回顧與展望

【摘 要】 高三數學復習備考，涉及“函數與不等式”的復習內容很多，為了高效復習備考，文章從回顧2021年高考數學試卷（僅限于使用廣泛的6套全國卷）中“函數與不等式”內容的試題入手，結合課程標準分析其規律，進而展望2022年高考數學試卷（全國卷）中“函數與不等式”內容試題的特點.

【關鍵詞】 函數與不等式;導數;函數的單調性;高三數學;展望

函數是整個高中數學的一條主線，函數與不等式又緊密相連，因而“函數與不等式”是高三數學復習的重要內容之一.

考生要熟練掌握函數（特別是冪函數、指數函數、對數函數等基本初等函數及三次函數）的概念、基本性質（包括定義域、值域、單調性、奇偶性與圖象），了解其他性質（包括連續性、周期性、對稱性、有界性、可導性、凹凸性、極值與最值等）.函數最重要的性質是單調性，若求出了一個函數的所有單調區間，就可畫出該函數的圖象，進而可得到該函數的極值、最值、值域等性質.

2021年高考數學試卷共10套，其中全國卷6套：甲卷（云南、廣西、貴州、四川、西藏使用）文科、甲卷理科、乙卷（河南、山西、江西、安徽、甘肅、青海、內蒙古、黑龍江、吉林、寧夏、新疆、陜西使用）文科、乙卷理科、新高考卷1（山東、廣東、福建、江蘇、湖南、湖北、河北使用）、新高考卷2（海南、重慶、遼寧使用）;地方自主命題卷4套：北京、天津、上海、浙江.

涉及“函數與不等式”的復習內容很多，為了高效復習備考，本文將從回顧2021年高考數學試卷（僅限于使用廣泛的6套全國卷）中“函數與不等式”內容的試題入手，結合教育部制定的《普通高中課程標準（2017年版2020年修訂）》[1]分析其規律，進而展望2022年高考數學試卷（全國卷）中“函數與不等式”內容試題的特點.文章內容僅代表個人觀點，謹供讀者參考.1 回顧2021年高考數學試卷（全國卷）中“函數與不等式”內容的試題

（1）函數概念：（ⅰ）函數的要素（定義域、對應關系、值域）;（ⅱ）函數的表示法（如圖象法、列表法、解析法等）;（ⅲ）分段函數

甲卷文科第6題即理科第4題（表示法，數學文化試題），新高考卷1第7題（由函數圖象求參數的取值范圍），新高考卷2第14題（表示法），甲卷第23（1）題（畫函數圖象），甲卷第23（2）題（由函數圖象的平移求參數的取值范圍），乙卷第23（1）題（解絕對值不等式），乙卷第23（2）題（由絕對值的幾何意義求解恒成立問題）（甲卷、乙卷第23題文科與理科均同題且均涉及絕對值，其本質是分段函數，是“選修45：不等式選講”的選考題）

（2）函數性質：（ⅰ）函數的單調性與最值;（ⅱ）函數的奇偶性

甲卷文科第4題（單調性），乙卷文科第8題（最值），乙卷文科第9題即理科第4題（奇偶性），新高考卷1第13題（奇偶性），新高考卷2第8題（奇偶性），新高考卷2第14題（奇偶性），甲卷文科第12題及理科第12題（奇偶性、對稱性（其特殊情形是奇偶性）、周期性的綜合應用，詳見后文題6）

（1）冪函數甲卷文科第4題，新高考卷1第13題，甲卷理科第21題，乙卷文科第21題

（2）指數函數甲卷文科第4題，乙卷文科第8題，新高考卷1第7題，新高考卷1第13題，新高考卷2第16題，甲卷理科第21題，新高考卷2第22題

（3）對數函數新高考卷2第7題，乙卷文科第8題，新高考卷1第15題，甲卷文科第20題，乙卷理科第20題，新高考卷1第22題

（1）函數零點、二分法與求方程近似解甲卷理科第21（2）題，乙卷文科第21（2）題，新高考卷2第22（2）題（這三道題均是函數零點問題）

（2）函數與數學模型甲卷文科第6題即理科第4題

（1）不等式的性質甲卷文科、理科第1題及新高考卷1第1題（均以集合為載體），乙卷文科第3題（即理科第3題，以命題與邏輯聯結詞為載體），乙卷文科第5題（線性規劃），新高考卷2第7題（以對數為載體）

（2）基本不等式乙卷文科第8題，新高考卷1第5題（以橢圓為載體）

（3）一元二次不等式乙卷文科第8題

導數 （包括三角函數）

1.導數的概念及其意義2.導數的運算3.導數在研究函數中的應用

（1）平均變化率與瞬時變化率

（2）極限

（3）導數的幾何意義

（1）基本初等函數的導數

（2）導數的四則運算法則及復合函數的求導法則

（1）用導數研究函數的單調性

（2）用導數研究函數的極值與最值

沒有直接考查該知識的高考題

甲卷理科第13題，新高考卷1第7題，新高考卷2第16題，乙卷文科第21（2）題

甲卷文科第20題，理科第13、21題;乙卷文科第12、21題，理科第10、12、21題;新高考卷1第7、15、22題;新高考卷2第14、16、22題

乙卷理科第12題，甲卷文科第20（1）題，甲卷理科第21（1）題，乙卷文科第21（1）題，乙卷理科第21（2）題（用單調性證明函數不等式），新高考卷1第22（1）題，新高考卷2第22（1）題

乙卷文科第12題即理科第10題（極值），新高考卷1第15題（最值），乙卷理科第21（1）題（極值），甲卷文科第20（2）題（用導數研究函數的零點問題，進而求參數的取值范圍），甲卷理科第21（2）題（用導數研究兩條曲線的公共點問題（其本質是函數的零點問題），進而求參數的取值范圍），乙卷文科第21（2）題（求兩個函數圖象的公共點坐標，其本質是函數的零點問題），新高考卷1第22（2）題（不等式中的極值點偏移問題），新高考卷2第22（2）題（用導數研究函數的零點，結構不良問題）

由表1不難看出，2021年高考數學試卷（全國卷）中“函數與不等式”內容的試題有以下規律：

（Ⅰ）6套全國卷的試題考查全面，幾乎涵蓋了“函數與不等式”內容的所有知識點;

（Ⅱ）函數的單調性是必考內容，考查函數的奇偶性的試題較多，涉及冪函數、指函數、對數函數等基本初等函數的試題也較多;（Ⅲ）有不少試題涉及抽象函數，比如甲卷文科第12題，甲卷理科第12題，新高考卷2第14題;

（Ⅳ）兩道“選修45：不等式選講”的選考題很相似，題干都涉及函數f（x）=ax+b±cx+d（其解法都是通過實數絕對值的意義及分類討論先把絕對值符號去掉），第（2）問都是由不等式恒成立求參數的取值范圍.

2 展望2022年高考數學試卷（全國卷）中“函數與不等式”內容試題的特點

2.1 試題緊密聯系課本

題1 （1）（2020年高考全國卷Ⅰ文科第8題）設alog34=2，則4-a=（? ）.

A.116? B.19? C.18

D.16? （答案：B）

（2）（2021年高考天津卷第7題）若2a=5b=10，則1a+1b=（? ）.

A.-1? B.lg7? C.1? D.log710（答案：C）

評注 第（1）小題源于普通高中教科書[2]第127頁第5題，也源于上一輪教材普通高中課程標準實驗教科書[3]第75頁B組第1題，該題是鞏固對數定義（“指對互化”）、對數運算性質、對數恒等式及冪的運算性質的好題.第（2）小題源于教科書[3]第83頁B組第2題：若2a=5a=10，則

1a+1a=.

題2 （2013年高考新課標卷Ⅰ文科第12題即理科第11題）已知函數f（x）=-x2+2x，x≤0，ln（x+1），x>0，若|f（x）|≥ax，則a的取值范圍是（? ）.

A.（-∞，0]?? B.（-∞，1]C.[-2，1]?? D.[-2，0]

（答案：D）

評注 解答這道選擇題時，要用到教科書[2]第154頁的敘述：“對數增長”“直線上升”“指數爆炸”（教科書[3]第111頁也有同樣的敘述）.

2.2 關于基本不等式的選填題，解答有技巧

題3 （2007年高考北京卷理科第7題）

如果正數a，b，c，d滿足a+b=cd=4，那么（? ）.

A.ab≤c+d，且等號成立時a，b，c，d的取值唯一

B.ab≥c+d，且等號成立時a，b，c，d的取值唯一

C.ab≤c+d，且等號成立時a，b，c，d的取值不唯一

D.ab≥c+d，且等號成立時a，b，c，d的取值不唯一（答案：A）

評注 對于“字母都取正數”的題目就應當想到用基本不等式求最值，往往簡便快捷，但適用面比較狹窄;用導數求函數最值時，適用面更廣泛.當然，在基本不等式“若a>0，b>0，則a+b2≥ab”中，可設b=ax2（x>0），得a+b2≥ab1+x22≥x（x-1）2≥0，說明均值不等式與結論“一元函數f（t）=t2（t∈R）的函數值非負”是等價的，這可能也是“基本不等式”名稱的來歷吧.

關于基本不等式的試題還可能以應用題的形式出現，考生要注重文字閱讀能力的培養及審題基本功的訓練.

2.3 在分段函數中求參數的取值范圍

分段函數的解析式由分類討論的形式呈現，相對于解析式單一的情形要復雜些，但在每份高考試卷中幾乎都有有關分段函數的試題，因而考生務必重視.其常見的處理策略是“分段討論”及“分類討論”.

題4 已知a>0且a≠1，若函數f（x）=（a-1）x+3a-4，x≤0，ax，x>0滿足對任意實數x1≠x2，都有f（x2）-f（x1）x2-x1>0成立，則a的取值范圍是（? ）.

A.（0，1）?? B.（1，+∞）? C.1，53

D.53，2

（答案：C）題5 （2015年高考北京卷理科第14題）設函數f（x）=[JB（{]

2x-a，x<1，4（x-a）（x-2a），x≥1.

①若a=1，則f（x）的最小值為;

②若f（x）恰有2個零點，則實數a的取值范圍是.

答案：①-1;②12，1∪[2，+∞）.

評注 解答題4時要理解函數單調性定義的等價及解決分段函數單調性的通法;解答題5的關鍵是進行恰當的分類討論，即找到合適的分類討論標準.

2.4 關于函數圖象對稱性與周期性的綜合問題常在選填壓軸題中出現

題6 （1）（2021年高考全國甲卷文科第12題）設f（x）是定義域為R的奇函數，且f（1+x）=f（-x），若

f-13=13，則f53=（? ）.

A.-53? B.-13? C.13? D.

53（答案：C）

（2）（2021年高考全國甲卷理科第12題）設函數f（x）的定義域為R，f（x+1）為奇函數，f（x+2）為偶函數，當x∈[1，2]時，f（x）=ax2+b.若f（0）+f（3）=6，則f92=（? ）.

A.-94? B.-32? C.74? D.52（答案：D）

（3）（2021年新高考全國卷2第8題）已知函數f（x）的定義域為R，f（x+2）為偶函數，f（2x+1）為奇函數，則（? ）.

A.f-12=0?? B.f（-1）=0

C.f（2）=0D.f（4）=0

（答案：B）

評注 還可證得題6的一般情形的結論：

（1）若曲線y=f（αx+β）（α≠0）關于點（a，c）對稱，曲線y=f（γx+δ）（γ≠0）關于直線x=b對稱，則

f（2αa+2β-x）+f（x）=2c，f（2γb+2δ-x）=f（x），f（x+4（αa+β-γb-δ））=f（x）.

當αa+β=γb+δ時，f（x）≡c;

（2）若曲線y=f（αx+β）（α≠0）關于兩點（a，c），（b，c）均對稱，則f（2αa+2β-x）+f（x）=2c，f（2αb+2β-x）+f（x）=2c，f（x+2α（a-b））=f（x）;

（3）若曲線y=f（αx+β）（α≠0）關于兩條直線x=a，x=b均對稱，則f（2αa+2β-x）=f（x），f（2αb+2β-x）=f（x），f（x+2α（a-b））=f（x）.

2.5 考查函數最重要的性質——單調性

函數單調性的含義：在區間I上，當自變量的值增加時，對應的兩個函數值增加（減少），該函數在區間I上就是增（減）函數.

用導數判斷函數單調性的法則：函數f（x）在區間I上是增函數（減函數）的充要條件是x∈區間I，f′（x）≥（≤）0，且當f′（x）=0時，x不會在任意區間上取值（即只可能取到一些孤立的點）.

處理函數單調性問題的常見策略就是用導數這一有力工具.

題7 （2016年高考全國卷Ⅰ文科第21題）已知函數f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2.

（1）討論f（x）的單調性;

（2）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍.

分析 求函數的單調區間的一般步驟是：寫定義域→求導→求導函數零點→列表→下結論.其中列表反映的信息最清楚也最全面、最簡潔.

（1）函數f（x）的的定義域是R.可得f′（x）=（x-1）ex+2a（x-1）=（x-1）（ex+2a）.

令f′（x）=0，得x=ln（-2a）或1.

因為當且僅當a<0時ln（-2a）才有意義，所以須分a<0和a≥0兩類情形來討論.當a<0時，ln（-2a）有意義，接下來還須分ln（-2a）>1，ln（-2a）=1，ln（-2a）<1（即a<-e2，a=-e2，-e2<a<0）三種情形來討論.

（2）為了得到函數f（x）的零點個數，就需要知道其圖象的形狀，還需要知道函數f（x）的單調區間，從而由第（1）問的分類討論標準可確立第（2）問的分類討論標準：分a<-e2，a=-e2，-e2<a<0，a=0，a>0這五種情形討論（因為后兩種情形f（x）的單調區間不同，所以這兩種情況須分開討論）.

2.6 重點考查函數的極值與最值

極值是函數的局部性質：函數圖象的“每座山峰”的縱坐標都是極大值，“每處山谷”的縱坐標都是極小值;而最值是函數的整體性質，閉區間上函數的最大（小）值是所有極大（小）值與兩個端點函數值中的最大（小）者.求有關極值、最值的解答題時，表述時要盡可能列表，因為這樣更清楚明白.

題8 （1）比較大小（直接寫出答案）：310103;

（2）求出e3，3e，eπ，πe，3π，π3中的最大者與最小者.

解 （1）由“指數爆炸”可猜測310>103，驗證如下：310>37=2187>1000=103.

（2）由（1）的解答可猜測e3>3e，eπ>πe，3π>π3（后面會驗證它們均成立），所以max{e3，3e，eπ，πe，3π，π3}=max{e3，eπ，3π}，min{e3，3e，eπ，πe，3π，π3}=min{3e，πe，π3}.

還可得e3<eπ<3π，3e<πe<π3，所以max{e3，3e，eπ，πe，3π，π3}=3π，min{e3，3e，eπ，πe，3π，π3}=3e.

下面證明“若e≤a<b，則ab>ba”，即證lnab>lnba，blnaab>alnbab，lnaa>lnbb.

設函數f（x）=lnxx（x>e），可求得f′（x）=1-lnxx2<0（x>e），所以f（x）是增函數，進而可得g（x）=lnxx（x≥e）也是增函數，所以g（a）>g（b），即lnaa>lnbb.

綜上所述，可得max{e3，3e，eπ，πe，3π，π3}=3π，min{e3，3e，eπ，πe，3π，π3}=3e.

評注 y=lnxx是一個有代表性的函數，下面六道高考題都涉及到它：2017年全國卷Ⅰ理科第11題，2014年高考湖北卷文科、理科第22題，2005年高考全國卷Ⅲ理科第6題，2001年高考全國卷理科第20題，1983年高考全國卷理科第9題.

2.7 函數零點問題依然是重要題型

函數的零點是函數圖象與橫軸公共點的橫坐標.零點問題備受高考命題專家青睞，其處理策略常涉及由單調區間畫出函數圖象及用分類討論思想來求解.

請注意，證明函數存在零點時，或直接求出零點，或由零點存在定理（當函數在開區間I上連續不斷且在兩個端點的函數值異號時，該函數在開區間I上的圖象必穿過橫軸）證明函數存在零點，不可僅由圖象代替嚴格證明.

題9 （2016年高考北京卷文科第20題）設函數f（x）=x3+ax2+bx+c.

（1）求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程;

（2）設a=b=4，若函數f（x）有三個不同的零點，求c的取值范圍;

（3）求證：a2-3b>0是f（x）有三個不同零點的必要而不充分條件.

評注 該題第（2）問的解答：須由零點存在定理證明函數存在零點，不可先由三次函數f（x）=x3+ax2+bx+c的圖象得出limx→-∞f（x）=-∞，limx→+∞f（x）=+∞，再得出第（2）問的結論;由第（2）問的結論可構造出第（3）問的結論中關于“不充分條件”的實例.

2.8 函數不等式是難度較大的題目

2.8.1 不等式恒成立、能成立、恰成立問題在選填題中頻繁出現

由所給不等式恒成立、能成立、恰成立求參數取值范圍的三類問題，既有區別又有聯系，容易混淆，考生要熟練掌握.題10 若關于x的不等式1x+2x+3x+…+（n-1）x+nxa>0（n>1，n是已知的整數）恰在x<1時成立，則實數a的取值范圍是.

解 可得題設即關于x的不等式

1nx+2nx+3nx+…+n-1nx>-a

的解集為（-∞，1）.

由結論“若干個減函數之和也是減函數”，可得f（x）=1nx+2nx+3nx+…+n-1nx（x∈R）是減函數，所以x∈（-∞，1）f（x）>f（1）-a=f（1）a=1-n2，因而所求實數a的取值范圍是1-n2.

評注 若將題10中的“x<1”改為“x≤1”，則所求答案是.

2.8.2 雙參數問題可能出現

題11 已知a>1，函數f（x）=（x2+ax+1）e1-x，g（x）=2a-1+（2a-1）x-x2x+1滿足x1∈[0，1]，x2∈[0，1]，使得f（x1）≥g（x2），求實數a的取值范圍.

答案：1，2e+34.

評注 解答雙參數問題時，可先把其中的一個參數（比如是x1）看作常數變成另一個參數（x2）的問題，求得參數x1滿足的條件，變成了一個參數x1的問題，最終可完成求解.具體求解時，先視哪一個參數為常數，可能解答的難度不一樣.2.8.3 用導數證明函數不等式的四種常用方法

單調性法、求最值、分別求不等式兩邊的最值（比如2014年高考課標全國卷Ⅰ理科第21（2）題）、尋求過渡（比如2013年高考新課標全國卷2理科第21（2）題）是用導數證明函數不等式的四種常用方法[4]，考生要盡可能地掌握這種解題技巧.2.9 求參數取值范圍問題常考常新

題12 （2020年新高考全國卷Ⅰ第21題）已知函數f（x）=aex-1-lnx+lna.

（1）當a=e時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;

（2）若f（x）≥1，求a的取值范圍.

評注 下面用指數對數恒等式x=elnx給出第（2）問的一種簡潔解法[5]：可得題設即elna+x-1+（lna+x-1）≥elnx+lnx.

還可得g（t）=et+t是R上的增函數，所以題設即lna+x-1≥lnx，也即（x-lnx-1）min≥-lna.

用導數知識，可求得（x-lnx-1）min=0，進而可求得所求a的取值范圍是[1，+∞）.

題13 已知函數f（x）=1+ln（x+1）x，g（x）=x-1-ln（x+1）.若當x>0時，

xf（x）>kg′（x）（k∈Z）恒成立，求k的最大值.

解法1 我們可以考慮用分離參數法來求解.

可得題設即（x+1）[1+ln（x+1）]x>k（x>0）恒成立.

設h（x）=（x+1）[1+ln（x+1）]x（x>0），可求得

h′（x）=x-1-ln（x+1）x2（x>0）.

用導數可證得u（x）=x-1-ln（x+1）是增函數，再由u（2）<0<u（3）可知

存在唯一的x0∈（2，3），使得x0=1+ln（x0+1）.

進而可得：當且僅當x=x0時，h（x）min=h（x0）=（x0+1）·

1+ln（x0+1）]x0=x0+1.

又因為x0+1∈（3，4），所以k≤3（k∈N*），故所求整數k的最大值是3.

解法2 不用分離參數法而用分類討論思想來求解.

設h（x）=（x+1）[1+ln（x+1）]-kx（x>0），可得題設即h（x）>0（x>0）恒成立.接下來需要求函數h（x）的最小值或下確界α（k），再解不等式α（k）>0即可得到k的取值范圍.

可求得h′（x）=ln（x+1）+2-kx（x>0）.

（ⅰ）當k≤2時，可得h′（x）>0（x>0），h（x）是增函數.再由h（0）=1-k，可得題設即1-k≥0，也即k≤1.

（ⅱ）當k>2時，可得h（x）在（0，ek-2-1]，[ek-2-1，+∞）上分別是減函數、增函數，所以h（x）min=h（ek-2-1）=-[ek-2-（k-2）-2]（x>0），進而可得題設即ek-2-（k-2）-2<0.

可證得函數u（x）=ex-x-2（x>0）是增函數.

又因為u（1）<0，u（2）>0，所以函數u（x）的唯一零點α∈（1，2）.因而ek-2-（k-2）-2<0k-2<αk<α+2.綜上所述，可得所求整數k的最大值是3.

解法3 “先必要后充分”法.設

h（x）=（x+1）[1+ln（x+1）]x（x>0），可得題設即h（x）>k（x>0）恒成立.

可得e>2.5>6，e5>e4>36>27，5>3ln3，1+ln3<83

，所以h（2）=32（1+ln3）<4.

由h（x）>k（x>0）恒成立，得4>h（2）>k（k∈Z），所以k≤3.

還可用導數證得h（x）>3（x>0）恒成立（過程略）.

所以所求整數k的最大值是3.

評注 題13的三種解法均是解答求參數取值范圍問題的通性通法：解法1是“分離參數+隱零點（設而不求）”;解法2也是常規方法，但解不等式α（k）>0很可能出現僵局、難以繼續（但可嘗試用分類討論思想來解決）;解法3是“先必要后充分”的轉化方法（不同于直接的等價轉化）.在解法3中“令x=2”有試驗的成分（試驗一次就得到了與正確答案相關的必要條件），這種“先必要后充分”的解題方法也屬通性通法.

讀者由這三種解法均可完成2012年高考新課標全國卷文科第21（2）題的解答.

2.10 試題的亮點是創新

解答2019年高考全國卷理科第20（2）題“證明：函數f（x）=sinx-ln（1+x）有且僅有2個零點”的核心問題是“證明不等式sinx>ln（x+1）0<x<π2”.早在2017年3月出版的拙著[6]第185186頁就給出了該不等式及其證明.

用幾何畫板電腦軟件容易作出一些簡單的函數（包括基本初等函數）圖象，進而可得出相應的函數不等式，這就是筆者發現該不等式的緣由.

近日，筆者用同樣的方法還得到了下面的一道題目：

題14 已知函數f（x）=xsinx（0<x<π），求證：f（x）<2.

證明 （1）當0<x≤π2時，由y=x與y=sinx均是增函數且函數值均是正數，用函數單調性的定義或用導數均可證得f（x）也是增函數，所以f（x）≤fπ2=π2<2.

（2）當π2<x<π時，可求得f′（x）=cosx（tanx+x）.

可得g（x）=tanx+xπ2<x<π是增函數.再由

g7π12=-2-3+7π12<-2-1.7+712×3.6=-1.6<0，g2π3=-3+2π3>2-3>0

及g（x）是連續函數，可得t∈7π12，2π3，g（t）=0，因而tant+t=0，sint=tt2+1.

進而可求得f（x）極大值=f（t）=tsint=t2t2+1，所以欲證f（x）<2，即證t2t2+1<2，t4-4t2-4<0，t2<2+22（2+22>4.8）.

因而只需證明當t∈7π12，2π3時t2<4.8，即證2π32<4.8，π2<4.8×94，π2<10.8（10.8>10.24=3.22），所以只需證明π2<3.22，π<3.2，它成立，所以欲證結論成立.

綜上所述，可得欲證結論成立.

評注 高考試題的亮點是創新，但結論應當簡潔.高三學生在復習備考時，也可嘗試以上創新方法：留意一些簡單的函數圖象形狀，再嚴格證明相應的結論，這也是一種高效的研究性學習.

另外，高考數學全國卷的必做題壓軸題往往是函數與導數，難度較大.拙著[7]詳細闡述了考生解答該題時出現的八大“困惑”及其突破方法，學有余力的學生可以研讀.2.11 多項選擇題、數學文化試題及結構不良問題是近年高考試題的熱點讀者還應注意有關抽象函數與絕對值函數問題的解法，雖說它們在近年的高考題中不是高頻考點，但基礎好的考生也要留意并作好充分準備.另外，涉及函數與不等式的多項選擇題、數學文化試題[8]及結構不良問題（比如2021年新高考全國卷2第22題）也是近年高考試題的熱點.結構不良問題較結構良好問題多了一項考查功能，即考查考生對選項難易度的甄別及對所求問題進行合理搭配再完成求解的能力.

關于高三數學復習備考策略，在筆者發表的文章中已闡述較多，比如拙文[9]及其文末列出的參考文獻，有興趣的讀者可以瀏覽.

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2] 人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書（數學·必修·第一冊·A版）[M].北京：人民教育出版社，2019.

[3] 人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書（數學1·必修·A版）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[4] 甘志國.用導數證明函數不等式的4種常用方法[J].高中數理化，2018（03）：68.

[5] 甘志國.用指數對數恒等式x=elnx簡便解題[J].高中數學教與學，2020（05）：79.

[6] 甘志國.2016年高考文科數學真題研究[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2017.

[7] 甘志國.2017年高考理科數學真題研究[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2018：285311.

[8] 甘志國.數學文化與高考研究[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2018.

[9] 甘志國.談談高中數學教學的四個關鍵詞：夯實基礎、激發興趣、著眼高考、適當提高[J].中學數學雜志，2019（09）：1621.

作者簡介 甘志國（1971—），正高級教師，特級教師;對高考數學試題及強基計劃數學試題研究較多.