活躍在橢圓中的“AP⊥AQ”

【摘 要】 新高考背景下，數學運算作為高中數學六大核心素養(yǎng)之一，也是學生的薄弱之處，提高運算能力，關鍵在于提升學生對運算的理解，理清算法，本文通過對橢圓的含有條件“AP⊥AQ”的各類問題進行整理，旨在通過整理歸類，引導如何實施運算，把控運算方法，提升我們的運算求解能力.

【關鍵詞】 對稱性;整體;垂直;換元

條件“AP⊥AQ”常出現(xiàn)在解析幾何試題中，當然橢圓也不例外，而且往往作為題目中的核心條件，如何處理這個條件是能否順利解決問題的關鍵.筆者嘗試整理歸類，呈現(xiàn)出以橢圓中不同位置的“AP⊥AQ”作為條件帶來的定值問題，并分析算理，優(yōu)化算法，給出相應解析和評析，以期提高我們的運算能力.

1 “AP⊥AQ”中的點A在橢圓上，關注對稱性與特殊化

圖1

例1 如圖1，已知橢圓x24+y2=1的左頂點為A，過A作兩條互相垂直的弦AM，AN交橢圓于M，N兩點.當直線AM的斜率變化時，直線MN是否過一定點，若過定點，請給出證明，并求出該定點，若不過定點，請說明理由.解析 根據本題構圖過程分析，從點A作兩條互相垂直的弦AM，AN交橢圓于M，N兩點，產生了兩個動點，動因是直線旋轉，基于此，可設出直線AM：y=k（x+2），與橢圓聯(lián)立y=k（x+2），x24+y2=1，化簡得：（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0.所以（x+2）[（1+4k2）x-（2-8k2）]=0，所以xM=2-8k21+4k2，yM=4k1+4k2，同樣方法直線AN與橢圓聯(lián)立y=-1k（x+2），x24+y2=1，化簡得：（k2+4）x2+16x+16-4k2=0，所以（x+2）[（k2+4）x-（2k2-8）]=0，所以xN=2k2-8k2+4，yN=-4kk2+4， kMN=yM-yNxM-xN=4k1+4k2--4kk2+42-8k21+4k2-2k2-8k2+4=5k4-4k2，所以直線MN的方程為y-4k1+4k2=5k4-4k2x-2-8k21+4k2，化簡得y=3k4k2+4x+65，所以直線MN過x軸上的一定點P-65，0.

如果我們注意到本題構圖的對稱性，關注整體，通過對式子結構的把握、變量代換、特殊化等手段優(yōu)化了算法[1]，使得運算有了依據，得到優(yōu)化解法：

聯(lián)立方程組y=k（x+2），x24+y2=1，因橢圓和直線交于點A（-2，0），化簡方程時保留因子x+2整體不變，得x2+4[k（x+2）]2=4，即（x+2）[（4k2+1）x+（8k2-2）]=0，所以xM=2-8k21+4k2，yM=4k1+4k2.同理，將xM=2-8k21+4k2中的k替換成-1k，即可得到點N的坐標：xN=2k2-8k2+4，同理得yN=-4kk2+4，令k=1，得x=-65，猜測所求定點的坐標為P-65，0，一般地，驗證kPM=4k1+4k2-02-8k21+4k2--65=5k4-4k2=kPN，所以直線MN恒過定點-65，0.

2 “AP⊥AQ”中的點A在坐標原點處，關注調整條件先后順序與換元思想

例2 已知橢圓C：x29+y23=1，設G，H為橢圓C上的兩個動點，O為坐標原點，且OG⊥OH.是否存在以原點O為圓心的定圓，使得該定圓始終與直線GH相切？若存在，請求出該定圓方程;若不存在，請說明理由. 解析 根據橢圓對稱性可知，若存在這樣的定圓，定圓的圓心必在原點O，所以問題就轉化成原點O到動直線GH的距離是定值即可.設點O到動直線GH的距離為d，在直角三角形△GOH中，由面積變換可得OG·OH=d·OG2+OH2，所以1d2=1OG2+1OH2.如果直接設直線與橢圓聯(lián)立，求兩點G，H坐標，再求其長度，較為復雜，考慮到問題設問直接與OG與OH的長有關，且OG⊥OH，且本題動因是直線旋轉，故可以引入角度作為變量，可設G（OGcosθ，OGsinθ），HOHcosθ+π2，OHsinθ+π2，因為兩點G，H在橢圓C上，所以（OGcosθ）29+（OGsinθ）23=1，OHcosθ+π229+OHsinθ+π223=1，所以cos2θ9+sin2θ3=1OG2，sin2θ9+cos2θ3=1OH2，所以1OG2+1OH2=49，則d2=94，所以滿足條件的定圓方程為：x2+y2=94.3 “AP⊥AQ”中的點A在橢圓內（異于原點），設而不求，整體代換

例3 已知橢圓C：x24+3y24=1，過點P（-1，-1）作兩條互相垂直的直線l1，l2與橢圓C分別交于另兩點M，N.若線段MN的中點在x軸上，求直線MN的方程.

解析 設M（x1，y1），N（x2，y2），則x21+3y21=4，x22+3y22=4，

對于同結構的方程，兩式相減得（x1+x2）（x1-x2）+3（y1+y2）（y1-y2）=0，

因為線段MN的中點在x軸上，所以y1+y2=0，從而可得（x1+x2）（x1-x2）=0.

若x1+x2=0，則N（-x1，-y1）.

因為PM⊥PN，所以PM·PN=0，得x21+y21=2.

又因為x21+3y21=4，所以解得x1=±1，所以M（-1，1），N（1，-1）或M（1，-1），N（-1，1）.

所以直線MN的方程為y=-x.

若x1-x2=0，則N（x1，-y1），因為PM⊥PN，所以PM·PN=0，得y21=（x1+1）2+1.

又因為x21+3y21=4，所以解得x1=-12或-1，

經檢驗：x=-12滿足條件，x=-1不滿足條件.

綜上，直線MN的方程為x+y=0或x=-12.

4 “AP⊥AQ”中的點A在橢圓外，動靜轉化，以靜制動

例4 （上海交大自主招生試題）對于兩條垂直直線和一個橢圓，已知橢圓無論如何滑動都與兩條直線相切，求橢圓中心的軌跡.

解析 不妨將橢圓固定，兩條垂直的直線可以視為過橢圓外某點向橢圓所作的兩條切線，設m，n都是橢圓x2a2+y2b2=1的切線，且m⊥n，m，n交于點M，先求動點M的軌跡.

設M（x0，y0）為橢圓x2a2+y2b2=1，①的兩條互相垂直的切線的交點，k為過M點所作橢圓的切線的斜率，則這切線的方程為y-y0=k（x-x0）.②

由①②可得b2x2+a2[y0+k（x-x0）]2-a2b2=0，即（b2+a2k2）x2+2k（y0-kx0）a2x+a2（y0-kx0）2-a2b2=0.③

由題意可得：Δ=4k2（y0-kx0）2a4-4（b2+a2k2）[a2（y0-kx0）2-a2b2]=0，化簡得：（a2-x20）k2+2x0y0k+b2-y20=0.

當a2≠x20時，設此方程的兩根為k1，k2，則k1·k2=-1，即b2-y20a2-x20=-1，故得x20+y20=a2+b2，用x，y替換x0，y0，化簡得x2+y2=a2+b2.

當k不存在或k=0時，易求得點M點坐標為（±a，±b），這些點顯然滿足x2+y2=a2+b2，則點M的軌跡是x2+y2=a2+b2，即點M的軌跡是以原點為圓心，a2+b2為半徑的圓.

由此可知，若橢圓與這兩條互相垂直的直線相切，那么橢圓的中心與這兩條直線交點的距離是一個定值，即無論橢圓如何滑動都與兩條直線相切，則橢圓中心的軌跡是以兩條直線的交點為圓心的一個圓.

如今，數學運算能力作為高中主要核心素養(yǎng)之一，也是學生的軟肋之處，眾多學生認為運算就是死算，把問題都歸結為自己計算不行，其實不然，學生在解決問題時算不下去，算不出來，往往是因為缺少一定的運算觀察能力導致的.因此，培養(yǎng)學生的運算觀察能力，不失為一條提升學生數學運算素養(yǎng)的有效途徑[2].

學生真正的問題是不會算，如果我們能善于整理總結，從一類問題中提煉出解決問題的思維路徑，引導學生關注算理算法，長此以往，讓學生會算、敢算、勢必提升學生的運算能力.

參考文獻

[1] 胡寅年.兩道高考橢圓試題的解析與引申[J].數學通訊（上半月），2021（04）：2125.

[2] 張勁.提高運算觀察能力，提升數學運算素養(yǎng)[J].中小學數學（高中版），2021，（78）：2125.

作者簡介 周志國（1980—），男，江蘇盱眙人，中學高級教師，淮安市學科帶頭人，淮安市勞動模范，高考命題專家;主要研究中學數學教育教學和命題;在省級以上刊物發(fā)表論文40余篇.