近年高考概率統計試題分析及2022年高三復習建議

王淼生 周翔

【摘 要】 通過對近年尤其近三年高考概率與統計試題的分析，對比新舊版教材（人教A版）相關內容的增減與編排次序，揭示概率與統計試題的命制特點，預測2022年高考試題的側重點，提出2022年高三復習與備考建議.

【關鍵詞】 試題分析;教材對比;命題特點;復習建議

《中國高考評價體系》是一個以價值為引領的、系統的、科學的評價體系，創造性地提出“一核四層四翼”，借以評價與檢測考試目標實現的程度及考試要求達成的幅度.《普通高中數學課程標準（2017年版）》將概率統計作為四大主線之一，凸顯概率統計在高中數學課程中的地位與價值.尤其2021年的全國高考試題，緊緊圍繞《中國高考評價體系》的精髓與《普通高中數學課程標準（2017年版）》要求，實現“知識立意”到“能力立意”再到“價值引領、素養導向、能力為重、知識為基”轉變，落實“立德樹人、服務選才、引導教學”的目標.本文通過對近三年全國卷概率統計試題的綜述及新舊版教材的對比，預測未來命題側重點，為2022年高三復習備考提出一些建議.

1 近三年概率統計高考試題分析

1.1 全國卷概率統計試題綜述及分布

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出，概率統計主要內容包括：隨機事件與概率、隨機事件的獨立性、獲取數據的基本途徑及相關概念、抽樣、統計圖表、用樣本估計總體.概率統計（含排列組合）一直是高考的重點、熱點內容，一般以“二小一大”三道試題呈現（具體分布情況見表1）.其中，隨機變量的分布、期望、樣本分析、統計圖表及與其他知識的綜合交匯成為熱點.從新高考全國卷來看，2021年Ⅰ卷以考查獨立性理解和運用獨立性進行決策為主，Ⅱ卷推陳出新，借助導數工具研究概率取值范圍，彰顯《中國高考評價體系》中“四翼”要求——學科知識的綜合性與交匯性，而舊高考模式的甲卷、乙卷，為了實現新舊高考順利交接，整體呈現文理趨同，重心向統計傾斜.

1.2 全國卷概率統計高考試題命制特點

（1）重視相關核心概念的辨析考查

題1 （2021·全國新高考18）有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則（? ）.

A.甲與丙相互獨立B.甲與丁相互獨立

C.乙與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立

題2 （2021·全國甲卷理10）將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（? ）.A.13?? B.25?? C.23?? D.45

評注 題1考查事件獨立性的概念，得分率較低.失分原因在于考生對獨立性概念理解不夠深刻，難以辨析獨立性概念與條件概率之間的聯系與區別.題2涉及古典概型，求解關鍵是將問題轉化為兩組相同元素的排列計數問題.

（2）強化閱讀理解能力的考查題3 （2021·全國甲卷文2）為了解某地農村經濟情況，對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查，將農戶家庭年收入的調查數據整理得到如圖1頻率分布直方圖：

根據此頻率分布直方圖，下面結論中不正確的是（? ）.

A.該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為6%

B.該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計為10%

C.估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

題4 （2021·全國乙卷理17）某廠研制了一種生產高精產品的設備，為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產了10件產品，得到各件產品該項指標數據如下：

舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數分別記為和，樣本方差分別記為S21和S22.

（1）求，，S21，S22;

（2）判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高（如果-≥2S21+S2210，則認為新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認為有顯著提高）.評注 題3通過頻率分布直方圖考查考生對符號語言、圖形語言的閱讀理解能力.題4需要對表格中蘊含的信息進行提取、加工.考查考生對數據的分析處理能力及作出統計推斷的能力.（3）凸顯知識點的綜合性與交匯性考查

題5 （2021·全國Ⅰ卷18）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束;若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分;B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關.

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列;

（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.

題6 （2021·新高考全國Ⅱ卷21）一種微生物群體可以經過自身繁殖不斷生存下來，設一個這種微生物為第0代，經過一次繁殖后為第1代，再經過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數是相互獨立的且有相同的分布列，設X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數，P（x=i）=pi（i=0，1，2，3）.

（1）已知p0=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1，求E（X）;

（2）設p表示該種微生物經過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關于x的方程：

p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個最小正實根，求證：當E（X）≤1時，p=1，當 E（X）>1時，p<1;

（3）根據你的理解說明（2）問結論的實際含義.

評注 題5考查分布列、期望并通過期望作出科學決策.題6的難點在于信息的讀取和加工.先構造函數f（X）=p0+p1x+p2x2+p3x3-x，發現f（1）=0及導函數對應方程的判別式大于零（存在兩個異號根）.E（X）≤1與E（X）>1的本質反映了導函數在x=1處的符號特征.再結合圖象，借助函數單調性解決問題.題6具有較強的綜合性與交匯性，有利于考生展示才華，落實立德樹人、服務選才、引導教學的目標.

2 概率統計知識在新舊版教材中的對比

概率統計知識已經成為公民的必備常識.隨著大數據時代的到來，統計與概率地位得到進一步提升.在高三復習中，要密切關注、仔細對照新舊版本教材在內容增減及編排次序等方面的差異.比如，最新版教材將概率統計作為高中數學四大主線之一，貫穿于必修、選擇性必修和選修課程之中;將數學建模、數學文化滲透在在整個高中數學之中.以人教A版為例，增加了分層隨機抽樣的樣本均值和樣本方差;百分位數;樣本點，有限樣本空間;乘法公式，全概率公式等內容.刪減了統計中的系統抽樣、變量的相關性;概率中的幾何概型;計數原理中的計數原理解決簡單的實際問題等內容.降低了概率中的超幾何分布及計數原理等內容的考查要求.調整了一些內容的編排次序，比如對事件的獨立性與條件概率等概念，人教A版新教材將“相互獨立事件”概念安排在普通高中教科書數學必修第二冊第十章“概率”第10.2“事件的相互獨立性”中;將“條件概率”編排在普通高中教科書數學選擇性必修第三冊第七章“隨機變量及其分布”第7.1“條件概率與全概率公式”中.人教A版舊教材將獨立事件安排在條件概率之后，而人教A版新教材將獨立事件安排在條件概率之前，這是人教A版新舊教科書在“獨立事件”編排上最為顯著的變化.借此警醒一線教師對比教材、研究教材，密切關注教材內容編排次序的變化.這正是高考命題專家命制上述題1的緣由（詳見文[1]）.3 對2022年全國高考概率統計的預測

預計2022年高考對概率統計的考查主要聚焦基本概念、基本公式的理解、應用以及運算求解能力和數據處理能力. 考點主要有兩大類：一類是以排列組合、二項式定理、古典概型、離散型隨機變量的分布列及數學期望的概率計算問題. 另一類是以抽樣方法、樣本的頻率分布、樣本數字特征、統計圖表、回歸方程、獨立性檢驗為主的統計案例問題. 選擇題、填空題預計仍以考查核心概念為主，難度適中;解答題未必固定在第19題的位置，可能后移至20或21題，加大綜合考查力度，需要引起重視.

3.1 考查傳統文化背景下的樣本點分析

題7 （2019·全國Ⅰ理6）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“— —”，

如圖2就是一重卦.在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是（? ）.

A.516??? B.1132

C.2132??? D.1116

評注 弘揚中華優秀傳統文化、革命文化和社會主義先進文化是新高考落實立德樹人的重要載體.近年來以傳統優秀文化為背景的概率統計試題屢見不鮮. 題7就是從我國古代典籍《周易》中的“卦”演變而來，需要考生認真審題，重視閱讀，快速抓住概率實質，準確設定有限樣本空間，列出樣本點，運用古典概型公式快速求解.3.2 考查時代熱點下的數據加工與處理能力

題8 （2018·全國Ⅰ卷理3）某地區經過一年的新農村建設，農村的經濟收入增加了一倍，實現翻番，為更好地了解該地區農村的經濟收入變化情況，統計了該地區新農村建設前后農村的經濟收入構成比例，得到如下餅圖：

則下面結論中不正確的是（? ）.

A.新農村建設后，種植收入減少

B.新農村建設后，其他收入增加了一倍以上

C.新農村建設后，養殖收入增加了一倍

D.新農村建設后，養殖收入與第三產業收入的總和超過了經濟收入的一半

評注 概率統計源自生產、生活，同時又解決生產生活中的實際問題.新高考尤其關注時代熱點，比如新農村建設、醫療衛生、藥品安全、環境監測、質量檢測等.題8就是典型的新時代新農村經濟建設問題，要求考生對現有數據進行分析與處理，從而得出結論.

3.3 考查運算靈活性及思維敏捷性

題9 （2017·新課標Ⅰ卷理19）為了監控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：cm）.根據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態下生產的零件的尺寸服從正態分布N（μ，σ2）.

（1）假設生產狀態正常，記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件數，求P（X≥1）及X的數學期望;

（2）一天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查.

（ⅰ）試說明上述監控生產過程方法的合理性;

（ⅱ）下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

經計算得=116∑16i=1xi=9.97，s=116∑16i=1（xi-）2=116（∑16i=1x2i-162）≈0.212，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i=1，2，…，16.

用樣本平均數作為μ的估計值，用樣本標準差s作為σ的估計值，利用估計值判斷是否需對當天的生產過程進行檢查？剔除（-3，+3）之外的數據，用剩下的數據估計μ和σ （精確到0.01）.

附：若隨機變量Z服從正態分布N（μ，σ2），則P（μ-3σ<Z<μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，0.008≈0.09.

評注 深入分析近年來的高考試題，不難發現高考對統計數據的分析和處理要求明顯提高.題9需要考生理解運算對象，掌握運算法則，借助已有數據，實施局部調整，探究運算方向，選擇運算方法，優化思維品質，提升學生數學運算素養.3.4 考查獨立性檢驗中的小概率思想

題10 （2020·全國Ⅲ文18、理18）某學生興趣小組隨機調查了某市100天中每天的空氣質量等級和當天到某公園鍛煉的人次，整理數據得到下表（單位：天）：

鍛煉人次空氣質量等級??????? [0，200]（200，400]（400，600]

1（優）216252（良）510123（輕度污染）678

4（中度污染）720

（1）分別估計該市一天的空氣質量等級為1，2，3，4的概率;

（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）;

（3）若某天的空氣質量等級為1或2，則稱這天“空氣質量好”;若某天的空氣質量等級為3或4，則稱這天“空氣質量不好”.根據所給數據，完成下面的2×2列聯表，并根據列聯表，判斷是否有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關？

人次≤400人次>400空氣質量好空氣質量不好

附：K2=n（ad-bc）2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d），

P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

評注 值得關注的是文科卷已經連續多年考查獨立性檢驗問題，題10就是其中經典案例之一.這類試題通過對收集數據的分類變量分析，進行獨立性檢驗，輔助統計推斷.通常第（1）問考查頻率估計概率的思想方法，用樣本估計總體;第（2）問考查利用2×2列聯表進行獨立性檢驗的思想方法，即小概率反證法思想，屬于統計推斷.3.5 考查開放性情境中的科學決策能力

題11 （2018·全國卷Ⅱ理18）圖3是某地區2000年至2016年環境基礎設施投資額y（單位：億元）的折線圖.

為了預測該地區2018年的環境基礎設施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型.根據2000年至2016年的數據（時間變量t的值依次為1，2，…，17）建立模型①：=-30.4+13.5t;根據2010年至2016年的數據（時間變量t的值依次為1，2，…，7）建立模型②：y=99+17.5t.

（1）分別利用這兩個模型，求該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值;

（2）你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由.

評注 題11是基于真實情境的開放性問題，答案并不唯一.可以從圖形（折線圖趨勢）視角，也可以從代數（計算結果）層面來判定模型②預測值更加可靠.題11賦予考生更大自主決策空間，鼓勵考生多角度地獨立解決問題，體現新高考命題的開放性與創新性. 3.6 考查分析和解決問題的綜合能力

題12 （2018·新課標1卷理20）某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗，設每件產品為不合格品的概率都為p（0<p<1），且各件產品是否為不合格品相互獨立.

（1）記20件產品中恰有2件不合格品的概率為f（p），求f（p）的最大值點p0;

（2）現對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以（1）中確定的p0作為p的值.已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.

（ⅰ）若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX;

（ⅱ）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對這箱余下的所有產品作檢驗？

評注 題12與函數、導數等知識交匯，考查學科知識綜合應用的力.需要考生構建函數關系式，運用導數作為工具來確定最大值點p0.可以預見未來這類試題出現的概率較大， 凸顯中國高考評價體系中“四翼”明確提出的應用性與綜合性.還必須指出的是，概率統計不等同于數學，教學中要重視培養統計意識.要求考生立足統計視角，借助數學工具來處理問題，這正是題12失分的主要原因，也是當年高考后對本題爭論不休的緣由.

4 對2022年概率統計備考建議

4.1 重視核心概念，提升學生理解、辨析數學概念的根本能力

概念是數學的細胞，是思維的載體，是創新的源泉. 數學教學中最困難、最棘手的就是概念，因此學術界將數學概念譽為“冰冷的美麗”.概念教學是數學教學的核心環節，整個數學知識體系是建立在概念基礎之上. 長期以來，數學教師重解題技巧，輕概念生成，追求概念教學最小化和習題講解最大化，導致學生對概率統計基本概念死記硬背、機械記憶.章建躍指出，目前概念教學陷入“一個定義、二項注意、三個例題、N個強化訓練題”怪圈，這與立德樹人背道而馳，不利于核心素養的培養，制約學生能力發展，這是目前中學數學教育中最緊迫、最值得關注的課題.在概率統計復習中，針對核心概念（比如基本事件個數、條件概率、事件的獨立性等）要舍得花時間與精力，既要采取“正面突破”，又要輔以“事后補救”等策略[2]，通過正面與反面經典案例來辨析概念，進而鞏固概念、精致概念，悟透概念的本質[3].

4.2 重視閱讀理解，提升學生在實際問題中抽象數學關系的建模能力

近年來，回歸分析、殘差分析等成為熱點、重點、難點，并有逐年加大考查力度的趨勢.這類試題文字篇幅較長、信息含量較大、符號圖表密集、運算過程復雜、參考數據冗長、涉及公式較多.正如文[4]指出學生讀不懂題意是造成概率統計試題失分的主要原因之一，因此加強閱讀能力的培養是解決問題的關鍵.通過閱讀發現和提出概率統計問題.利用數學知識解決實際問題，體現了數學的應用性.

4.3 重視決策表述，提升學生運用所學知識解決問題的綜合能力

文[5]認為基于決策提供情境而命制的情境化試題，不僅能在應用性和綜合性上考查“四層”的相關內容，還可以幫助學生通過相應的情境活動堅定數學的價值認同.比如，2017年全國Ⅰ卷理科20題概率統計與函數導數交匯、2019年全國Ⅰ卷理科概率與數列交匯、2021年全國新高考Ⅱ卷的概率與函數、方程交匯等，上述試題均對知識遷移提出較高要求.教學中要重視概率統計語言的準確闡述，感受統計意義和價值，培養學生的統計意識.再如，在投資收益類問題中，一般以期望作為決策的標準;在沒有明確指明決策標準時，概率、期望和方差都可以作為決策依據.意味著答案可能不唯一，只要言之有理都可以得分.可以預計開放式試題在高考中出現的頻率越來越多.

4.4 重視公式結論，提升學生在數字特征分析和應用中的推理能力

相比于舊版教材，新版教材對一些公式、結論給出較為詳細的闡述.教師不僅要重視這些結論：E（X+Y）=E（X）+E（Y），D（X）=E（X2）-[E（X）]2，更要展示它們的推理論證過程：=∑ni=1（xi-）（yi-）∑ni=1（xi-）2=∑ni=1xiyi-n∑ni=1x2i-n2，以便考生得心應手、運用自如.

4.5 重視核心素養，提升學生在處理概率統計問題中的關鍵能力

統計是一門處理數據的科學.統計學是研究如何收集、整理、分析數據以及由數據分析結果作出科學決策.概率論是研究隨機現象規律的科學.概率是一種度量，刻畫隨機事件發生可能性大小.在解決概率統計問題過程中，把實際問題抽象為數學問題，形成數學的研究對象（培養抽象素養）;通過邏輯論證，促進數學內部和諧的發展（培養邏輯素養）;通過構建模型，構建數學與現實世界的橋梁（培養建模素養）;通過圖形、表格，將文字、圖表、數據、參考公式等融為一體（培養直觀素養）;通過優化計算，求得運算結果（培養運算素養）;通過數據分析，發現規律，作出決策（培養數據分析素養）.由此可知概率統計問題囊括六大核心素養，這正是彰顯新高考導向下的命題理念的最佳素材.5 結束語

概率統計問題聚焦六大核心素養，是綜合考查學生用數學眼光觀察問題、用數學思維分析問題、用數學語言表達問題、用數學知識解決問題的有效途徑，是全面落實立德樹人、發展素質教育的重要載體，是優化思維品質、培養核心素養的經典范例，這也正是近年來概率統計試題成為高考熱點、重點的緣由，更是逐年加大考查力度的依據.然而，必須承認概率統計是高中數學較為棘手的內容，這也是導致考生心理畏懼概率統計試題的因素.難怪概率統計學家Kapadia與Borovcnik感嘆：“概率是一個難教又難學的內容……，在概率統計中，無論是其非常核心的部分，還是它的概念及其比較簡單的應用，到處都有似是而非和違背直覺的說法.”教師要努力提升自身的業務水平與專業素養.正如文[6]警示：“通過調查研究以及收集的數據統計結果表明，縱使是處于金字塔頂部的重點高中數學教師，他們的概率統計知識儲備嚴重不足，80%以上的教師對大部分概率統計基本概念的認識都處于模糊狀態，理解深度不夠，缺乏用這些概念答疑解惑的能力，影響概率統計知識的教學效果.”這就說明2022年及未來高考，一方面進一步加大概率統計考查力度，另一方面考查難度與力度依然是一個緩慢提升的過程.如同文[7]指出，在高三復習備考過程中，教師要重視回歸教材、精致概念、強化閱讀、落實細節、滲透思想、培養素養等下功夫，以不變應萬變.

參考文獻

[1] 王淼生.研究高考試題是倒逼教師提升專業素養的杠桿——以“2021年全國高考數學新高考Ⅰ第8題”為例[J] .中學數學雜志（高中），2022（01）：5256.

[2] 王淼生.概念：數學教學永恒主題[M] . 廈門：廈門大學出版社，2018.

[3] 王淼生.與其滿腹困惑 不如求教專家[J] . 中小學數學（高中版），2021（12）：16.

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[5] 柯躍海.高考數學試題情境的創設實踐[J]. 中國考試，2020（06）：19.

[6] 李勇，章建躍，張淑梅，劉文慧.全國重點高中數學教師概率統計知識儲備現狀調查[J].數學通報，2016（09）：19.

[7] 王淼生.統計試題得分低的原因及應對策略——以“2020年福建省質檢理科第20題”為例[J] .福建基礎教育研究，2020（08）：6468.

作者簡介 王淼生（1966—），男，正高級教師，特級教師，“蘇步青數學教育獎”一等獎獲得者，第六屆全國教育科學研究優秀成果獎二等獎獲得者，“福建省基礎教學成果獎”特等獎獲得者，中國數學奧林匹克高級教練，福建省高層次人才，廈門市拔尖人才，廈門市首屆名師工作室領銜人，廈門市卓越教師，廈門市專家型教師，廈門市杰出教師.

周翔（1979—），男，高級教師，廈門市數學學科帶頭人，福建省第二屆教學技能大賽一等獎獲得者，廈門市中小學技能大賽一等獎獲得者，廈門市課堂教學創新大賽一等獎獲得者.