基于三次B樣條小波變換和Franklin矩亞像素級圖像邊緣檢測算法

李錦鵬，熊顯名，曾啟林，胡怡威，丁子婷

〈圖像處理與仿真〉

基于三次B樣條小波變換和Franklin矩亞像素級圖像邊緣檢測算法

李錦鵬1,2，熊顯名1,2，曾啟林1,2，胡怡威1，丁子婷1

（1. 桂林電子科技大學電子工程與自動化學院，廣西 桂林 541004；2. 廣西高校光電信息處理重點實驗室，廣西 桂林 541004）

為了滿足精密測量和紅外與可見光圖像配準對圖像邊緣定位的高精確度和高抗噪性的要求，提出一種基于三次B樣條小波變換和Franklin矩結合的亞像素級圖像邊緣檢測算法。首先，利用三次B樣條小波窗函數對圖像邊緣多層分解，根據小波模極大值原理對各層檢測得到初始邊緣信息，隨后將其邊緣點與多尺度范圍下3×3鄰域內的點進行比較，將模值和幅角相近的點保留，建立新的邊緣圖像。然后，建立亞像素邊緣模型，根據Franklin矩旋轉不變性原理，分析圖像邊緣旋轉至一定角度之后各級Franklin矩之間的關系，得到計算亞像素邊緣點的模板關鍵參數，將模板在小波變換得到的新邊緣圖像上移動并與其覆蓋下的子圖進行卷積運算，進而得到圖像的亞像素級邊緣點。實驗結果表明，并與當下表現較優的3種算法進行對比，本文提出的基于三次B樣條小波變換和Franklin矩結合的算法精確度更高且抗噪性更強，能夠更好地滿足對于紅外與可見光圖像配準穩定可靠及高精度測量的要求。

邊緣檢測；三次B樣條小波；Franklin矩；亞像素；圖像配準

0 引言

邊緣是一幅圖像的基本特征，同時邊緣檢測也是圖像分析和測量技術[1]的基本問題，尤其在紅外圖像配準以及視覺測量等領域中[2]對圖像邊緣檢測技術的要求極高。邊緣檢測其實就是利用算法對圖像突變信息的檢索。傳統的邊緣檢測算子有Sobel算子、Krisch算子、Roberts算子以及Canny算子，這些微分算子相對比較簡單，對于復雜環境下的圖像邊緣把握不足，精度較差，缺乏細節。隨著人民生活水平的提高和科學技術的不斷發展，普通像素級別也已經無法滿足機器視覺和精密測量上的需求，因此，亞像素技術在這方面顯得非常重要，目前常用的亞像素邊緣檢測方法有：插值法，矩方法，擬合法等，其中矩方法在復雜環境下表現良好，對噪聲不敏感，是一種在目前有效的亞像素圖像邊緣檢測方法。

1993年Ghosal等[3]最早提出利用正交矩對圖像邊緣進行亞像素級檢測的算法，首次通過計算3個不同階次的Zernike正交矩，然后將理想狀態下的灰度模型參數映射到3個Zernike正交矩上，計算得到邊緣所在的直線參數，進而確定亞像素坐標。但是該算法比較局限，因為不同模板選擇，坐標的計算也會產生誤差，而且理想階躍模型與實際存在差異。針對這個問題，李金泉等[4]提出了一種改進的Zernike正交矩檢測算法，采用邊緣梯度方向一階導數模型的同時考慮了模板放大效應，提高了亞像素邊緣檢測的準確度。高世一等[5]在考慮模板放大效應的情況下，提出了新的邊緣定位條件。吳一全等[6]人用了更大的模板，但是對噪聲變得敏感，抗噪性較差。為此，魏本征等[7]提出了形態學梯度算子和Zernike矩相結合，使檢測變得更穩定，抗噪性變強，但是對于微小的細節檢測較弱。吳一全等[8]基于Franklin矩提出了一種新的邊緣檢測算法，但是對于邊緣微小的細節把握稍顯欠缺。Franklin矩所基于的Franklin函數僅有一次分段多項式組成，而且避免了復雜的高次多項式計算，在具有Zernike矩的大部分優點的同時，還具有復雜度低，數據穩定等優點，使得邊緣檢測得到的信息具有獨立性，沒有冗余。因此，本文將三次B樣條小波變換和Franklin矩結合起來，提出一種多尺度取模極大值的亞像素檢測算法，該方法結合小波變換的模極大值原理使得邊緣細節的提取更準確，然后用改進后的Franklin矩算子對得到的圖像進行亞像素邊緣提取。并與基于Zernike矩的算法、基于Franklin矩的算法、基于Roberts算子和Zernike矩結合的算法進行比較。

1 三次B樣條小波模極大值邊緣檢測原理

三次B樣條小波模極大值其實就是利用三次B樣條小波函數與得到的信號進行卷積運算，然后將計算結果取它的模值，最后找到里邊的模極大值。在圖像的處理中，小波變換的模極大值代表著包含圖像信息最豐富的點，利用這個特征我們可以通過計算小波模極大值來提取準確的圖像邊緣信息。同時，文獻[9]提出三次B樣條小波的時域局部特性較接近于Gauss函數，且它的緊支集性質相比Gauss函數更好。而且，因為B樣條函數是對稱的，所以保證了對應相位的線性性質，避免了后期相位失真情況的出現。

式中：和積分均滿足為0的條件，同時可以將它們看成兩個二維小波函數。通常情況，(,)取為二維高斯函數，其表達式以及一階偏導數的表達式為：

式中：為正態分布標準偏差。

而對于(,)?2()任意的圖像，在尺度為時的小波變換在和方向上的兩個分量分別為：

則小波變換在其尺度為的條件下，梯度上的模以及幅角分別為：

式中：(,)是二維信號；2()是函數域。

梯度模值Mf(,)對應的是目標圖像在點(,)處的灰度變化情況，梯度幅角Af(,)對應的是梯度向量和水平方向的夾角。目標圖像上的邊緣特征點即為在梯度方向上模為其局部極大值的點。

2 基于Franklin矩的圖像亞像素邊緣檢測

2.1 Franklin函數及其Franklin矩

Franklin函數是由Philip Franklin提出的定義在2[0,1]上的連續正交函數系[10]，它是由一組線性無關的截斷冪基在正交化之后得到的。首先，考慮以下的線性無關組{(),0≤≤1}：

0()＝1, 0≤≤1 (6)

Franklin矩是由上述Franklin函數所定義的，假設第個Franklin函數記為：()，0≤≤1，≥0，而目標圖像函數記為(,)，0≤，≤1，則它的第階次Franklin矩為：

為了在極坐標中更直觀地看到其Franklin矩所具有的正交性和旋轉不變性，這里將目標圖像函數記為(,)，則在極坐標系(,)下，圖像的階次Franklin矩為：

矩是對目標圖像特征的定量描述，正是因為Franklin矩有著獨特的正交特性，使得目標圖像的每個Franklin矩都是互不干擾的，這就能將圖像進行最大程度的分解，從而采用較少的Franklin矩描述圖像得到更多的特征信息，以便達到降低特征維數，降低計算復雜度的目的。

2.2 基于Franklin矩的亞像素檢測算法

由上述Franklin矩的極坐標定義式(12)以及它的旋轉不變性可知若目標圖像旋轉角，則旋轉之前的Franklin矩F和旋轉角之后的Franklin矩￠之間的關系為：

F＝￠e－im(13)

由上述式(13)能夠發現目標圖像在旋轉一定角度之后只是相位發生了變化而已，它的Franklin矩模值并未產生任何改變。基于Franklin矩的邊緣檢測算法是通過建立Franklin矩和理想亞像素模型的4個邊緣參數的關系，然后再分別求解Franklin矩得到目標圖像的4個邊緣參數，設定合適的閾值將其進行篩選，得到精確的亞像素圖像邊緣點。平面亞像素邊緣檢測模型如圖1所示。其中為理想邊緣，單位圓被其分成兩個區域，為圖像背景灰度，為圓心到邊緣的垂直距離，為邊緣兩側的灰度差即階躍高度，和對應在不同階次Franklin矩的兩條邊緣，1和2分別是圓心到其兩條階躍邊緣的距離，圖1(a)順時針旋轉角得圖1(b)。

Franklin矩的復數域階多項式定義為：

V(,)＝R()eim(14)

式中：和為整數，且為－||非負的偶數。

由Franklin矩原理，定義為圓心到(,)的矢量長度，i為虛數單位，則徑向多項式R為：

由式(15)得到部分徑向多項式R值如表1所示，為圓心到點(,)的距離。

根據式(14)和表1計算出Franklin矩的復數域多項式，如表2所示。

圖1 亞像素邊緣檢測模型

表1 Franklin徑向多項式Rnm

表2 Franklin矩的復數域多項式Vnm

在單位圓內，由Franklin矩定義和圖1(b)中的邊緣階躍模型可得：

解20￠和40￠的方程可得：

解11￠和31￠的方程可得：

根據式(13)可得：

根據圖1可以看出，Im[11￠]是關于軸的奇函數，所以：

微信的商業價值不言而喻。以“江小白”為人物原型的微信表情包被多次下載轉發，其研發的“小白快跑”，“小白2048”，“搖骰子”，“真心話大冒險”等微信小游戲，借助時下最火的小游戲，融入江小白的元素，打造江小白專屬，使酒前飯后人們的娛樂活動都深深打上江小白的烙印，拉近了與潛在消費者的距離，實現了良性互動。

則：

確定亞像素邊緣階躍模型的參數之后，可得Franklin矩亞像素圖像邊緣檢測式[11]為：

式中：(s,s)為亞像素點坐標；(,)為圓心坐標。設定Franklin矩模板為×，則式(23)換算為：

模板選擇過小會導致邊緣提取的信息不全，過大會對噪聲過于敏感，本文采用Franklin矩模板為7×7。

3 邊緣檢測判定和檢測算法步驟

在對目標圖像的具體分析時，如果整幅圖像邊緣提取的話，尺度就會容易過大，圖像就會變得平滑，細節就會缺失[12]，利用小波窗函數原理高頻之處時間細分，低頻之處頻率細分，能夠在抑制噪聲信號的前提下，得到良好的圖像邊緣檢測效果。三次B樣條小波滿足本文算法對于小波基函數的3個基本條件：①高通濾波器②檢測邊緣的小波為奇函數③緊支窗口函數。本文基于三次B樣條小波和Franklin矩的亞像素邊緣檢測算法步驟如下所述：

1）利用三次B樣條小波函數[13]對目標圖像進行多層分解，本文算法選取的層數＝3。

2）根據其小波模極大值原理對每一層進行單尺度邊緣檢測，計算出其得到的模極大值S(,)和對應的幅角A＝(,)，利用Otsu法（最大類間方差法）自適應確定閾值t，將所有模值進行篩選，當S(,)＞t時，E(,)即可得到目標圖像的邊緣信息。

4）計算Franklin矩7×7模板{00,11,20,31,40}，將這個模板在邊緣圖像(,)上移動，并與模板上的子圖卷積運算，得到{00,11,20,31,40}。

5）根據2.2節中介紹的公式計算出平面亞像素邊緣階躍模型的參數和，代入式(24)中計算得到亞像素坐標。

4 實驗結果與分析

為了驗證本文算法的優越性和有效性，做了大量的驗證和對比，獲取了大量的參考數據，由于篇幅有限，將以兩部分加以說明。本文實驗環境為Intel(R) Core( TM) i5-8250U、8G RAM、MATLAB R2016b。

由于在實際應用中圖像都會受到不同程度噪聲的干擾，那么確定合適的閾值就顯得尤為重要，不同的區域閾值會大不相同，有可能在某一區域效果良好的閾值在另一區域的效果會相對較差，本文采用一種自適應閾值方法（Otsu法）進行處理，實驗效果圖如圖2所示。

圖2 自適應閾值化圖像

將自適應閾值化后的圖像與模值進行對比，得到篩選后的圖像邊緣信息，并有效地去除噪聲，并在合適尺度下進行局部對比，提取模值和幅角相近的信息，剔除部分偽邊緣點，最后套入計算好的Franklin矩模板進行卷積運算，得到點坐標。

第一部分實驗的目的是為了驗證本算法對目標圖像的邊緣提取達到亞像素級別，制作一幅128×128的二值圖像，在圖像中插入一個半徑為50的圓，圓心坐標為(64,64)，如圖3(a)所示，為了驗證抗噪性，在制作的二值圖中加入高斯噪聲，如圖3(b)所示。

提取圖3(b)圓上任意10個點的坐標，并用本文算法得到這10個點的亞像素坐標，計算它們的誤差，表3所示。

從表3中可以看出，采用本文算法檢測邊緣點坐標最大誤差為0.1497，能將誤差控制在很小的范圍內并且整體誤差偏小，亞像素邊緣定位精度較高。為了更進一步地驗證本文算法的優越性，將在第二組實驗中與基于Zernike矩的算法、基于Franklin矩的算法、基于Roberts算子和Zernike矩結合的算法進行比較。

圖3 二值圖像

表3 檢測的亞像素坐標

第二組實驗中選用具有豐富紋理的Lena圖像，并且為了驗證魯棒性，本文將對Lena圖像加入高斯噪聲，相應的結果和對比如圖4(c)～(f)所示。通過對比我們可以發現，Zernike矩算法能夠較好地抑制高斯噪聲，但是在抑制噪聲的同時也將目標圖像的邊緣弱化了，導致邊緣信息極大缺失；Franklin矩算法在很好地抑制高斯噪聲的同時能較好地提取邊緣，但也存在部分細節缺失；Roberts算子＋Zernike矩結合算法在Zernike矩算法的基礎上試圖加入Roberts算子以增強邊緣定位，但Roberts算子有著對噪聲信號極其敏感的特性，所以可以看到在邊緣信息得到補充的同時也帶來了噪聲的影響，抗噪性較差；本文基于三次B樣條小波＋Franklin矩結合算法能夠在抑制噪聲的同時，很好保留圖像邊緣信息，并且定位更加準確，通過標記的小方框部分對比，可以發現本算法得到的邊緣信息更加完整，細節方面對比其他3種算法也更豐富。

為了更有效地驗證本文算法的實時性和抗噪性，對圖4中4種不同算法的運行時間和峰值信噪比進行比較，結果分別如表4和表5所示。實驗結果表明，本文算法在具有更復雜的計算流程情況下，運行時間仍與Zernike矩和Franklin矩兩種算法相當，并且大幅短于Roberts算子＋Zernike矩結合算法，實時性較強，在抗噪性方面，本文算法明顯大幅優于其他3種算法，結果表明，在運行時間相當的情況下，本文算法有著更優的效果，更具實用性。

圖4 Lena 圖像及4種算法的邊緣檢測結果

表4 四種算法運行時間

表5 四種算法峰值信噪比

5 結論

本文提出了一種基于三次B樣條小波變換和Franklin矩相結合的亞像素級圖像邊緣檢測算法。利用三次B樣條小波對圖像進行粗處理，在得到預邊緣后再利用Franklin矩的特性計算出亞像素邊緣點的模板關鍵參數，將模板在小波變換得到的新邊緣圖像上移動并與其覆蓋下的子圖進行卷積運算，進而得到圖像的亞像素級邊緣。實驗結果表明，與基于Zernike矩的算法、基于Franklin矩的算法、基于Roberts算子和Zernike矩結合的算法相比，本文提出的算法具有更高的檢測精度和更強的抗噪性，并且通過實際坐標和得到的邊緣亞像素點坐標對比可知，本文的算法誤差較小，圖像邊緣點定位可靠，在紅外與可見光圖像配準和精密測量上具有良好的應用前景。

[1] 金光遠. 圖像測量技術與系統[D]. 長春: 吉林大學, 2008.

JIN G Y. The Design and Realization for the Measuring System Based on Image Processing[D]. Changchun: Jilin University, 2008.

[2] 戴憲策, 劉昌錦. 快速亞像素圖像配準算法研究[J]. 紅外技術, 2015, 37(7): 579-581.

DAI Xiance, LIU Changjin. Research on fast sub-pixel image registration algorithm[J]., 2015, 37(7): 579-581.

[3] Ghosal S, Mehrotra R. Orthogonal moment operators for subpixel edge detection[J]., 1993, 26(2): 295-306.

[4] 李金泉, 王建偉, 陳善本, 等. 一種改進的Zernike正交矩亞像素邊緣檢測算法[J]. 光學技術, 2003, 29(4): 500-503.

LI J Q, WANG J W, CHEN SH B, et al. An improved Zernike orthogonal moment sub-pixel edge detection algorithm[J]., 2003, 29(4): 500-503.

[5] 高世一, 趙明揚, 張雷, 等. 基于Zernike正交矩的圖像亞像素邊緣檢測算法改進[J]. 自動化學報, 2008, 34(9) : 1163-1168．

GAO S Y, ZHAO M Y, ZHANG L, et al. Improvement of image sub-pixel edge detection algorithm based on Zernike orthogonal moments[J]., 2008, 34(9): 1163-1168．

[6] 吳一全, 龍云淋, 周楊. 基于Arimoto熵和Zernike矩的刀具圖像亞像素邊緣檢測[J]. 華南理工大學學報: 自然科學版, 2017, 45(12): 50-56．

WU Y Q, LONG Y L, ZHOU Y. Sub-pixel edge detection of tool image based on Arimoto entropy and Zernike moment[J].: Natural Science Edition, 2017, 45(12): 50-56．

[7] 魏本征, 趙志敏, 華晉. 基于改進形態學梯度和Zernike矩的亞像素邊緣檢測算法[J]. 儀器儀表學報, 2010, 31(4): 838-844．

WEI B Z, ZHAO Z M, HUA J. Sub-pixel edge detection algorithm based on improved morphological gradient and Zernike moment[J]., 2010, 31(4): 838-844.

[8] 吳一全, 鄒宇, 劉忠林. 基于Franklin矩的亞像素級圖像邊緣檢測算法[J]. 儀器儀表學報, 2019, 29(5): 221-229.

WU Y Q, ZOU Y, LIU Z l. Sub-pixel image edge detection algorithm based on Franklin moment[J]., 2019, 29(5): 221-229.

[9] 楊小娜, 黃歡, 徐曉煜, 等. 基于小波模極大值多尺度的圖像邊緣提取[J]. 貴州大學學報: 自然版, 2013, 30(1): 91-93.

YANG X N, HUANG H, XU X Y, et al. Multi scale image edge extraction based on wavelet modulus maxima[J].: Natrual Edition, 2013, 30(1): 91-93.

[10] Franklin P. A set of continuous orthogonal functions[J]., 1928, 100(1): 522-529.

[11] DA F, ZHANG H. Sub-pixel edge detection based on an improved moment[J]., 2010, 28(12): 1645-1658．

[12] 朱文斌, 雷秉山, 雷志勇. 基于小波變換的紅外探測系統信號去噪[J]. 紅外技術, 2018, 40(11): 1047-1051.

ZHU W B, LEI B S, LEI ZY. Signal denoising of infrared detection system based on wavelet transform[J]., 2018, 40(11): 1047-1051.

[13] 劉小豫, 韓麗娜, 趙薔. 基于B樣條小波的圖像邊緣檢測算法[J]. 電子設計工程, 2013, 21(14): 178-180.

LIU X Y, HAN L, ZHAO Q. Image edge detection algorithm based on B -spline wavelet[J]., 2013, 21(14): 178-180.

Sub-pixel Level Image Edge Detection Algorithm Based on Cubic B-spline Wavelet Transform and Franklin Moment

LI Jinpeng1,2，XIONG Xianming1,2，ZENG Qilin1,2，HU Yiwei1，DING Ziting1

(1.,,541004,;2.,541004,)

To meet the requirements of high accuracy and strong anti-noise performance of image edge positioning for infrared and visible image registration and precision measurement, a sub-pixel image edge detection algorithm based on the cubic B-spline wavelet transform and Franklin moment is proposed. First, the image edge was decomposed using a cubic B-spline wavelet window function. Under the premise of setting the threshold, according to the principle of wavelet modulus maxima, the initial edge information is detected for each layer, and then the edge points are compared with the points in the 3 × 3 neighborhood in the multi-scale range. Points with similar moduli and amplitudes were reserved to establish a new edge image. Subsequently, a subpixel edge model is established. According to the principle of Franklin moment rotation invariance, the relationship between Franklin moments at all levels after the image edge is rotated to a certain angle is analyzed and the key parameters of the template for calculating the sub-pixel edge points are obtained. The template is moved on the new edge image obtained by wavelet transform and convoluted with the sub-image covered by it, and then the sub-image of the image is obtained from the edge points of the prime level. The experimental results show that, compared with the three algorithms with the current best performance, the algorithm based on the combination of the cubic B-spline wavelet transform and Franklin moments proposed in this paper has higher accuracy and stronger noise resistance. It can better meet the requirements for stable, reliable, and high-precision measurements of infrared and visible image registration.

edge detection, cubic B-spline wavelet, Franklin moment, sub-pixel, image registration

TP391.4

A

1001-8891(2022)03-0255-07

2020-07-05；

2020-08-19.

李錦鵬（1995-），男，碩士研究生，主要研究方向為機器視覺。E-mail：503482546@qq.com。

熊顯名（1964-），男，研究員，主要研究方向為光電測量，機器視覺。E-mail：XXM5864@163.com。

國家科技重大專項課題（2017ZX02101007-003）。