牢記立德樹人教育使命 助力數學教育和人才培養

張天德 張召生 岳峰 王云劍

【摘 要】 全面深入分析2021年高考數學試卷，了解2022年高考頂層設計思想以及考查要求，展望2022年高考新動向，給出備考策略.

【關鍵詞】 考查要求;學科素養;理性思維;創新能力;數學命題;高考動向

本文以2021年全國新高考Ⅰ卷數學試題（山東、河北、湖北、湖南、江蘇、廣東、福建七個省份使用）為例，進行深入分析，展望2022年高考新動向.1 2021年高考數學試卷分析

1.1 命題思想和原則

2021年高考命題以習近平新時代中國特色社會主義思想為指導，全面貫徹黨的教育方針，落實立德樹人的根本任務. 2021年高考命題以“方向是核心，平穩是關鍵”為原則，突出數學本質，重視理性思維，堅持素養導向，側重能力考查;并且倡導理論聯系實際，學以致用，設計真實問題情境，體現數學的應用價值;同時試題體現科學選拔人才和科學育人導向，體現考查數學知識的基礎性、綜合性、應用性和創新性.

通過分析，2021年高考數學試題設計體現了：以知識為載體，以思維和能力立意;重點考查中學數學主干知識和重要思想方法;注重考查考生運用數學知識解決實際問題的能力;突出考查考生運用數學思維方法解決問題和創造性解決問題的能力.高考由“解答試題”轉向“解決問題”.

1.2 2021年試卷整體分析

2021年高考數學試題突出主干內容和考查必備知識，發揮數學學科特色，彰顯學科育人功能，適度開放創新，穩步推進改革，引導構建學生德、智、體、美、勞全面發展的考試內容和評價體系.

1.2.1 突出主干內容，考查必備知識

2021年的試題更加回歸基礎，突出對高中數學基礎知識、基本數學思想和數學方法的全面考查;突出對高中數學主干知識內容的考查;體現對分類與整合、轉化與化歸、特殊與一般、數形結合等數學思想方法的深入考查;更加突顯數學的學科本質.

具體說：

1）第7，13，15，22題考查函數與導數，分值占比約為18%;

2）第3，5，11，14，21題考查解析幾何，分值占比約為18%;

3）第4，6，10，19考查三角函數與解三角形，分值占比約為15%;

4）第3，12，20題考查立體幾何，分值占比約為15%;

5）第8，9，18題考查統計與概率，分值占比約為11%.

第1，2，4，6，8，9，13，17，18，21題第（1）問，22題第（1）問，都是直接考查學生對基本概念、性質的理解，在不同層次和水平上考查了學生的邏輯推理能力和數學運算能力;第5，7，10，11，14，15，21題考查了“以形助算”的數形結合思想方法;第3，12，20題考查了學生空間想象和邏輯推理能力;第16題考查了學生的數學建模能力及數學抽象的能力.

同時，試題以多項相互關聯活動的復雜問題情境作為載體，考查學生知識、能力內部的整合及其綜合應用的能力;以生活實踐和學習探索情境為載體考查學生篩選信息、提取信息、知識遷移和聯系實際解決問題的能力.

第10，12，20題將向量與三角函數、立體幾何等內容相結合，體現了向量的工具性，向量具有代數和幾何雙重身份，是集“數”與“形”于一身的數學概念，溝通了代數、幾何與三角的聯系，通過向量法使幾何問題代數化，既考查學生數形結合的思想，也考查學生代數運算的能力.

1.2.2 發揮數學學科特色，彰顯學科育人功能

試題堅持思想性與科學性的統一，發揮數學學科特點，創設適當的知識情境，增強學生社會責任感，引導學生形成正確的人生觀、價值觀、世界觀.通過這類問題的設置，引導學生關注我國社會現實與經濟、科技進步的發展，關注優秀傳統文化，增強民族自豪感與自信心，增強國家認同，增強理想信念與愛國情懷.

第16 題以我國傳統文化剪紙藝術為背景，考查數列求和的基本知識，讓考生體驗從特殊到一般抽象出數學模型的探索過程，體會歸納、猜想研究數學問題、發現事物規律的重要思想，考查考生靈活運用數學知識分析問題的能力，同時充分感悟我國民族工藝蘊含的聰明才智.

第18 題以“一帶一路”知識競賽為背景，考查考生對概率統計基本知識的理解與應用，考查考生分析問題和數據處理的能力.1.2.3 適度開放創新，穩步推進改革

試題本著穩步推進高考改革，構建引導學生德、智、體、美、勞全面發展的考試內容體系原則，繼去年增加多選題、結構不良問題之后，今年的試題沒有設置結構不良問題，改為填空題一題兩空，穩步推進試題改革.第16題考查知識屬于數列中的錯位相減法求和，也是首次出現在填空題中進行考查.

21 題第（2）問有序開放問題探索的內容，要求考生運用解析幾何的基本思想方法分析問題和解決問題，考查考生在開放的情境中發現主要矛盾的能力，在體現開放性的同時也體現了思維的準確性與有序性.同時，圓錐曲線解答題以雙曲線為載體也是近幾年的首次，2021年八省聯考解答題考查的是雙曲線為載體，但是高考結束還有很多考生不敢相信會在大題中考查雙曲線，說明師生容易受定勢思維的限制，這也體現出高考命題的一個原則，就是回歸數學本質，反套路、反刷題.

1.3 數據分析

下面對2021年高考數學試題進行深入的數據分析.

（一）我們對2021年高考數學試題考點進行分析，得到考點雙向細目的分布，見表1（說明：所屬類型分為基礎、應用、綜合、創新四類;難度系數分為易、中、難;考查知識點分布;關鍵能力分為邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力、數學建模能力、創新能力;學科素養分為理性思維、數學探索、數學應用、數學創新;情境分為課程學習情境、探索創新情境、生活實踐情境;題目涉及到的知識點，按照涉及比重填寫，最多不超過4個;百分比為題目每個知識點所涉及的比重）.

由表可以看出，2021年高考試卷體現出基礎、應用、綜合、創新四大類知識都有涉及;易、中、難三層次難度整體上逐漸增加;理性思維、數學探索、數學應用、數學創新等學科素養都有考查;邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力、數學建模能力、創新能力等關鍵能力都有體現;課程學習情境、探索創新情境、生活實踐情境等都有涉及.題目呈現的知識點較多，分布范圍比較廣.

（二）根據題型和分值，我們得到表2、表3（表3是2021年試題與2020年試題數據對比）.

通過對比發現：2021年與2020年的試題對各模塊知識點的考查基本一致，分值差別不大，做到了重點內容重點考查.（三）對于主觀題，每題的平均分（不含缺考）見表4.

我們發現：整體第二卷山東省全省平均分37.42分，而2020年平均分為39.63分.2021年和2020年比較，整體符合預期.（四）第三大題填空題，其部分得分人數比例情況見表5.

該大題共四個小題，每題5分，滿分20分. 通過抽樣發現：13題的得分率約為81.8%;14題的得分率約為32.1%;15題的得分率約為67.3%;16題的得分為2分、3分、5分的人數占比約為52.83%、0.24%、1.32%. 整體上，該大題得分率高于去年，其中：13題和15題這兩個考查函數性質和最值的問題大多數學生能夠拿到相應的分數;14題雖然是圓錐曲線的常規問題，但是得分率還是偏低;16題一題兩空的設置，大大提高了得分的梯度，巧妙地將數列與剪紙工藝結合在一起，第二空以錯位相減法求和為載體，考查學生數學建模和對知識靈活遷移的能力，試題的區分度比較大.（五）對于第四大題，各題0分卷比例和滿分卷比例見表6.

17題～19題面向全體考生，體現注重考查基礎知識、基本能力、回歸教材的特點;

20題～22題考查學生的綜合能力.整體上，體現出難度逐步增加趨勢，區分度也較高，同時體現適度開放創新.今年的試題填空題一題兩空，21題第（2）問有序開放問題探索的內容，體現開放性和思維的準確性、有序性.

2 2022年高考數學展望

2.1 高考評價體系的頂層設計

高考評價體系[1]、新的課程方案和課程標準進一步強化了學科的育人功能，體現了鮮明的育人導向，思想性、科學性、時代性、整體性等明顯增強.《普通高中數學課程標準（2020年修訂版）》與實驗版比較，新增了學科核心素養、課程結構、學業質量三個重要部分，同時課程標準還圍繞核心素養和教學評價給予了相關案例，幫助高中數學教師在教學實踐過程中更好地落實新課程標準.

2018年3月3日，教育部考試中心主任姜鋼、黨委書記劉桔在《中國教育報》發表署名文章《牢記立德樹人使命 寫好教育考試奮進之筆》[2].此文可以說是對高考命題的“最新定調”，對于2019年及今后一段時間的高考命題尤其是全國卷的命題具有非常明確和重要的指導意義，對于考生復習和教師教學都有重要的方向性指引作用！

高考的核心功能是什么？是立德樹人、服務選才、引導教學.高考的主要任務是什么？是立德樹人“一堂課”、服務選才“一把尺”、引導教學“一面旗”.高考的命題要求是什么？是科學設計考試內容、優化高考選拔功能、強化能力立意與素養導向、助力推動中學素質教育.因此，高考必須考一核、四翼、四層，具體來說，一核是：立德樹人，服務選材，引導教學;四翼是：基礎性、應用性、綜合性、創新性; 四層是：必備知識、關鍵能力、學科素養、核心價值.2.2 考查要求

高考考查基本要求也是一核、四翼、四層，即考查知識的基礎性、應用性、綜合性、創新性，考查學生的必備知識、關鍵能力、學科素養、核心價值. 四翼的具體要求和內容見下圖：

基礎性：基本概念的理解、基礎知識的落實、基本技能的掌握、基本方法的應用.深刻理解基本概念，狠抓基礎知識落實，熟練掌握基本技能，重點強化基本方法.具體落實為五項技能：數學閱讀技能、數學表達技能、數學推理技能、數學運算技能、數學作圖技能.

綜合性：知識整合能力、知識轉化能力、科學的思維方法、數學探索素養.知識的綜合應用建立在完善的知識體系基礎上，能夠反映學科知識、能力、素養之間的整合運用水平.

應用性：閱讀理解能力、信息提取能力、數學建模能力、實際問題解決能力.以生活實踐和學習探索情境為載體，遷移課堂所學內容，考查學生理論聯系實際的能力.應用性多數是以生活實踐情境作為命題背景，考查學生觀察各種現象，靈活應用知識分析并解決實際問題的能力. 生活情景主要包括課程學習情境、生活實踐情景、探索創新情景等.應用能力的發展離不開知識的積累和豐富的知識儲備. 以概率統計為例：

1）概率統計中基本概念要理解到位;

2）能準確識別各種統計圖表;

3）熟悉各種概率與統計模型（頻率估計概率，古典概型，超幾何，二項分布，正態分布，獨立性檢驗，回歸（線性，非線性））;

4）加強分析問題、解決問題能力的訓練.

創新性：知識遷移能力、獨立思考能力、批判性思維、創新意識.創新性包括形式創新、 方法創新、思維創新.創新題考的什么呢？考的是學習能力，考的是獨立思考能力，考的是解決問題的能力，考的是數學素養.尤其是思維創新題，更需要在熟練掌握四基的基礎上， 通過知識的靈活應用，提高綜合應用的能力，進而提高創新能力.值得注意的是，創新題不等于難題.四層的具體要求和內容見下圖：

2.3 2022年高考內容展望

2.3.1 基于新課標要求的新高考，新課標中刪除內容

1）映射;

2）幾何概型;

3）定積分;

4）中心投影與平行投影，空間幾何體的三視圖;

5）算法初步;

6）系統抽樣;

7）二元一次不等式（組）與簡單的線性規劃問題;

8）命題及其關系，簡單的邏輯聯結詞“或”和“且”;

9）曲線與方程;

10）推理與證明.

2.3.2 2022年高考數學試卷大致結構

第一，小題部分（共80分）：

1）單項選擇題8題40分;

2）多項選擇題4題20分（部分選對得2分）;

3）填空題4題20分（16題為雙空題）.

第二，解答題（共70分）：

1）三角函數與解三角形（可能出現結構不良題）;

2）數列（可能出現結構不良題）;

3）立體幾何;

4）概率統計;

5）解析幾何;

6）函數與導數.

2.3.3 2022年高考數學試題難度控制

第一，低起點.體現為試卷在選擇題、填空題、解答題部分進行了系統設計.考查學生基礎概念的理解和基礎知識的掌握情況，起始題起點低、入口寬，面向全體考生;

第二，多層次.體現為試題的設計上重視難度和思維的層次性，尤其體現在解答題第一問與第二問之間具有的關聯和遞進的關系;

第三，高落差.體現為重視數學學科高考的綜合性、創新性，在試題的難度設計上有層次性，在思維的靈活性、深刻性，方法的綜合性、探究性和創造性等方面，科學把握試題的區分度，發揮數學學科高考的選拔性功能.

2.3.4 2022年高考數學試題命題呈現特征

（一）穩中求變.在能力目標、考查內容、試卷結構、題型題量等方面，高考試卷整體保持與2021年對標，高考試卷保持與適應性測試卷相當，在保持試卷總體難度穩定的前提下，又不失一些新穎的變化.

（二）突出能力考查.突出數學學科核心素養和高階思維能力考查，特別是加強信息識別與加工、邏輯推理與論證、科學探究與實踐、創新與批判性思維等內容的考查.鼓勵學生擺脫思維定勢的束縛，積極主動探索新方法，解決新問題.（三）緊扣熱點時政.關注重大的社會現實問題、歷史事件及科學前沿.包括但不限于建黨100年、十九屆六中全會精神、

國家治理能力現代化、抗疫階段性勝利的成果、小康社會偉大成就、中華優秀傳統文化、生態文明、

雙循環與十四五規劃、量子科技研究（以及科技前沿）、神州十三號飛船成功發射等熱點.

（四）注重勞動實踐和綜合能力.命題將緊貼生活、社會、科學的實踐場景，加強對科學實驗、歷史文化場景、體美勞實踐的考查.

（五）巧設情境.情境設題成為高考命題的基本內容，主要從“生活科學實踐”和“重大社會熱點”中選擇情境，考查學生解決實際問題和從事科學研究的能力，同時會在高考試題中加大開放性和探究性內容的考查.

2.3.5 高考數學試題命題新動向猜想

（一）會繼續引進新題型.會繼續引入多選題、結構不良試題、雙空題以及開放性答案等新題型.多選題和雙空題的引入，為數學基礎和能力在不同層次的學生提供了發揮空間，可以更好地體現區分選拔功能;結構不良試題的引入，增強試題條件的開放性，引導學生更加注重思維的靈活性及策略選擇.另一方面，結構不良試題對數學理解能力、數學探究能力的考查能夠起到積極的作用.

（二）突出理性思維，考查關鍵能力.理性思維在數學素養中起著最本質、最核心的作用.數學學科高考突出理性思維，將數學關鍵能力與“理性思維、數學應用、數學探究、數學文化”的學科素養統一在理性思維的主線上，在數學應用、數學探究等方面突出體現理性思維和關鍵能力的考查.

（三）“核心價值”貫穿高考命題始終.堅持考查社會主義核心價值，強調社會發展的積極面，是高考各科考查中堅持的共同理念.堅持弘揚主旋律，彰顯時代精神，跟現實生活保持高度的一致.倡導“五育”并舉，通過設置適當背景實現上述目標.

3 教學建議和備考策略

3.1 夯實基礎，強化必備能力

高中教學要加強基礎知識、基本技能的訓練.填空題的第13題、第14題和解答題的第一問屬于常規的基礎題.從卷面出現的問題看，對于基本概念、定義的理解不準確，對于基本公式、性質、定理的認識不深刻，導致對于知識體系、知識網絡的構建不系統.在解決問題的過程中，無法做到知識間的融會貫通.做題只會跟著套路走，模式化嚴重，做不到知識的靈活應用與遷移.因此要打破教學過于功利化，摒棄學生盲目刷題，引導教師和學生關注題目背后蘊含的知識、方法、思想.在實際教學中，尤其是復習階段，不能忘了基礎知識的強化，必須加強基礎知識、基本技能的學習、訓練和儲備，強化必備能力，充分挖掘典型問題的內在價值和遷移功能，對解題過程中關鍵步驟的獲得過程進行合情合理的分析和說明，加強解題思路、方法、步驟等邏輯規律的認識，逐步提升學生邏輯思維、 空間想象、運算求解等基本能力[4].

3.2 注重應用，體現學科價值

高考評價體系和《數學課程標準》將數學應用、數學探索提高到了學科素養的高度，這就要求教師在日常教學中，除了關注數學知識的本質，還要關注知識的背景及實際應用，要加強數學建模與數學探究活動的教學，引導學生帶著數學的思維閱讀問題，抽象出數量關系，構建適當的模型解決問題，體現知識的應用價值.這一點，在2021年高考試卷中有著充分的體現，比如：選擇題第8題，填空題第16題，解答題第18題，均是以學生熟悉的生活實踐場景為背景設計問題，考查學生對數學知識的靈活應用.致力于數學建模與數學應用能力的考查，體現了數學學科的應用價值.在實際教學中，教師要注意加強這方面的培養，注重提升學生數學應用、數學探索的能力.函數、數列、三角函數、解析幾何、立體幾何、不等式、向量、概率與統計等章節以傳統文化和數學文化為背景的試題[5]，在高考或者各地模擬考試中都有呈現，老師和同學可以從中尋找規律和啟發.

3.3 探索創新，培養理性思維

數學是培養理性思維的重要學科，有助于學生樹立科學精神與科學態度，促進思維能力和創新意識的提升，對提高公民素質具有重要意義.數學建模能力和創新能力屬于數學學科高考評價體系提出的五大能力，創新能力集中反映高考數學學科特點，反映高考的人才選拔要求.然而，高考題型結構的改變，常規題設問方式的改變，都讓很多學生措手不及.同時我們也發現，在第19題、第21題、第22題的第二問中，不乏超出老師們預料的創新性的解法，反映了學生靈活運用所學知識解決問題的能力.這就要求高中的教學也應隨之發生變化，回歸到數學的本質上來，激發學生的好奇心與求索心理，讓學生體會到數學的有用、有趣，懂得數學為什么學[5]，通過激發學生的內動力提高其數學素養，真正實現這一輪高考改革的目標，進一步為國家培養和選拔高素質人才.

參考文獻

[1] 教育部考試中心.中國高考評價體系[M].北京：人民教育出版社，2019.

[2] 姜鋼，劉桔.牢記立德樹人使命寫好教育考試奮進之筆[N].中國教育報，201833.

[3] 中國高考報告學術委員會編.《中國高考報告2021》[M].北京：新華出版社，2021.

[4] 張天德，安學保.新高考數學思維突破100題上冊，下冊[M].濟南：山東科學技術出版社，2021.1.

[5] 王云劍，張天德，安學保.新高考數學學科學業指導[M].濟南：山東人民出版社，2021.12.

作者簡介

張天德（1962—），男，山東德州人，山東大學數學學院教授，山東省教學名師;主要從事大學數學與高考數學的研究.

張召生（1969—），男，山東曲阜人，曲阜師范大學期刊中心副主任;主要從事運籌學與控制論、中學數學教育、 數學思想方法論研究.

王云劍（1974—），女，山東濟南人，濟南新航實驗外國語學校高級教師，濟南名師;主要從事高中數學與高中教育教學理論研究.

岳峰（1978—），男，山東威海人，濟南第三中學數學高級教師;主要從事高考數學與課程管理及開發的研究.