斯通利波在滲透地層和裂縫帶的反射及透射:解析和數(shù)值方法模擬對(duì)比

夏飛月， 蘇遠(yuǎn)大,3， 唐曉明,3*

1 中國(guó)石油大學(xué)(華東)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院， 山東青島 266580 2 中國(guó)石油大學(xué)(華東)深層油氣重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 山東青島 266580 3 青島海洋科學(xué)與技術(shù)國(guó)家實(shí)驗(yàn)室海洋礦產(chǎn)資源評(píng)價(jià)與探測(cè)技術(shù)功能實(shí)驗(yàn)室， 山東青島 266071

0 引言

探測(cè)地下滲透結(jié)構(gòu)的滲透性及分布位置在油氣勘探開(kāi)發(fā)中具有重要意義，水力壓裂縫帶滲透性的評(píng)估一直是這方面的一項(xiàng)重要研究課題.人們通常利用VSP(Vertical Seismic Profile，垂直地震剖面)(Minato et al., 2017)和聲波測(cè)井(Tang and Cheng, 1993)中的斯通利波進(jìn)行裂縫帶和滲透地層的識(shí)別和評(píng)價(jià).斯通利波是沿著井壁傳播的導(dǎo)波，在井徑不規(guī)則處(Tezuka et al., 1997)、地層彈性性質(zhì)或滲透性能改變處均會(huì)發(fā)生反射及透射.Tang和Cheng(1993)將簡(jiǎn)化的Biot-Rosenbaum(BR)理論(Tang et al., 1991a)與井筒波導(dǎo)的一維傳播理論結(jié)合得到的等效波數(shù)法應(yīng)用于滲透地層的斯通利波反射及透射問(wèn)題.一維等效波數(shù)法的中心思想和巧妙之處在于：無(wú)論裂縫帶的情況有多么復(fù)雜，只要確定聲波在裂縫地層傳播的等效波數(shù)，就可以有效地模擬裂縫地層對(duì)波傳播的影響(即波的反射和透射).這一思想在Kostek等(1998a,b)對(duì)單個(gè)和多個(gè)平板裂縫模型的模擬結(jié)果中得到了很好的驗(yàn)證.簡(jiǎn)化的BR理論能夠快速高效地模擬低頻井孔斯通利波對(duì)滲透地層的響應(yīng)，在地層(Tang and Cheng, 1996; 莊春喜等, 2019)和裂縫滲透率反演(Tang et al., 1991b)有較好應(yīng)用.然而，基于該理論的一維等效波數(shù)法主要考慮了地層孔隙流體流動(dòng)而對(duì)骨架的影響考慮不足(唐曉明和鄭傳漢, 2004)，再加上斯通利波一維路徑傳播的近似處理，該方法的有效性需要進(jìn)行評(píng)估.裂縫地層對(duì)測(cè)井聲波影響復(fù)雜，研究和分析裂縫帶的測(cè)井聲波響應(yīng)對(duì)于測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)解釋有重要意義(閻守國(guó)等, 2015).對(duì)于較為復(fù)雜的徑向和軸向都有變化的滲透結(jié)構(gòu)，如低滲透地層中徑向有限長(zhǎng)延伸的裂縫帶(Hornby et al., 1992)，一維等效波數(shù)法難以進(jìn)行模擬計(jì)算.

由于所涉問(wèn)題和方法的重要性，有學(xué)者利用實(shí)驗(yàn)(Zhu et al., 1992)和現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)(Tang et al., 2011)對(duì)一維等效波數(shù)法進(jìn)行過(guò)驗(yàn)證，但基于基礎(chǔ)理論和嚴(yán)格數(shù)值模擬的對(duì)比和驗(yàn)證工作還不多見(jiàn).Bakulin等(2005)和Alexandrov等(2007)利用一維等效波數(shù)法與基于孔彈理論的有限差分法來(lái)研究斯通利波在裸眼井和套管井滲透地層模型的反射及透射，兩種方法計(jì)算的斯通利波反射系數(shù)在0～1 kHz吻合較好.本文的目的是將前人的工作進(jìn)一步深入，利用孔彈有限差分方法(Guan and Hu, 2011; Ou and Wang, 2019)和一維等效波數(shù)法(Tang and Cheng, 1993)研究不同地層厚度、滲透率和孔隙度的滲透地層對(duì)斯通利波反射及透射的影響.兩種方法計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證了有限差分法模擬結(jié)果的正確性和一維等效波數(shù)法在0～2 kHz頻段(Tang et al., 2011)內(nèi)的可靠性.不同滲透率、不同結(jié)構(gòu)裂縫帶的有限差分?jǐn)?shù)值模擬結(jié)果有助于分析和解釋斯通利波在高滲透裂縫帶的反射及透射現(xiàn)象，為聲波探測(cè)方法的實(shí)際應(yīng)用和分析方法適用性提供了理論依據(jù).

1 滲透地層測(cè)井斯通利波傳播的理論和方法

1.1 Biot理論的有限差分近似方法

Biot(1956a，b，1962)對(duì)飽含流體孔隙介質(zhì)建立了彈性波動(dòng)理論.將井外地層作為飽含流體的孔隙介質(zhì)，可以用Biot理論來(lái)求解滲透地層的聲波測(cè)井問(wèn)題.Guan和Hu(2011)給出了頻域均勻各向同性孔隙介質(zhì)彈性波動(dòng)方程組，

(1)

(2)

(3)

(4)

其中w是流體和固體的相對(duì)位移，u是固體的位移，τ是應(yīng)力張量，I是克羅內(nèi)克張量，p是孔隙流體壓力.ω是角頻率，ρf和η分別是孔隙流體密度和流體黏度，ρ是地層有效密度，滿(mǎn)足ρ=ρs(1-φ)+ρfφ，φ是地層孔隙度.C，M和H是孔隙介質(zhì)參數(shù)的組合(Biot, 1962)，

(5)

C=(1-Kb/Ks)M,

(6)

H=(1-Kb/Ks)2M+Kb+4G/3,

(7)

其中Ks是固體顆粒的體積模量，Kf是孔隙流體體積模量，Kb和G分別是巖石干燥體積模量和剪切模量.

Johnson等(1987)通過(guò)理論分析給出了描述Biot介質(zhì)孔隙流體流動(dòng)特征的動(dòng)態(tài)滲透率κ(ω)如下：

(8)

其中ωc=φη/(α∞ρfκ0)為Biot特征頻率，κ0為靜態(tài)達(dá)西滲透率.在特征頻率以下的頻段(ω?ωc)，κ(ω)→κ0，孔隙流體的運(yùn)動(dòng)是靜態(tài)壓力驅(qū)動(dòng)下的擴(kuò)散型黏滯流動(dòng)，即達(dá)西滲流；在特征頻率以上的頻段(ω?ωc)，κ(ω)→iηφ/(α∞ρfω)，流體運(yùn)動(dòng)是一種傳播型波動(dòng).其中α∞是孔隙彎曲率，m=φΛ2/(α∞κ0)是一個(gè)無(wú)綱量組合,其中的Λ是孔隙體面比.對(duì)于裂縫滲透地層，α∞=1，m=12；對(duì)于孔隙滲透地層，α∞=3，m=8(Tang et al., 1991a; Tang and Cheng, 1993).

由于動(dòng)態(tài)滲透率中含有根號(hào)項(xiàng)，不便于用有限差分法將方程(1)求解.為解決這個(gè)問(wèn)題，Masson等(2006)將κ(ω)用以下形式替換

(9)

將(8)式中的根號(hào)取泰勒展開(kāi)的一階項(xiàng)便可得到(9)式，該近似滿(mǎn)足條件|4ω/(mωc)|<1.一般情況下，式(8)和(9)在由低到高的整個(gè)頻段內(nèi)都十分符合(Masson et al., 2006; Guan et al., 2009)，因此可以將(9)式看作是為實(shí)現(xiàn)Biot理論有限差分方法所做的一個(gè)有效近似.由此可以將頻域中的Biot方程組變換到時(shí)域的速度-應(yīng)力形式，整理得到

(10)

(11)

(12)

(13)

以上方程組的系數(shù)是線性的(非時(shí)間或頻率的函數(shù))，很適合用有限差分方法求解.對(duì)于聲波測(cè)井問(wèn)題，可以將公式(10)—(13)在柱坐標(biāo)系表示(Randall et al., 1991; He et al., 2012)，將介質(zhì)的模型參數(shù)在空間域內(nèi)網(wǎng)格化，并利用交錯(cuò)網(wǎng)格和中心差分格式對(duì)以上方程組進(jìn)行離散化求解，時(shí)間和空間的差分均采用二階近似.前人對(duì)以上孔彈方程組的有限差分求解過(guò)程進(jìn)行了詳細(xì)闡述(Guan and Hu, 2011; Ou and Wang, 2019)，因此本文將不再贅述.模型的吸收邊界采用不分裂的完美匹配層(Nonsplitting Perfectly Matched Layer, NPML),具體公式推導(dǎo)可參見(jiàn)Wang和Tang(2003)和Song等(2005)；對(duì)于模型中流體、彈性固體和孔隙固體共存的介質(zhì)，通過(guò)設(shè)置參數(shù)仍然可以用Biot方程組((10)—(13))來(lái)表示(Guan and Hu, 2011; 閻守國(guó)等, 2015; Ou and Wang, 2019).在流體中，ρ=ρf，φ=1，G=0，C=M=H=Kf，C2=ρf，C1=0，τ=-pI，vw=0,方程(11)和(12)簡(jiǎn)化為流體中表示的聲壓波動(dòng)方程組.在彈性固體中，ρf=ρ=ρs，φ=0，G=Gs，C=Ks，H=Ks+4Gs/3，M=∞，C1=∞，C2=∞，p=0，vw=0，方程(11)和(12)退化為彈性固體中的應(yīng)力速度表示的波動(dòng)方程組，其中ρs，Ks和Gs分別表示彈性固體的密度、體積模量和剪切模量.因此，波動(dòng)方程(10)—(13)可統(tǒng)一描述三種介質(zhì)的聲場(chǎng)，不同介質(zhì)銜接處可采用物質(zhì)參數(shù)平均技術(shù)(Guan and Hu, 2011).

1.2 一維等效波數(shù)法

井中斯通利波具有良好的導(dǎo)波性質(zhì)，在低頻范圍內(nèi)井孔聲場(chǎng)是相對(duì)穩(wěn)定的.因此，可以利用導(dǎo)波一維傳播理論(White, 1983; Hornby et al., 1989; Tang and Cheng, 1993; Tezuka et al., 1997; Bakku et al., 2013)來(lái)描述斯通利波的傳播特征，這包括了兩個(gè)重要的假定，一是斯通利波的能量主要集中在井內(nèi)；二是斯通利波在滲透地層中的傳播主要受井孔與地層的流體交換影響，受地層彈性性質(zhì)影響較小.將一維傳播理論用于非均勻波導(dǎo)的反射和透射時(shí)，下述的等效波數(shù)理論使問(wèn)題的求解變得十分簡(jiǎn)便.對(duì)于單個(gè)滲透夾層，Tang和Cheng(1993)推導(dǎo)得到斯通利波的反射系數(shù)R及透射系數(shù)T如下：

(14)

(15)

其中L表示夾層厚度，k1表示夾層上下無(wú)限大地層的波數(shù)，k2表示中間夾層的波數(shù)，a1和a2是井孔截面積.對(duì)于多個(gè)夾層的情況，可以利用一維傳播矩陣計(jì)算(Tezuka et al., 1997),每一夾層中的波傳播由該層的波數(shù)控制.對(duì)于彈性地層，采用無(wú)限大地層斯通利波波數(shù)(White, 1983)；對(duì)于滲透地層，采用簡(jiǎn)化BR理論推導(dǎo)的斯通利波波數(shù)(Tang et al., 1991a)，

(16)

R是井孔半徑，a是儀器半徑(本文未考慮儀器的情況，所以取a=0)，ke是無(wú)限大彈性地層的斯通利波波數(shù)(White，1983)，K1和K0分別是一階和零階變型貝塞爾函數(shù)，D是孔隙流體的擴(kuò)散率(唐曉明和鄭傳漢, 2004).

將一維等效波數(shù)的解析方法和有限差分法數(shù)值方法用來(lái)研究斯通利波在滲透地層的反射及透射有以下意義：等效波數(shù)法有明確的物理意義和簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)描述，可以快捷地得到模擬結(jié)果，但該方法主要模擬地層滲透性的影響而對(duì)地層彈性的影響考慮不足(唐曉明和鄭傳漢, 2004)，再加上所做的簡(jiǎn)化和近似，其結(jié)果的精度和有效性需要評(píng)估.孔彈有限差分方法對(duì)地層的彈性和滲透性的影響均包括在內(nèi)，可對(duì)分層界面處波在井內(nèi)外的能量分布和傳遞進(jìn)行模擬，但相對(duì)于前一方法而言計(jì)算費(fèi)工耗時(shí).通過(guò)兩種方法計(jì)算結(jié)果的比較，可以加深對(duì)斯通利波在滲透層的反射和透射問(wèn)題的物理機(jī)制的理解并相互驗(yàn)證兩種方法的結(jié)果，計(jì)算結(jié)果對(duì)照的差異可以區(qū)分地層彈性性質(zhì)和滲透率的影響.對(duì)于等效波數(shù)法，在驗(yàn)證其有效性和適用范圍后，可以利用該方法的快速計(jì)算優(yōu)點(diǎn)來(lái)反演模型參數(shù)(Tang et al., 1991b)；而孔彈有限差分方法更有用的功能是做復(fù)雜的模型計(jì)算，如對(duì)于前一方法不能模擬的軸向和徑向分層變化的復(fù)雜情況.

1.3 有限差分法對(duì)均勻滲透地層的驗(yàn)證

數(shù)值算法的準(zhǔn)確性是衡量時(shí)域有限差分方法(Finite-Difference Time-Domain method,FDTD)的重要標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于裸眼井均勻滲透地層模型，可用實(shí)軸積分法(Real-Axis Integral,RAI)(Schmitt,1988; Chen et al., 2014)計(jì)算結(jié)果對(duì)數(shù)值方法進(jìn)行驗(yàn)證.表1給出不同地層的流體和彈性參數(shù)，滲透地層的干燥體積模量和剪切模量可以用縱橫波速度計(jì)算(Norris, 1989; Tang et al., 1991a).為了驗(yàn)證有限差分在中高滲透率范圍的可行性，計(jì)算的裸眼井地層模型分別為孔隙滲透地層和裂縫滲透地層.對(duì)于孔隙滲透地層，孔隙度及滲透率分別為φ=0.25和κ0≈10-12m2，一般砂巖地層孔隙曲率α∞=3，無(wú)量綱常數(shù)m=8，由此可得κ(ω)中的Biot特征頻率ωc=50 kHz.對(duì)于裂縫滲透地層，裂縫孔隙度和滲透率與地層所含裂縫開(kāi)度總和相關(guān)(Tang and Cheng, 1993)，定義式如下所示：

表1 彈性和滲透地層參數(shù)表

(17)

該式表示厚度為L(zhǎng)的地層含有n條開(kāi)度為L(zhǎng)0的裂縫，一般情況下裂縫開(kāi)度范圍為0.001 mm到1 mm(Hornby et al., 1992).裂縫滲透地層孔隙曲率α∞=1，表示流體在直的裂縫通道內(nèi)流動(dòng)；由條件Λ=L0得到無(wú)量綱常數(shù)m=12.Tang等(1991a)理論證明通過(guò)以上參數(shù)設(shè)置，裂縫導(dǎo)通率(Tang and Cheng, 1989)可以用動(dòng)態(tài)達(dá)西滲透率(式(8))來(lái)表示，因此該參數(shù)下孔隙滲透介質(zhì)可以表征多條裂縫的斯通利波響應(yīng)(Tang and Cheng, 1993; Kostek et al., 1998b; Minato et al., 2017).對(duì)于人工壓裂區(qū)的高滲透裂縫帶，取平均裂縫寬度L0=0.049 mm，裂縫孔隙度φ=0.25，計(jì)算得到平均滲透率κ0≈5×10-11m2，此時(shí)Biot特征頻率ωc=5 kHz.

(18)

f0是聲源主頻，Tc代表聲源脈沖寬度.為激發(fā)井孔中的低頻斯通利波，取聲源主頻f0=1 kHz，聲源脈寬Tc=2 ms.

圖1a和1b分別是孔隙和裂縫滲透地層陣列聲壓波形圖，紅色虛線為有限差分(FDTD)解，黑色實(shí)線為實(shí)軸積分(RAI)解，兩種方法計(jì)算的陣列波形以第一道波幅最大值做歸一化.聲源到第一個(gè)接收器的距離為0.5 m，接收器間距為0.5 m(圖1a)和0.2 m(圖1b)，裂縫滲透地層具有較高的滲透率，波幅衰減很大，因此縮短接收間距以顯示波形特征.對(duì)于孔隙和裂縫滲透地層模型，有限差分?jǐn)?shù)值解和解析解計(jì)算的波形相位和幅度符合十分好.盡管為實(shí)現(xiàn)有限差分解做了式(8)的近似，中、高滲透率地層的斯通利波傳播模擬仍具有較高的計(jì)算精度.因此，有限差分方法提供了較為精確的Biot理論數(shù)值解，可以作為驗(yàn)證一維等效波數(shù)法的理論參照.

圖1 兩種方法(紅色虛線：有限差分；黑色實(shí)線：實(shí)軸積分)計(jì)算的滲透地層中沿井壁傳播的斯通利波陣列聲壓波形圖

2 對(duì)復(fù)雜滲透地層模型的應(yīng)用

由于在實(shí)際測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)處理中主要提取0～2 kHz的斯通利波數(shù)據(jù)進(jìn)行滲透結(jié)構(gòu)的識(shí)別和評(píng)價(jià)(Tang et al., 2011)，本文主要研究0～2 kHz測(cè)井斯通利波在復(fù)雜滲透地層的反射及透射.首先利用有限差分方法和一維等效波數(shù)法模擬斯通利波在單個(gè)和多個(gè)滲透夾層的反射及透射，考察等效波數(shù)法在各條件下的適用性.對(duì)于等效波數(shù)法難以模擬的復(fù)雜滲透模型，如井孔周?chē)鷱较蚝洼S向分布的裂縫帶，可采用有限差分方法進(jìn)行模擬.一維等效波數(shù)法通過(guò)公式(14)和(15)直接給出頻域中單個(gè)滲透夾層的斯通利波反射和透射系數(shù)；有限差分得到的是時(shí)域波形，需要用反射、透射和直達(dá)(即入射)斯通利波傅里葉變換后的振幅譜來(lái)計(jì)算這些系數(shù)，如(19)式：

(19)

式中的RWV、TWV和DWV分別為反射、透射和直達(dá)斯通利波的振幅譜.

2.1 斯通利波在孔隙滲透地層的反射及透射

首先考慮Tang和Cheng(1993)文章中的單個(gè)滲透夾層模型：彈性地層中含有1 m厚孔隙滲透地層(表1)，井孔半徑為0.13 m.改變孔隙滲透地層的孔隙度和滲透率，由低孔低滲(φ=0.08，κ≈10-15m2)到高孔高滲(φ=0.35，κ≈2×10-12m2)變化.圖2為兩種方法計(jì)算的斯通利波反射及透射系數(shù)，有限差分法(實(shí)線)和等效波數(shù)法(虛線)計(jì)算結(jié)果在0～2 kHz都十分吻合，但在大于1 kHz的較高頻段出現(xiàn)一些差異.這些差異隨著孔隙度和滲透率升高逐漸變小，其變化趨勢(shì)可以在斯通利波透射系數(shù)圖(圖2b)明顯看到.當(dāng)?shù)貙涌紫抖群蜐B透率增加，斯通利波反射系數(shù)在整個(gè)頻段內(nèi)增加，低頻(<0.8 kHz)增加較為明顯；透射系數(shù)在整個(gè)頻段內(nèi)降低，高頻(2 kHz)降低較為明顯.圖2所示的低頻反射增強(qiáng)和高頻透射減少現(xiàn)象反映的是斯通利波在滲透地層的波速降低(主要發(fā)生在低頻)和波幅衰減(隨頻率增加)的物理本質(zhì)，在兩種方法的模擬結(jié)果中都得到很好的體現(xiàn).反射系數(shù)隨頻率變化的峰、谷現(xiàn)象是夾層上、下界面反射波相互干涉造成的，稍后有進(jìn)一步討論.

考慮圖3所示的多個(gè)滲透夾層的情況，在無(wú)限大彈性地層中，厚度為2.4 m的低孔滲地層(φ1=0.08，κ1≈10-15m2)含有一定厚度的高孔滲夾層(φ2=0.35，κ2≈2×10-12m2)，井孔半徑為0.13 m.圖4為高孔滲夾層在不同厚度(0.4 m, 0.8 m, 1.0 m)下兩種方法計(jì)算得到的斯通利波反射及透射系數(shù)，有限差分法(實(shí)線)和等效波數(shù)法(虛線)的結(jié)果吻合良好.值得注意的是等效波數(shù)法僅考慮井壁上(忽略滲透夾層之間)流體的交換(Tang and Cheng, 1993)，但計(jì)算結(jié)果仍與考慮了夾層間流體交換的有限差分結(jié)果十分一致.隨著高孔滲夾層厚度增加，斯通利波透射系數(shù)在整個(gè)頻段內(nèi)單調(diào)降低，反射系數(shù)的峰值向低頻移動(dòng)，這是由于高孔滲夾層厚度變化引起的上、下反射波相互干涉造成的.

接下來(lái)討論圖3模型中高孔滲夾層的滲透性變化對(duì)斯通利波反射及透射的影響，保持高孔滲夾層厚度為1 m不變，改變地層的孔滲參數(shù)(φ=0.15和κ≈2×10-13m2,φ=0.25和κ≈10-12m2，φ=0.35和κ≈2×10-12m2)，其他參數(shù)與圖4所用參數(shù)一致.圖5是高滲透夾層在3種不同孔滲參數(shù)下兩種方法計(jì)算的斯通利波反射(a)及透射(b)系數(shù)，有限差分法(實(shí)線)和等效波數(shù)法(虛線)的結(jié)果吻合較好，但2 kHz附近存在較大差異.隨著中間高孔滲夾層的滲透性增強(qiáng)，該差異有所減小，此規(guī)律與圖2相同.并且與圖2單個(gè)滲透性?shī)A層對(duì)比，圖5中高孔滲夾層在相同參數(shù)(φ=0.35和κ≈2×10-12m2)下的斯通利波反射及透射系數(shù)曲線形態(tài)十分相似，說(shuō)明在低孔滲背景下，斯通利波的反射及透射由高孔滲地層控制.

圖2 4種孔滲參數(shù)下兩種方法計(jì)算的單個(gè)孔隙滲透夾層(Tang and Cheng, 1993)的斯通利波反射(a)及透射(b)系數(shù)圖實(shí)線是有限差分計(jì)算結(jié)果；虛線是一維等效波數(shù)法計(jì)算結(jié)果.

圖3 多個(gè)滲透夾層模型.在無(wú)限大彈性地層中，2.4 m厚的低孔滲地層(φ1=0.08，κ1≈10-15m2)含有一定厚度的高孔滲(φ2=0.35，κ2≈2×10-12m2)夾層

圖4 圖3模型中高孔滲夾層在3種厚度(0.4 m, 0.8 m, 1.0 m)下的斯通利波反射(a)及透射(b)系數(shù)圖

圖5 圖3模型中高孔滲夾層在3種不同孔滲參數(shù)下的斯通利波反射(a)及透射(b)系數(shù)圖

2.2 斯通利波在高滲透裂縫帶的反射及透射

斯通利波分析在裂縫及裂縫帶的識(shí)別和評(píng)價(jià)有著重要應(yīng)用(Tang and Cheng, 1993; Tang et al., 2011).天然和人造裂縫往往會(huì)在井孔附近形成軸向和徑向延伸的裂縫帶(Hornby et al., 1992; Medlin and Schmitt, 1994),裂縫帶的存在大大增加了井壁附近的滲透性，使得斯通利波在裂縫帶產(chǎn)生明顯的衰減和較強(qiáng)的反射.對(duì)于軸向和徑向都有變化的裂縫帶，我們用有限差分?jǐn)?shù)值方法來(lái)研究斯通利波的傳播特征.地層模型如圖6所示，位于無(wú)限大彈性地層中厚度為2.4 m的低孔滲地層含有徑向和軸向有限延伸的裂縫帶.彈性地層和低孔滲地層骨架及流體參數(shù)與圖3一致，裂縫帶骨架參數(shù)為表1滲透地層參數(shù)，裂縫孔隙度φ=0.25，孔隙曲率α∞=1，m=12.

圖6 高滲透裂縫帶模型.位于無(wú)限大彈性地層中厚度為2.4 m的低孔滲地層(φ1=0.08，κ1≈10-15m2)含有軸向延伸長(zhǎng)度為L(zhǎng)，徑向延伸長(zhǎng)度為w的高孔滲裂縫帶

圖7是裂縫帶在不同滲透率下有限差分計(jì)算的斯通利波反射(a)及透射(b)系數(shù).裂縫帶徑向延伸長(zhǎng)度w=0.2 m，軸向延伸長(zhǎng)度L=1 m，滲透率分別取8×10-12m2、2×10-11m2和5×10-11m2，對(duì)應(yīng)的Biot特征頻率分別為31.25 kHz、12.5 kHz和5 kHz.當(dāng)裂縫帶滲透率由8×10-12m2變化到2×10-11m2時(shí)，斯通利波反射(透射)系數(shù)在高頻范圍(大于0.6 kHz)增加(降低)顯著.當(dāng)滲透率由2×10-11m2變化到5×10-11m2時(shí)，斯通利波反射系數(shù)在整個(gè)頻段處于高值且0～1 kHz和1～2 kHz的差異變小，波峰與波谷較為清晰；透射系數(shù)曲線變化較為復(fù)雜，在低頻段降低后隨頻率增加稍有升高.由于高滲透率條件下裂縫帶流體滲流接近Biot特征頻率，由黏滯流動(dòng)向傳播波動(dòng)過(guò)渡(Johnson et al., 1987)，因此波的透射系數(shù)隨頻率的變化并不是單調(diào)降低.

圖7 圖6模型中裂縫帶在不同滲透率(8×10-12m2，2×10-11m2，5×10-11m2)下的斯通利波的反射(a)及透射(b)系數(shù)圖

考察裂縫帶徑向延伸長(zhǎng)度的影響.保持圖6模型參數(shù)不變，裂縫帶滲透率κ≈2×10-11m2和軸向延伸長(zhǎng)度L=1 m，計(jì)算裂縫帶徑向延伸長(zhǎng)度w在不同取值(0.05 m, 0.1 m, 0.3 m, 0.5 m, 無(wú)限長(zhǎng))下的斯通利波響應(yīng).圖8為裂縫帶的斯通利波反射及透射系數(shù)計(jì)算結(jié)果.當(dāng)0.05 m≤w≤0.3 m時(shí)，斯通利波反射系數(shù)先在整個(gè)頻段內(nèi)明顯升高，0.1 m≤w≤0.3 m時(shí)僅在低頻(<1 kHz)升高較為明顯，透射系數(shù)在整個(gè)頻段內(nèi)大幅降低.當(dāng)w>0.3 m時(shí)，斯通利波反射系數(shù)在低頻較小幅度上升，透射系數(shù)在低頻降低高頻稍有升高，最后反射和透射系數(shù)趨近于無(wú)限長(zhǎng)延伸裂縫帶的曲線.模擬結(jié)果表明斯通利波激發(fā)的孔隙流體滲流的穿透深度有限，是一種與頻率有關(guān)的趨膚效應(yīng)(Zhao et al., 1993)，裂縫帶徑向長(zhǎng)度在0.1 m內(nèi)增加時(shí)，斯通利波反射系數(shù)在0～2 kHz頻段內(nèi)均升高，反射系數(shù)僅低頻部分(<1 kHz)對(duì)徑向長(zhǎng)度大于0.1 m的裂縫帶有響應(yīng)；斯通利波透射系數(shù)則在全頻段(0～2 kHz)對(duì)0.3 m內(nèi)徑向長(zhǎng)度變化的裂縫帶響應(yīng)靈敏.

最后，考察圖6模型中裂縫帶軸向延伸長(zhǎng)度變化對(duì)斯通利波的影響.固定裂縫帶徑向長(zhǎng)度w=0.2 m，其他參數(shù)與圖8一致，計(jì)算軸向長(zhǎng)度L不同取值(0.4 m, 0.8 m, 1.0 m, 1.5 m)下斯通利波響應(yīng)，結(jié)果如圖9所示.裂縫帶軸向變化引起的斯通利波反射及透射系數(shù)變化規(guī)律與滲透地層類(lèi)似(圖4)；斯通利波反射系數(shù)峰/谷值及其變化與裂縫帶L值變化引起的上、下層界面反射波干涉有關(guān)；透射系數(shù)隨L增加在整個(gè)頻段單調(diào)降低.這是因?yàn)闊o(wú)論裂縫帶的徑向長(zhǎng)度如何，其產(chǎn)生的波幅衰減隨波在衰減帶的傳播距離增加而增加.

圖8 圖6模型中裂縫帶在不同徑向延伸長(zhǎng)度(0.05 m，0.1 m，0.3 m，0.5 m，無(wú)限長(zhǎng))下的斯通利波的反射(a)及透射(b)系數(shù)圖

圖9 圖6模型中裂縫帶在不同軸向延伸長(zhǎng)度(0.4 m，0.8 m，1.0 m，1.5 m)下的斯通利波的反射(a)及透射(b)系數(shù)圖

3 結(jié)論

本文利用Biot理論研究了測(cè)井斯通利波通過(guò)滲透性地層時(shí)的傳播特征.通過(guò)有限差分和一維等效波數(shù)法對(duì)滲透地層的數(shù)值模擬結(jié)果對(duì)比，分析和驗(yàn)證了一維等效波數(shù)法在滲透地層模擬的有效性.對(duì)于等效波數(shù)法難以模擬的復(fù)雜裂縫帶模型，有限差分方法給出了不同滲透率、軸向和徑向延伸長(zhǎng)度下裂縫帶的斯通利波響應(yīng).主要結(jié)論如下：

(1) Biot理論的有限差分?jǐn)?shù)值方法對(duì)滲透地層的測(cè)井斯通利波模擬具有較高精度；通過(guò)與一維等效波數(shù)法的計(jì)算結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了后者在0～2 kHz范圍內(nèi)模擬結(jié)果的可靠性，為等效波數(shù)法的實(shí)際應(yīng)用提供理論依據(jù).

(2) 斯通利波的反射及透射由高滲透地層和裂縫帶控制.波在滲透地層的波速降低(主要發(fā)生在低頻)和波幅衰減(隨頻率增加)使得斯通利波反射系數(shù)在低頻段升高，透射系數(shù)隨頻率單調(diào)降低.斯通利波反射系數(shù)峰/谷值隨地層上、下層界面距離增加向低頻移動(dòng)，透射系數(shù)則在整個(gè)頻段內(nèi)降低.

(3) 斯通利波在滲透地層激發(fā)的流體滲流是一種穿透深度有限的趨膚效應(yīng)，要達(dá)到0.1 m以上的探測(cè)深度，需要使用較低的激發(fā)頻率(0～2 kHz)，此頻段內(nèi)的斯通利波反射和透射系數(shù)對(duì)井壁附近裂縫帶的滲透性能均有響應(yīng).隨著滲透率升高，Biot特征頻率降低，流體滲流具有波動(dòng)特征，斯通利波反射系數(shù)，特別是透射系數(shù)呈較復(fù)雜變化趨勢(shì).

本文的方法和結(jié)果為利用測(cè)井斯通利波數(shù)據(jù)分析和識(shí)別裂縫型滲透地層以及反演滲透性能提供了理論基礎(chǔ)，有助于水力壓裂的高滲透地層和裂縫帶的識(shí)別和評(píng)價(jià).