或J1＜J2）的條件時，ω1＜-ω2（或ω1＞-ω2）。

4 結論

通過以上的實驗操作，可以得到以下結論。

（1）在物體質(zhì)量相對轉軸分布相同時，重物的質(zhì)量越大，系統(tǒng)的轉動慣量越大，反之亦然。在物體質(zhì)量相同的情況下，物體質(zhì)量相對轉軸分布越近，轉動慣量越小；當物體質(zhì)量相對轉軸分布越遠，轉動慣量越大。

（2）在保證系統(tǒng)所受合力矩為零的條件下，系統(tǒng)在內(nèi)力矩的作用下轉動，其角動量守恒。

根據(jù)角動量的現(xiàn)有知識，本文設計了一個可用于同時探究轉動慣量影響因素及角動量守恒定律演示的轉動裝置。在演示過程中，通過改變滑塊質(zhì)量和滑塊質(zhì)量分布相對轉軸的關系，從而改變轉動系統(tǒng)的轉動慣量，使轉動系統(tǒng)的角速度發(fā)生顯著變化，最后達到演示角動量守恒定律的目的。

該角動量守恒演示儀雖然使用了平面軸承，使裝置旋轉時所受的摩擦力矩在最大程度上減小，但仍不可能徹底將其消除。另外，空氣阻力及輕質(zhì)繩、橡皮筋之間存在的摩擦力形成的阻力矩也是必然存在的，所以會導致角動量有關現(xiàn)象呈現(xiàn)的時間較為短暫，演示效果并不能完全符合預期。利用光電門測量數(shù)據(jù)推算角速度也存在不可避免的系統(tǒng)誤差角速度也存在不可避免的系統(tǒng)誤差，使定量測量出的數(shù)據(jù)不能完全相等，但在系統(tǒng)誤差允許范圍內(nèi)，測量數(shù)據(jù)依舊可以作為驗證角動量守恒的依據(jù)。

本文設計的角動量守恒演示儀與傳統(tǒng)的裝置相比，優(yōu)點也是顯而易見的，其材料容易獲得，同時組裝起來也較為簡單，操作原理便于理解，可以達到裝置輕巧、操作簡單、現(xiàn)象直觀的目的。因此，該裝置對于探究影響轉動慣量因素及角動量守恒的演示是明顯且可信的，反映的物理規(guī)律深刻且富有啟發(fā)性。

與此同時，本實驗演示裝置能演示出多種與角動量定理相關的實驗，能把剛體定點轉動這個復雜而令人困惑的問題清晰地反映出來，從而可以運用在今后的課堂演示上，可先讓學生預想實驗現(xiàn)象，然后用該儀器進行實驗，以檢驗他們的理解是否正確，最后用理論加以分析，達到應用的目的。