求數列和的三個技巧

陸鈺

在解答數列問題時，經常會遇到求數列的前 n 項和問題，此類問題常以解答題的形式出現，難度系數較大.下面結合實例來探討一下求數列和的三個技巧，以幫助同學們破解此類難題.

一、分組求和

分組求和是指將數列中的各項合理拆分為易于求和的幾組，然后分組求和，最后綜合所得的結果.在運用分組求和的技巧解題時，要先仔細觀察數列的通項公式或數列中的各項，尋找其中的規律，將通項公式相同的等差、等比、常數列分別放在一起，然后根據等差、等比數列的前 n 項和公式分組進行求和.

例 1.已知數列：1 + 1 ，1a + 4 ，a12 + 7，…，1an - 1 + 3n - 2 ，試求該數列的和.

解：

仔細觀察數列中的各項，可發現該數列中的每一項都由等差數列 {3n - 2} 和等比數列 { } an1- 1 構成，于是將數列拆分為兩組：一組為等差數列，一組為等比數列，然后根據等差、等比數列的前 n 項和公式求和本題中 a 的值不確定，要運用等比數列的前 n 項和公. 式，需分 a = 1和 a ≠ 1兩種情況進行討論.

二、裂項相消

若數列的通項公式或各項為分式，可通過裂項相消來求得數列的和.首先將各項裂為兩項之差的形式，并使數列的前后項能夠相互抵消，如 1 n（n + k）=1k ??è?? 1n - 1 n + k 、 n +1 n + 1 = n + 1 - n ，再將各項相加，那么中間的部分項便會抵消，化簡所得的結果即可求得數列的和.

例2.設數列 { } an 的前 n 項和 Sn = -3n2 ，{ } bn 為單調遞增的等比數列，b1b2b3 = 512 ，a1 + b1 = a3 + b3 .（1）求數列{ } an ，{ } bn 的通項公式;（2）若cn = bn （ ） bn - 2 （bn - 1） ，求數列{ } cn的前 n 項和 Tn .

解：（1）略;（2）由（1）可得：cn = 2n + 1 （2n + 1 - 2）（ ） 2n + 1 - 1 = 2n （ ） 2n - 1 （ ） 2n + 1 - 1 = 1 （ ） 2n - 1 - 1 （ ） 2n + 1 - 1 ，則 Tn = c1 +…+ cn = ?è???÷ 211- 1 - 221- 1 + ?è???÷ 221- 1 - 231- 1 +…+ ?è???÷ 2n1- 1 - 2n +11 - 1 = 1 21 - 1 - 2n +11 - 1 = 1 - 1 2n + 1 - 1 .

經觀察可發現 { } cn的通項公式的分母 （ ） 2n - 1 ? （ ） 2n + 1 - 1 為兩項乘積，于是將其裂項： 2n （2n - 1）（ ） 2n + 1 - 1 = （ 1 ） 2n - 1 - （ 1 ） 2n + 1 - 1 ，直接采用裂項相消法求和.將各項相加，那么中間的前后項便會抵消，剩下的項之和即為所求的前 n 項和.

三、錯位相減

若一個數列中的各項由一個等差數列和一個等比數列的對應項的乘積構成，則可采用錯位相減法來求和.將數列的前 n 項和左右同乘以等比數列的公比q ，得到qSn，再將兩式錯開一位，使 q 的次數相同的項相減，通過運算求得 Sn 的表達式，即可求得數列的前 n 項和.

例 3. 若 x ≠ 1 ，求 Sn = 1 + 3x + 5x2 + 7x3 +…+（2n -1）xn - 1 .

解：Sn = 1 + 3x + 5x2 + 7x3 +…+ （2n - 1）xn - 1 ①，xSn = 1x + 3x2 + 5x3 + 7x4 +…+ （2n - 1）xn②，將① - ②可得：（1 - x）Sn = 1 + 2x + 2x2 + 2x3 + 2x4 +…+ 2xn - 1 - （ ） 2n - 1 xn，化簡可得 Sn = 2（ ） 1 - xn - 1 （ ） 1 - x 2 + 1 - （ ） 2n - 1 xn 1 - x .

該數列的通項公式為 （ ） 2n - 1 xn - 1 ，是由等差數列與等比數列 { } xn - 1 的乘積構成，可采用錯位相減法來求和.在數列的和式左右同時乘以公比，再將其與數列的和式錯位相減，即可求得數列的和.

在求數列的前 n 項和時，要學會將數列的通公式或和式進行適當的變形，可將數列中的各項分為幾組，也可將數列的通項裂為兩項之差，還可將數列的和式左右同乘以等比數列的公比，這樣便能采用分組求和、裂項相消、錯位相減的技巧順利求得數列的和.

（作者單位：江蘇省興化市第一中學）