大學物理電學內容的一種研究式教學組織構架

王晶晶，趙嵩卿，王偉

摘? 要：大學物理教學中，電磁場概念引入、定律描述和分析方法的介紹，具有典型的意義，是培養大學生科學思維的重要內容。以往教學中，學生對電、磁場的學習很難形成知識的連貫性和系統性，致使學生學習的主動性和興趣性不高。文章提出一種科學研究式教學組織構架，進行大學物理電場內容教學。這樣的教學改革既可夯實電磁場理論基礎，提升學生科學邏輯思維，又可以提高學生研究性學習能力。

關鍵詞：電場;教學組織;邏輯思維;學習能力

中圖分類號：G642? ? ? 文獻標志碼：A? ? ? ? ? 文章編號：2096-000X（2022）07-0110-04

Abstract： In College Physics teaching， the introduction of the concept of electromagnetic field， the description of the law and the introduction of analysis methods are of typical significance and are important contents for cultivating college students' scientific thinking. In the past teaching， it is difficult for students to form a coherent and systematic knowledge in the study of electric and magnetic fields， resulting in low initiative and interest in learning. This paper proposes a scientific research-style teaching organization framework for teaching the contents of college physics electric field. Such a teaching reform can not only consolidate the theoretical foundation of electromagnetic field， improve students' scientific and logical thinking， but also improve students' researchlearning ability.

Keywords： electric field; teaching organization; logical thinking; learning ability

一、研究背景

場是一種看不見摸不著，但是真實存在的特殊物質，用空間和時間的函數來描述物理狀態。若物理狀態與時間無關，則為靜態場，反之則為動態場或時變場。理工科院校必修課大學物理的電場、磁場部分主要介紹靜態場的規律。從19世紀初，科學家發現了帶電體周圍的空間具有特殊性，建立電場概念，隨后陸續發現電場有能量、動量、質量和速度，并逐步形成了電磁場理論。當今時代，電磁場的研究和電磁波的利用把人類帶入高速發達的信息時代。因此，對場的概念和認識的建立，反映了人類對物質世界認識的提高，極大豐富了物質觀。那么作為大學物理課程電磁學的開始，我們應該如何研究電場，怎么形成電場的知識構架？

二、研究基礎

（一）理想模型

大學物理研究問題的方法是從理想到普遍，從特殊到一般，從簡單到復雜，因此看似簡單的物理模型，大家不能忽略其應用。點電荷作為電學的重要理想模型，如同經典物理學中的質點一樣，如果帶電體本身的線度比所研究的距離小得多，那么帶電體的形狀和電荷在其上的分布對所研究的問題無關緊要。電荷連續分布的帶電體，分布的種類為：線分布、面分布和體分布。要想解決不同分布的電場問題，我們都要選取電荷元dq分析研究，而電荷元就是理想模型點電荷。因此，教學過程中，引導學生理解無論是電荷元還是點電荷，都是理想化的模型，二者處理問題的思路相同，目的是簡化處理物理問題。

（二）實驗定律

1785年，庫侖扭稱實驗定性指出：電荷之間的庫侖力與電荷間距離的平方成反比，同號為斥力，異號為引力。通過大量的實驗證明以及探究后，最終庫侖定律的定量關系表述為：真空中，兩個靜止點電荷q（場源電荷）和q0（試探電荷）間相互作用力的大小與q和q0的乘積成正比，與它們間距離的平方成反比，作用力的方向沿著它們的連線，同號電荷相斥，異號電荷相吸。基于經典力學中矢量表示的運用，我們可以很容易理解庫侖力的定量表達式：■=■■，其中ε0為真空介電常數。這一矢量數學表示，為后續研究電場的矢量特征埋下伏筆。

三、研究對象

近代物理學的研究發展告訴我們：凡是有電荷的地方，四周就存在著電場，即任何電荷都在自己周圍的空間激發電場。電場是由場源電荷激發形成，因此我們研究電場必須要知道場源電荷情況。理想模型和庫侖定律給出的是以點電荷為研究對象，具有普遍意義的研究對象不僅是這些點電荷，還有多個點電荷組成的點電荷系及電荷連續分布的帶電體。仔細體會，在這一過程中完美地體現了高等數學的微積分思想。因此，引導學生思考這些研究對象的關系：只要對點電荷的電場理論掌握清晰，那么點電荷系和連續分布帶電體的理解自然就可以水到渠成。

另外，我們在研究場源電荷形成電場時，注意電荷與電荷之間的相互作用是通過電場發生的，因此電場的基本性質之一為對于處在場中的電荷都有力的作用，另一個基本性質為在場中移動電荷力要做功。這兩個基本性質就為我們研究靜電場提供了思路和方法。

四、研究方法和研究內容

（一）電場

1. 電場強度

從電場的兩個性質出發，首先對于其中的電荷有力的作用，引入描述電場力學特性的物理量——電場強度。從力的角度分析，那么這里需要有實驗驗證：找一試探電荷q0，測量空間各點電場力的情況，結果發現：（1）不同場點，同一試探電荷，電場力的大小和方向不同;（2）不同點電荷，同一場點，電場力的方向不變，但電場力的大小和試探電荷電量成正比。因此，引入一個與試探電荷無關的物理量電場強度■=■，它是空間位置的函數，其物理意義為單位正電荷在該點的受力。由力的矢量性質出發，自然可以認識到電場是一個矢量場。如何用數學語言描述電場，就可以理解為如何計算空間某點的電場強度。

（1）矢量疊加原理

根據電場強度的定義和庫侖定律，我們就直接可以計算：a.點電荷的場強，由庫侖力的特征可以認識場強的性質，需要注意的是這里的點電荷q是場源電荷;b.點電荷系的場強，根據庫侖力的矢量疊加原理，可以推導出點電荷系在空間任一點激發的總場強等于各個點電荷單獨存在時在該點所激發場強的矢量和■=？撞■■;c.電荷連續分布帶電體，選取電荷元dq視作點電荷分析，得到點電荷形成電場在空間某一點的場強d■=■■，由于電荷是連續分布，因此所有電荷形成的場強是由連續d■矢量疊加而成，即d■=？蘩d■。這是一個矢量積分，因此在求解過程中，必須考慮各個電荷元dq產生的d■方向是否一致，如果一致我們按照標量積分處理矢量積分即可;如果不一致，我們必須建立合適的坐標系，把矢量積分化為標量積分計算。為了深入理解電場強度的矢量疊加計算過程，我們列舉以下模型計算場強：

電偶極子延長線上和中垂線上某點;

均勻帶電直線延長線上及上方某點（拓展至均勻無限長帶電直線）;

均勻帶電圓環軸線上某點;

均勻帶電圓盤軸線上某點（拓展至無限大平面）。

在這些帶電模型探討過程中，體會到點線面的積分思想。那么，我們也會深入地思考一下，應該如何分析帶電球體模型。按照上述思想我們也可以先找到合適的點電荷元dq，再行分析。為了解決體分布的問題，我們應該先找到最簡單的均勻帶電球面在空間任一點的電場強度。電荷元dq在球面上計算面積要用到空間立體角，計算起來比較麻煩。因此，矢量求和方法計算均勻帶電球面空間電場強度是否有其他方法，值得探討。

（2）高斯定理

為了形象地了解電場分布，通常引入電場線的概念。電場線不是物理量，無法計算。電場線可以對電場中各處場強的分布給出比較直觀的圖像：電場線上一點的切線方向表示電場強度方向，疏密表示該點處電場強度的大小。以電場線的特征為出發點，取某點垂直于電場方向的面源dS⊥，通過此面元的電場線條數（電通量）為d？準，則通過單位垂直面積的電場線條數為E=■。電場強度E的大小則用于表示該點處電場線數密度，與單位正電荷在某點處受力的物理意義完全不同。在已知電場強度E的情況下，我們就可以計算通過任意面積的電場線條數d？準，計算過程中我們從特殊的勻強電場開始探討，引入面積矢量S，給出電通量？準的矢量表達式φ=∫■·d■;而后探討非均勻電場或曲面的電通量，將曲面上的任意面積元視作均勻電場處理，這也是數學微分思想在大學物理中的應用。電場主要探討的是閉合曲面的電通量，通過整個閉合曲面的電通量等于穿出與穿入閉合曲面的電場線的條數之差，也就是凈穿出封閉面的電場線的總條數。

德國物理學家和數學家高斯，推導出真空中這一閉合曲面電通量的數值（閉合曲面電場線的凈條數）為閉合曲面所包圍的所有電荷的電量的代數和除以ε0。這就是我們所熟悉的高斯定律，電通量揭示了電場和場源電荷關系。當電荷分布具有某種對稱性時，用高斯定律求出該種電荷系統的電場分布，而且這種方法在數學上比用庫侖定律方便得多，常見的對稱性分布為柱對稱、面對稱和球對稱。為了深入理解高斯定理，我們列舉以下模型：

均勻無限長帶電直線;

均勻帶電無限大平面;

均勻帶電球面;

均勻帶電球體。

綜合上述，從力的角度研究電場性質，是通過引入電場強度這一物理量。我們給出了兩種計算方法，一種為場強疊加原理，一種為高斯定理。

2. 電勢

電場對電荷有力的作用，因此，當電荷在電場中移動時，電場力就要做功。根據功和能量的關系，可知電場有能量。引入描述電場能量特性的物理量——電勢。基于經典力學中功和能的學習，為了分析電場的能量性質，首先從電場力做功開始研究。通過計算與探討，發現電場力為保守力，做功只與始末位置有關，因此靜電場為保守場。單位正電荷在靜電場中沿閉合曲線運動一周，所做功永遠是0，這就是靜電場的環路定理，與我們功能一章所講的保守力的數學定義前呼后應。

保守力做功只與始末位置有關，且等于勢能的減小量，因此靜電場力做功等于電勢能的減小量，但我們都知道電勢能W=∫■d■是與移動（試探）電荷q有關的物理量，不能用于描述電場的性質。場的性質決定于場源電荷，因此電勢成為了描述電場性質的物理量，物理意義為：單位正電荷在某點處所具有的電勢能，定義式為φ=■=∫■d■。電勢是空間位置的函數，且同勢能一樣具有相對性，電勢差具有絕對性。電場中某點的電勢必須相對于電勢零點而言。如何計算空間某點的電勢，是我們描述電場性質必須要解決的問題。

（1）電勢定義式

從電勢定義出發，首先選定電勢零點，再根據空間某點的電場強度直接計算即可。對于零點電勢的選擇要遵循兩大原則：a.對有限空間的帶電體，常選無窮遠處為電勢零點;b.對于無窮大帶電體，在實際中常選大地、機殼為電勢零點。為了掌握定義法計算電勢，我們列舉以下模型：

點電荷空間某點;

均勻無限長帶電直線空間某點;

均勻帶電無限大平面空間某點;

均勻帶電球面空間某點;

均勻帶電球體空間某點。

特別需要強調的是：均勻帶電球面和帶電球體的電勢計算過程中，因為球內外電場強度不相同，因此計算過程中要考慮分段函數的積分。另外，在上述模型的空間某點電勢討論中，我們會注意到這些模型都滿足對稱性，如有非對稱性電荷系或是帶電體如何計算？

（2）電勢疊加原理

選取無窮遠處為電勢零點，那么點電荷在空間某點的電勢為φ=■，因為電勢本身為標量，所以點電荷系在空間某點的電勢等于每一個點電荷單獨存在時所產生電勢的代數和，帶電體的電勢等于所有電荷元在該點電勢的積分。這與電荷連續分布的帶電體的電場強度很類似。同樣，為了加深理解，我們列舉了以下模型：

電偶極子延長線上和中垂線上某點;

電荷分布在特殊幾何圖形頂點，幾何圖形中心點的電勢（等邊三角形、正方形、正六邊形等）;

一段長度均勻帶電直線延長線上某點;

均勻帶電圓環軸線上某點;

均勻帶電球面空間某點。

綜合上述，從能量的角度分析電場性質，是通過引入電勢這一物理量。我們也給出了兩種計算方法，一種為定義法，一種為電勢疊加原理。

3. 電場強度與電勢的關系

上述描述中，電場強度和電勢都是描述電場中某點性質的物理量，因此二者必然有關系。根據定義，利用場強通過積分可以計算電勢，那么已知電勢是否可以計算場強？答案是肯定的。電場強度等于電勢梯度的負值，電勢梯度為電勢在空間的變化率。二者的微分關系表示為■=-？犖φ，這揭示了某點的場強與該點的電勢無直接關系，而是與空間變化率成比例，依據電勢可以方便地計算場強分布。以均勻帶電圓環在軸線上某點的電勢為例，已知電勢通過對位置求導就可以得出電場強度，這比起原來利用矢量疊加原理計算電場強度容易得多。

4. 其他

上述討論描述電場的兩個物理量過程中，需要注意靜電場是有源無旋場，其中高斯定理揭示了電場的有源性，對應電場線的特點為起始于正電荷，終止于負電荷;環路定理揭示了電場是無旋場，對應電場線的特點為不閉合，不相交。這兩條定理不僅反映了場和場源電荷之間的依賴關系，同時還反映了空間各點的場之間存在著內在聯系，即使在其中沒有電荷的有限空間里，從一點到另一點電場的數值和方向的變化也不能是任意的，而要受到這兩條定理的約束。所以，不能僅僅把靜電場的高斯定理理解為計算場的一種方式，也不能僅僅把靜電場的環路定理理解為由此可引入電勢，更重要的還在于它們是靜電場所遵循的規律，描述了靜電場的性質。

（二）電場與物質的作用

上述電場的整個研究過程中我們的關注點是電場與電荷作用。實際中，電荷并不是單獨存在，而是存在于物質之中。因此電學研究中，物質按照其內電子的活潑程度進行劃分，其中較為活潑的為導體，內部含有大量自由電子，對應電阻率較小，電導率較大，常見有銅、鐵、鋁等;反之則為電介質（絕緣體），內部含有大量束縛電荷，對應電阻率較大，電導率較小，常見為陶瓷、橡膠、塑料制品等。而導電性能介于兩者之間的材料為半導體，常見為硅、鍺、砷化鎵等，現今半導體在電子產品中應用甚是廣泛。我們這里主要探討電場與導體、電介質的相互作用。

1. 靜電場中的導體

導體內部的原子中，自由電子圍繞原子核運動，這些電子可以自由移動。但在沒有外電場的作用下，它們各自的運動是雜亂無章的，但帶正電的原子實和自由移動電子電量相等，導體整體表現出電中性。但是如果外加電場后，自由電子質量小，受到電場力后勢必快速沿著電場力方向定向運動，因此自由電子將在導體一端堆積起來，導體表面出現感應的自由電荷，一端因多余電子而帶負電，一段因為缺少電子而帶正電，這種電荷重新分布的現象就叫導體的靜電感應現象。那么我們不得不思考下：電荷在兩端的堆積是否永遠進行下去呢？發生靜電感應現象后，這些重新分布的電荷將產生感應電場，感應電場和原外加電場共同再作用導體內部的電荷，依此循環下去，最終導體內部感應電場與原外加電場大小相等方向相反，導體內部場強處處為0，自由電子不再做定向運動，這種狀態叫做靜電平衡。

處于靜電平衡狀態的導體，內部并不是沒有電荷，而是沒有自由移動的電荷。靜電平衡時，導體內部處處凈電荷為0，電荷只能分布在導體的表面上。而導體表面電荷的場強方向與表面垂直，大小與該處電荷的面密度成正比。導體表面電荷的面密度與導體本身在表面處的曲率成正比。曲率越大（曲率半徑越小），表面電荷面密度越大。為什么避雷針是尖的（曲率大），金屬導線都是圓形的，這些尖端放電應用問題就迎刃而解。導體置于外電場中最終實現靜電平衡，內部場強處處為0。這時就可以做成一個空腔導體，無論外電場如何變化，空腔導體內部的電場分布都不受影響，反之將空腔導體接地后，空腔內的導體如何變化都不會對空腔外的物體產生變化，這就是我們所熟悉的靜電屏蔽的應用。

2. 靜電場中的電介質

電介質內部的電子和原子核之間的結合力很強，使電子處于一種束縛狀態，這些電子稱為束縛電荷。電介質中每個分子都是一個復雜的帶電系統，有正電荷，有負電荷，這些正負電荷不是集中在一個點。當分子正電荷的重心和負電荷的重心不重合，這時候每個分子都可視作具有固有電矩的電偶極子組成，這樣的分子稱為極性分子;如果正負電荷重合，無固有電矩的電偶極子組成，這樣的分子稱為非極性分子。無論是極性分子還是非極性分子組成的電介質，在沒有外電場作用時，宏觀上都不顯電性。但是如果外加電場后，依據電偶極矩在外電場的運動特點，極性分子固有電矩轉向外電場方向，電介質表面出現束縛電荷;極性分子原來重合的正負電荷在外加電場力作用下被拉開，電介質表面也出現了束縛電荷。在外電場中，電介質表面出現束縛電荷的現象成為極化，極性分子發生的是取向極化，而非極性分子發生的是位移極化。極化理論是建立在電偶極矩在外加電場中特征分析，極化方向與電場方向相同，最終導致介質內部的場強小于外場強。

五、結束語

大學物理電學內容對于電場規律的研究如同一個科研課題，以上述組織架構展示出來，其目的是引導學生思考知識的結構化，從而形成有組織、有層次的認知結構，這樣更好地突出物理學科在培養科學思維中的重要性，讓學生學會學習和研究。

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