平方根平均的最優凸組合界

孟祥菊，鄭淑賢

（保定學院 數據科學與軟件工程學院，河北 保定 071000）

1 預備知識

均值不等式在數學中扮演著十分重要的角色.從不等式的發展，我們可以看到不同時代的數學歷史.均值不等式的推廣目前仍為人們所關注，其主要原因是它在研究過程中的新思想、新方法和得到的新結果在函數的最優組合界、函數的單調性及物理學、天文學、氣象學和工程技術中均有應用價值，而且這種應用是本質的、重要的.

對于 a，b＞0 且a≠b 塞弗特平均 T（a，b）被塞弗特（Seiffert）在文獻［1］中介紹如下：

最近，關于平均值的不等式已經是密集研究課題[2-8]，塞弗特平均T（a，b）被寫成：

對于所有的a，b＞0且a≠b且各均值定義如下：

由定義可知各均值間的關系：

在文獻［1］中，塞弗特證明了不等式：

對所有的 a，b＞0 且a≠b 成立.

在文獻［7］中建立了不等式：

對所有的 a，b＞0且 a≠b成立.

關于塞弗特平均的界，根據Jagers介紹的冪平均

所有的 a，b＞0且 a≠b成立.

H?st?發現對于塞弗特平均最優的下界冪平均

對所有的a，b＞0且a≠b且成立[5].

2 主要結論

下面分兩種情況進行討論：

從而得f＇（t）＜0，則有f（t）在［1，+∞）上為減函數，且f（t）＜f（1）=0，所以f（t）＜0.由（3）直接得不等式（1）.

由（14）知，g″（t）在［1，+∞）上嚴格遞減，進而由（13）式知，存在λ1＞1，使得當t∈［1，λ1）時g″（t）＞0，而當t∈［λ1，+∞）時g″（t）g″（t）＜0，因此g＇（t）在t∈［1，λ1）上嚴格遞增，而在t∈［λ1，+∞）上嚴格遞減.

由（12）式及g＇（t）的分段單調性可知，存在λ2＞1使得當t∈［1，λ2）時g＇（t）＞0，而當t∈［λ2，+∞）時g＇（t）＜0，因此g（t）在t∈［1，λ2）上嚴格遞增，而在t∈［λ2，+∞）上嚴格遞減.

由（9）式及g（t）的分段單調性可知，存在λ3＞1使得當t∈［1，λ3）時f＇（t）＞0，而當t∈［λ3，+∞）時f＇（t）＜0，因此f（t）在t∈［1，λ3）上嚴格遞增，而在t∈［λ3，+∞）上嚴格遞減.

由（5）式及 f（t）的分段函數的單調性知，f（t）＞0，對所有的 t＞1 恒成立.因此，由（3）和（4）式可直接得不等式（2）.

由上式及g"（t）的連續性知δ（β）＞0，使得對于t∈（1，1+δ），g"（t）＞0，由（4）～（12）式得f（t）＞0.

因此，對于 t∈（1，1+δ），由（3）得 Q（t，1）＞βA（t，1）+（1-β）C（t，1）.