創設學生深度學習路徑 聚焦數學素養發展
——以《間隔排列》一課為例

畢 鐘

（江蘇省泗陽縣實驗小學,江蘇 泗陽 223700）

深度學習是從數學知識的本質出發，把握數學的核心內容，充分理解、分析教材，依學生已有的知識現狀，合理運用、重組教材，促使學生在學習過程中數學的關鍵能力得到了發展，高階思維得到提升。在數學課堂教學中，教學過程中、課后反思中教師們經常會感受到學生主體地位沒有得到凸顯，學習過程經常缺乏主動探究意識，部分學生的高階思維未見發展，因此，進一步聚焦學生數學素養發展，創設合乎學生年齡特點、思維特點的教學模式，學生在課堂中經歷猜想、感悟、體驗、驗證、建模等學習路徑，就顯得尤為重要。

下面以蘇教版數學三年級上冊《間隔排列》一課為例，淺談創設學生深度學習路徑，聚焦數學素養發展。

一、在問題情境感知

（一）創設恰當的問題情境，引發探究欲望

師：孩子們，認識這些圖片嗎？快餐店的老板準備做宣傳單，把漢堡和可樂排成一行拍照，我們也想想看，把漢堡和可樂排成一行，（6 個漢堡貼圖，6 張可樂貼圖）你會怎么排？

師：請大家先想一想。誰來排排看？

學生排列時一般都選擇有規律地排列。

師：孩子們，能看懂他是怎么排的嗎？

生1：是按照一個漢堡、一杯可樂、一個漢堡、一杯可樂、一個漢堡、一杯可樂這樣排列的。

生2：漢堡和可樂是隔著排列的。

師：這種排列給你什么感覺？

生1：這種排列看起來比較好看。

生2：這種排列很有規律。

師：帶著這種感覺，我們去兔子樂園看看。

新知的學習首先要建立在一個學生感興趣的場景中，根據本課學習內容，創設了排列漢堡和可樂的問題情境，學生自身變成設計者，個個樂于參與其中，學習的興趣被激起，擺一擺不是簡單地拼搭，體現的是指尖的智慧。

（二）在觀察中感知，初步體驗排列規律

師：請大家仔細觀察，每組的兩種物體的排列有什么特點？

生1：兔子和蘑菇是按照一只兔子、一個蘑菇、一只兔子、一個蘑菇、一只兔子、一個蘑菇的次序排列的。

生2：兩只小兔間有一個蘑菇。

隨后說說木樁和籬笆的排列

師：以小兔和蘑菇為例。我們具體來看看，他們的排列到底有什么特點呢？（要求與同桌的小朋友交流，學生匯報）

生：小兔、蘑菇，也就是兩只小兔中間有一個蘑菇。

師：認真觀察，還可以怎么說？

生：小兔和蘑菇是一個隔一個排列的。

師：聽明白了嗎？這位同學“隔”這個字用得好！像這樣，兩種物體一個隔一個地排成一行是一一間隔排列。

揭示：今天我們就來研究一一間隔排列。

師：現在你知道夾子和手帕是怎么排列的？能解釋一下嗎？

這部分內容主要引導學生探索本節課重要的學習內容——一一間隔排列的兩種物體的排列特點，學生通過認真觀察獲得直觀的視覺體驗，形成初步的感知，用數學的眼光觀察數學現象。和同桌交流就是把自己的想法和同桌的想法進行碰撞，在碰撞中堅定自己的想法或修正想法，從而形成較正確的體驗。組織交流匯報，從不同角度表述，從而發現了什么是間隔排列，用學到的知識解釋另外兩組排列現象，加深了對知識點的掌握，數學的語言進行歸納，模型思想得到發展，從觀察到語言表征數學思維在其間流淌。

二、多元表征中感悟模型

（一）在整理表格中獲得信息

師：孩子們，觀察下每組的開頭和最后一個，你們發現了什么？

預設：看兔子和蘑菇的這一組，開頭是什么？最后一個是什么？

生1：開頭是兔子，最后一個還是兔子。

生2：夾子和手帕，開頭是夾子，最后一個還是夾子。

師：從排列的位置上看。它們都是兩端相同（板書）。

兩端相同時一一間隔排列的兩種物體，有沒有什么秘密呢？想知道嗎？

所有學生根據學習要求，填寫表格。

填好后，和同學交流。

匯報發現：

生1：我發現小兔的只數比蘑菇的個數多1。

生2：我發現木樁的根數比籬笆的塊數多1。

生3：我發現上面物體的個數比下面的都多1。

師：你會從整體上總結，真了不起！

師：每組兩種物體的數量到底有怎樣的關系呢?我們可更進一步地了解。為了表達方便，我們把兩端相同的物體稱為兩端物體。像蘑菇這樣的叫作中間物體。現在你能用一句話概括它們的數量關系嗎？

生：我發現兩端相同時，兩端物體比中間物體多1。

師追問：反過來說呢？

生：也就是中間間隔物體比兩端物體少一個。

這部分內容主要引導學生探索間隔排列的兩種物體個數之間的關系以及其中蘊含的簡單規律，也是本節課的核心知識點。學生通過觀察、填表、比較，把對每組物體排列方式的關注引向對每組數量關系的分析，從而為發現規律奠定基礎，而且在教師的引導發現上述三組物體在數量上的共同特點，每排兩種物體的數量都相差1，通過對排列物體位置共性的引導，小兔、木樁和夾子都是兩端物體，蘑菇、籬笆、手帕都是中間物體，得出“兩端相同時，兩端物體比中間物體多1”這樣一個數學模型。教師一步步地引導，讓學生先自己想一想引起學生頭腦風暴，實現和自己的對話，和心中的疑團進行辯論，并在和伙伴的溝通當中闡述觀點，同伴對其觀點進行批判、補充，這樣轉化成了全體學生的共享資源。這種活動方式比教師簡單地“告訴”更有意義。

（二）動手操作，驗證想法

教師指著“兩端相同時，兩端物體比中間物體多1”問：孩子們，學習離不開疑問，大疑則大進，看到這句話你會有什么想法呢?

生：兩端相同時，為什么兩端物體比中間物體多1？

師：不用借助填表，你有什么辦法讓大家清楚地看出來嗎？請大家認真想一想。想好了，再和你的同桌說說看。

生：一只兔子對應著一個蘑菇，也就是他們為一組。最后的兔子沒有蘑菇和它一組。

師：孩子們，你們太厲害了，用學過的知識解決了今天的問題。你們能在書上把小兔和蘑菇一組一組地表示出來嗎？大家在書上把小兔和蘑菇用你喜歡的方法把它們分組。你是怎么表示的呢？

學生在書上用自己喜歡的方法將它們分組。

有的學生用圈一圈的方法分組，有的學生用畫斜線的方法分組，還有的用畫橫線的方法分組。

師引導學生回顧：現在，你知道兩端相同時，為什么兩端物體比中間物體多1 了嗎？

追問：像這樣一一間隔排列，如果小兔有20 只，蘑菇有多少個呢。如果手帕有20 塊，夾子有多少個？

為了讓排列方式與相應的數量關系之間建立適當的聯系，從而使有規律的數學內涵得到進一步彰顯，基于這樣的考慮要求學生將間隔排列中的兩種物體一一對應圈一圈，讓學生了解規律的本質。

（三）動手擺一擺，自主構建

在接下來探究兩端相同，兩種物體的數量關系時，學生自然而然想到了用填表格發現規律和圈一圈的方法驗證。師肯定學生的方法，活學活用，同時，指出還可以創造出其他的方法幫助理解。

師：你可以想到其他的方法探究兩端相同的時，兩種物體的數量關系嗎？

學生思考

師指出：我們還可以把小兔和蘑菇請下來，用兩種不同的物品代表它們在桌子上擺一擺。

學生學習興趣迅速被激起，立刻動手擺一擺。

交流：怎樣擺能讓大家一眼看出兩端相同時，兩種物體的數量關系？

得出可以一組一組地擺。

知識的學習就是這樣在不斷地遞進中，從我會填→我會圈→我會擺，學習的路徑發生變化時，學生跟隨的活動也隨之產生了變化，從而在不同的活動中積累了不同的學習經驗，從眼看到手動，動手操作幫助學生理解更透徹。

三、在精巧練習中實現有效鞏固

根據本節課學習的內容和學生的心理年齡特點，設計了不同的問題類型：

（一）運用已學知識，在判斷中明晰

上面的兩個圖形排成一行，是一一間隔排列。

2.男生和女生站成一排，每兩個女生中間有一個男生，有10 個女生，有11 個男生。

（二）折紙中的排列現象

學生已經學會了如何排列，并通過實際的操作完成了新一輪的知識復習及知識鞏固。現在，教師需要學生創新思路，舉一反三，以同樣的邏輯遷移知識，從而達到知識內化于心的學習效果，檢驗學生的知識學習情況。

師：大家有玩過折紙嗎？折紙上的圖案有觀察過嗎？

學生發言，爭相舉手回答自己見過的折紙圖案。

師：大家對折紙都很熟悉?。∧墙酉聛砝蠋熃o大家一張折紙，大家觀察一下折紙上的圖案有什么規律呢？

學生：有八排，最多的一排有10 個蘋果、9 只小天鵝，最少的一排有3 個蘋果、2 只小天鵝。

教師：數得很對！那大家發現了沒有？這張折紙上的圖案都是完整的，沒有出現多一個被剪一半，這是根據什么設計的呢？

學生：根據折紙的面積。

教師：沒錯，根據折紙的面積控制元素的面積，從而更好地控制排列，完成整張折紙的設計。大家可以看到，折紙上的每一排的數量都是不一樣的?，F在，大家動手試一試在背面畫圖案，看看怎樣排列才能畫出完美的圖案。

學生動手設計，根據排列的規律完成圖案的編排。

從生活中的設計入手，更深地認識到排列的規律帶來的設計美，讓學生用數學的眼光發現規律、發現邏輯，從折紙的圖案上發現排列呈現出的數學思維。學生在動手設計圖案的過程中對所畫圖案的面積的考量、對排列數量的考量都在潛移默化中提高學生的自主思考意識，更新創新思維，增強動手能力，達到舉一反三的學習成果，提高學生的學習效率。

（三）在設計中獲得體驗，觀看實例，產生聯系

1.要求學生設計一一間隔排列的現象

師：小設計師們好了嗎？如果一直畫下去，畫得完嗎，那我們停筆吧。

展示二位同學的設計并請其他同學評價。

第三位同學的作業（其實畫了6 顆五角星），還畫了圓形，五角星和圓形是間隔排列。（不展示，賣關子）

師：猜一猜。有可能放幾個呢？并說出理由。

生1：5 個，五角星在兩端。

生2：7 個，圓形在兩端。

生3：6 個，五角星和圓形兩端不同。

師：也就是最多可以畫幾個，最少呢？

2.找一找，說一說，在身邊能找到一一間隔排列的現象。并欣賞校園里、生活中的排列現象。

分析：課堂上在練習環節進行精巧地設計，也可順利地吸引學生的注意力。在這個環節，教者利用已有的資源，對于第三個問題設計成開放性問題，成功地引起了孩子們的興趣。因為這個作品是自己的同學設計的，到底是怎樣的一個作品呢？他們在不斷地根據學到的知識思考有可能是哪一種情況，同時相機觀看生活中的間隔現象，體會生活中的創意設計，感受數學知識來源于生活，數學知識無處不在。

四、在回顧延伸中思考

1.在這節課中我們共同研究了什么？是怎么得到這個規律的？

2.同學們，快餐店的老板在做海報宣傳時，準備把漢堡和可樂圍成一個圓形拍攝，圍成圓形有5 個漢堡，應準備多少杯可樂呢？你發現了什么？有興趣的同學，可以用本節課學到的方法，繼續研究。

本環節安排了兩個學習內容，一是讓學生回顧本節課知識形成的全過程，在回顧中強化方法，進一步培養了技能；二是讓學生帶著思考結束課堂。受課堂時間的限制，提出的問題不一定全部在一節課內解決，一般是鼓勵有興趣的孩子課后研究，把學習從課內延伸到課外。

五、在探究實踐中深入思考

1.教師布置探究作業，讓學生就自己在生活中見到的或喜歡的圖案進行排列。

2.同學們，你們在自己家的物品的排列組合上有發現什么重要信息嗎？或許是物品上本來就有的，或許是后人添加的，都各有各的信息在其中。請同學們進行探究過后分享你見到的“隱藏在排列中的信息秘密”。

本環節主要為探究實踐，針對的是延伸學生的知識，豐富學生對于排列的認識，通過主動實踐與動手發現探究的樂趣，能根據自身的思考獨立完成任務。一是學生在生活中發現排列，將學過的數學知識與生活進行有機的遷移，從而達到檢驗教學效果的目的。二是挖掘數學之外的信息，以數學思維發現其他的信息，以新穎的探究模式增加學生對于數學的理解，引起學生的數學興趣。