計及損耗的超磁致伸縮材料參數提取及有限元仿真應用

韋艷飛 楊 鑫 陳鈺凱 楊明智 姚 銳

計及損耗的超磁致伸縮材料參數提取及有限元仿真應用

韋艷飛1楊 鑫1陳鈺凱1楊明智1姚 銳2

（1. 國家電能變換與控制工程技術研究中心（湖南大學） 長沙 410082 2. 湖南省航天磁電有限責任公司 長沙 410219）

有限元法（FEM）是換能器設計的重要手段。超磁致伸縮換能器的核心振子——超磁致伸縮材料在應用中存在電磁損耗、機械損耗和磁機耦合損耗等。而現有的有限元仿真軟件中的磁致伸縮模塊無法對超磁致伸縮換能器進行多場耦合下的損耗的準確計算，且難以獲取不同工況下的材料參數，給換能器的設計造成了較大的誤差。因此相比壓電模塊，有限元仿真中的磁致伸縮模塊仍未得到廣泛應用。該文通過對壓電和磁致伸縮的機電耦合的有限元控制方程的數值比擬，利用壓電模塊實現了對超磁致伸縮換能器的有限元仿真，并利用材料復參數對損耗進行表征，實現了超磁致伸縮換能器計及損耗的有限元仿真。為得到超磁致伸縮材料的特性參數，利用平面波法（PWM）對磁-機耦合特性參數測試平臺進行阻抗建模分析，通過粒子群算法提取不同預應力下考慮損耗的特性材料參數，并將所得參數代入有限元仿真軟件COMSOL Multiphysics中進行諧響應分析，所得結果與PWM模型結果及實驗阻抗曲線吻合良好，證明了所提方法的可行性和準確性。

材料復參數 損耗 阻抗建模 粒子群算法 有限元法

0 引言

稀土超磁致伸縮材料（Terfenol-D）在磁場的作用下能產生巨大伸縮形變，它具有應變大、能量密度高、反應速度快、耦合系數高等特點[1]，是超磁致伸縮換能器的核心振子。超磁致伸縮換能器可實現電能到機械能的轉換，在軍事技術、航天航空、海洋探測等領域有重要的應用[2-3]。因此，對超磁致伸縮換能器的設計進行研究有重要意義。作為換能器設計的重要手段，有效可靠的有限元仿真對換能器的研究設計意義重大[4]。

利用COMSOL Multiphysics中的壓電模塊對壓電換能器的仿真技術的應用廣泛[5]，但由于超磁致伸縮材料在換能器工作時存在電磁損耗、機械損耗和磁機損耗等[6-7]，COMSOL中的磁致伸縮模塊在電-磁-機多場耦合下的計算復雜，無法計及損耗效應[8]。J. C. Slauter[9]利用COMSOL的磁致伸縮模塊進行了超磁致伸縮換能器阻抗特性的有限元仿真并且擬合了實驗曲線，但其在仿真中所設置的材料參數與實際工況條件下不同，損耗計算在多物理場的耦合下仍未實現，從實驗與仿真結果可見較大誤差。因此，目前對超磁致伸縮換能器的仿真大多根據文獻[10-11]所提出的壓磁-壓電比擬的方式，利用壓電模塊對超磁致伸縮換能器進行有限元仿真計算。此方法可對換能器的機械振動頻率進行驗證，但仿真中無法考慮超磁致伸縮材料的損耗、漏磁等影響，且不同工作條件下影響換能器性能指標的材料參數（柔順系數、壓磁系數、相對磁導率）難以獲取[12]。因此，該有限元仿真方法得到的阻抗曲線與實際測量的結果通常存在較大誤差。故在進行超磁致伸縮換能器的仿真研究中，必須對不同工作條件下的超磁致伸縮材料的損耗進行考慮，且必須對材料的特性參數進行提取。

目前，對壓電材料參數表征及考慮其損耗研究較為成熟。文獻[13-14]利用將彈性、壓電和介電損耗視為復合材料常數虛部的方法考慮材料的損耗特性。為得到表征壓電材料特性的參數，文獻[15-16]根據文獻[17]建立的含材料復參數的壓電換能器的平面波法（Plane Wave Method, PWM）等效電路模型，通過智能優化算法最小化模型阻抗曲線與實驗測量曲線，辨識出了精確的壓電材料參數。文獻[18-20]利用所辨識的壓電材料參數進行有限元仿真計算，仿真結果與實驗吻合較好，表明可通過建立壓電換能器PWM等效電路提取材料復參數，并利用所提取的復參數進行壓電換能器的有限元仿真。

超磁致伸縮材料和壓電材料都可通過設置帶虛部的材料復參數來表征損耗，且COMSOL的壓電分析模塊中可設置復參數進行考慮損耗計算。本文通過對比壓電機電耦合與磁致伸縮機電耦合的有限元控制方程，通過壓電-壓磁數值比擬的方法利用COMSOL的壓電分析模塊進行超磁致伸縮換能器有限元的仿真分析，且通過設置材料復參數考慮損耗。本文通過建立考慮超磁致伸縮棒材損耗的磁-機耦合特性參數測試平臺的PWM等效電路模型，利用粒子群優化算法擬合其在不同預應力下的阻抗特性曲線，從而得到不同預應力下的材料復特性參數；再將其代入COMSOL中進行阻抗特性分析，通過對比有限元仿真結果、平面波模型阻抗曲線和實驗測量曲線，驗證了利用COMSOL的壓電模塊，通過數值比擬，且利用材料復參數進行計及損耗的超磁致伸縮換能器有限元仿真方法的可行性和準確性，為超磁致伸縮換能器的研究設計提供了重要支撐。

1 換能器有限元控制方程

1.1 機-電耦合方程類比

壓電的機-電耦合有限元控制方程為

式中，為質量矩陣；為阻尼系數矩陣；E為恒定電場下的剛度矩陣，其逆矩陣為柔順系數矩陣E；為機電匝數比矩陣，T為其轉置矩陣；S為夾緊電容矩陣；為力矩陣；為電荷向量；為位移向量；為電壓向量。

磁致伸縮的機電耦合有限元控制方程表示為

在壓電換能器中，式（1）中spiez/(E)，S=Ss2/，E=E/，其中和分別為換能器的面積和長度，s為壓電陶瓷片數，E為恒定電場下的柔順系數矩陣，piez為壓電耦合系數矩陣，S為恒應變下的介電常數矩陣。對于相同面積和長度的超磁致伸縮換能器有：m=tmag/(H)，S=St2/，H=H/，t為磁致伸縮換能器線圈匝數，H為恒定磁場下的柔順系數矩陣，mag為壓電耦合系數矩陣，S為恒應變下的磁導率矩陣。將壓電換能器的材料參數與超磁致伸縮換能器的材料參數等效為

當t=s時，則有m=，S=S，H=E。將壓電換能器的輸入電壓與超磁致伸縮換能器的輸入電流也進行等效（piezmag）后，式（1）和式（2）輸入側（左側）形式完全相同。因此，超磁致伸縮換能器的電壓與壓電換能器的電流等效的數值也可進行等效（magpiez），則超磁致伸縮換能器的阻抗值（mag=mag/mag）可直接從壓電換能器導納計算結果值（piez=piez/piez）中得到。

一般s≠t，但當滿足magt=piezs且St2=Ss2時，磁致伸縮換能器的輸入阻抗數值也可與壓電換能器的輸入導納直接進行數值等效，即

綜上所述，壓電換能器與超磁致伸縮換能器的機電耦合有限元計算方程在數學上的表達形式相同，因此可通過數值比擬的方法，利用有限元中的壓電模塊對超磁致伸縮換能器進行分析。

1.2 損耗類比

壓電材料與超磁致伸縮材料都是重要的功能材料，參照壓電材料對損耗的描述，可通過引入復參數的方法考慮超磁致伸縮材料的損耗。

恒預應力恒電場強度下工作的壓電換能器中存在機械損耗、機電耦合損耗及介電損耗。當考慮這些損耗時，可用帶虛部的復參數來表示，即

機械損耗、機電耦合損耗和介電損耗分別通過柔順系數E、壓電系數piez及相對介電常數T的虛部表示。

恒預應力恒磁場強度下工作的超磁致伸縮換能器存在著機械損耗、磁機耦合損耗和磁損耗，分別利用復數的柔順系數H、壓磁系數mag和相對磁導率T表示，即

機械損耗產生的主要原因是材料的內摩擦；耦合損耗來自材料在進行能量轉換時由于材料的固有缺陷而導致的損耗，對于壓電換能器為電-機耦合損耗，對于超磁致伸縮換能器為磁-機耦合損耗；壓電材料作為電介質材料，其介電損耗主要由介質的弛豫引起；超磁致伸縮材料作為鐵磁材料，磁導率虛部主要描述在磁場作用下磁滯、渦流等損耗。

壓電材料和超磁致伸縮材料均利用復參數進行材料損耗的考慮后代入各自對應的有限元控制方程，二者的有限元控制方程的數學形式仍然相同，因此進行復參數之間的代換后，仍可通過數值比擬的方法，利用有限元中的壓電模塊對超磁致伸縮換能器進行分析。

2 磁-機耦合特性參數特性平臺的等效電路及參數提取

不同工作條件下的超磁致伸縮材料的特性參數不同。為得到超磁致伸縮材料的磁-機耦合特性參數，本文通過建立如圖1所示的磁-機耦合特性參數測試平臺的PWM等效電路模型，利用粒子群算法擬合實驗曲線來獲取不同預應力下的超磁致伸縮材料的磁機耦合特性參數。為使計算更方便，本文采用簡單的縱振型設計，平臺由兩端對稱的黃銅組成前后質量塊，中間為超磁致伸縮Terfenol-D棒，棒材與質量塊中間放置切割的永磁體，為棒材提供偏置磁場；棒材的預應力通過碟簧和預應力螺栓施加，在本文中，采用6片碟簧對合的方式，利用高精度的游標卡尺測量碟簧的行程量，根據GB/T1972—1992蝶形彈簧標準，通過蝶簧的行程量計算所施加的預應力；棒材上繞=128匝線圈，為換能器提供勵磁磁場。為減小漏磁，支架桿和螺栓均為不導磁的不銹鋼材料。

圖1 磁機耦合特性參數平臺

對于圖1所示平臺，其主要質量集中于質量塊上，超磁致伸縮棒作為振子產生驅動力帶動質量塊振動，而平臺的其他部分質量較小，且不作為驅動源，故忽略不計。

2.1 Terfenol-D棒的等效電路

其中

超磁致伸縮Tefenol-D棒計及損耗后的等效電路如圖2所示。

由式（13）可知，考慮損耗時，為復數形式，實部表示聲速，虛部表示波幅的衰減，且實部較不考慮損耗時的值有所減??；不考慮損耗時，棒材機械阻抗只有虛部，呈感性。進行實部、虛部分離后，機械端阻抗實部對應耗能元件，虛部為“儲能”元件。

2.2 質量塊的等效電路

質量塊為圓柱狀，并假定其長度為0，橫截面積為0，當質量塊兩頭收到外力作用時，將發生形變。

根據質量塊的振動方程及其邊界條件，得到質量塊的等效電路模型表達式為

根據式（7）和式（16）以及超磁致伸縮棒與質量塊的串聯關系，得到兩端質量塊對稱的磁-機耦合特性參數測試平臺的等效電路如圖3所示。

圖3 磁-機耦合特性參數測試平臺等效電路

因此圖3所示等效電路的電端輸入阻抗最終可表示為

平臺的相關結構參數見表1。

表1 磁機耦合特性參數測試平臺結構參數

Tab.1 Parameters of magnetic coupling characteristic test platform structure

黃銅全部參數已知，未知參數為超磁致伸縮材料的柔順系數H、壓磁系數、相對磁導率T，而這三個參數對超磁致伸縮換能器的性能（如阻抗特性、聲源級、電聲效率等）有著至關重要的影響，且不同工作條件下的參數值不同，因此，需對棒材的這三個重要參數進行提取。

2.3 粒子群算法

式中，為規模為的粒子種群中的第個粒子；rand()為系統隨機生成的0～1之間的隨機數；pbest為第代粒子的最優解；gbest為該組所有粒子中粒子的最優解；為慣性系數；1和2為學習因子。

為使PWM模型阻抗曲線擬合實驗測量阻抗曲線，將目標函數()定義為圖3所示電路模型的輸入阻抗式（17）與實驗測量的方均差，即

式中，()、()分別為實驗測量的電阻和電抗；為數據點的個數。

粒子群算法程序流程如圖4所示。

圖4 粒子群算法流程

3 實驗結果分析

本文利用阻抗分析儀對平臺進行阻抗測量，如圖5所示，由于超磁致伸縮棒材最佳預應力偏置通常在20MPa內，本文得到了平臺在6.9MPa、10MPa、15MPa和20MPa四組不同預應力下的阻抗曲線。

圖5 阻抗測試平臺

為得到不同預應力下的材料特性參數，本文利用Matlab對所建立的PWM模型等效電路模型進行編程，通過粒子群算法擬合實驗曲線，得到超磁致伸縮材料的特性參數，結果見表2。不同預應力下進行粒子群算法辨識的適應度值如圖6所示。

表2 不同預應力下的材料特性參數

Tab.2 Material characteristic parameters under different prestresses

圖6 適應度值變化

為驗證此有限元仿真方法的可行性與準確性，對圖1的測試平臺進行有限元仿真。圖1測試平臺的有限元仿真與換能器的有限元仿真涉及相同的有限元控制方程，仿真模塊及步驟均相同，因此可以將其看作一個結構簡單的縱振型磁致伸縮換能器。

將得到的復參數（表1）進行數值比擬后代入有限元仿真軟件材料參數矩陣的對應位置中，其余位置滿足關系[23]：11=22，12=21，23=32，55=66=2(11-12)，31=32=-0.533，15=24，11=22。

在無載荷、位移和速度初始值均為0的自由邊界條件下，20MPa時對應的測試平臺的COMSOL的模態仿真如圖7所示，為典型的縱振模態。

進行諧響應仿真得到的不同預應力下的有限元阻抗計算曲線，其與平面波模型及實驗測量曲線對比如圖8～圖11所示。

圖7 磁機耦合特性測試平臺的模態仿真

圖8 6.9 MPa預應力下的阻抗曲線

圖9 10MPa預應力下的阻抗曲線

圖10 15MPa預應力下的阻抗曲線

圖11 20MPa預應力下的阻抗曲線

由圖8～圖11可得，在這四組不同預應力下，建立的平面波模型和有限元仿真結果都能較好地擬合實驗曲線，特別是在諧振頻率附近，仿真曲線與實驗曲線較為吻合，表明通過壓電換能器與超磁致伸縮換能器有限元控制方程的數值比擬，并利用復參數來考慮損耗的有限元仿真是可行的。通過對比有限元仿真和平面波模型和實驗測量結果可以看出，有限元仿真結果與平面波模型結果完全擬合，表明可以直接通過平面波模型提取超磁致伸縮材料磁-機耦合特性參數代入有限元中進行仿真分析，這對于超磁致伸縮換能器的設計研究有重要的意義。

由圖8～圖11可以看到，平面波模型和COMSOL有限元仿真曲線與實驗曲線沒有完全擬合，存在誤差。本文以阻抗幅值的方均差和相角的方均差來衡量模型之間以及模型與實驗測量結果的誤差大小，如圖12所示，其中mse1、mse1分別為平面波模型阻抗幅值、相角與實驗測量的誤差；mse2、mse2分別為有限元仿真阻抗幅值、相角與實驗測量的誤差；mse3、mse3分別為平面波模型阻抗幅值、相角與有限元仿真結果之間的誤差。

圖12 仿真模型與實驗誤差

平面波模型和有限元仿真中，均沒有考慮頻率和漏磁的影響。本文通過設置一固定常數值作為超磁致伸縮材料特性參數的虛部來表示損耗。實際上，這些損耗，尤其是影響較大的渦流損耗是與頻率相關的。為了降低平面波模型參數提取與有限元仿真的計算成本，本文將與頻率相關的虛部設置為與頻率無關項，在諧振頻率附近較窄的范圍內進行參數提取來擬合實驗曲線。另一方面，本文所利用的磁-機耦合特性參數測試平臺的磁路開放，而棒材本身的相對磁導率并不大，存在漏磁。但在平面波建模和有限元仿真中為了能忽略漏磁的影響，在實驗中將線圈緊繞于棒材上，且線圈繞滿整根棒材，使漏磁盡可能的??；而且在建模過程中忽略了永磁體的影響，永磁體為超磁致伸縮棒材提供了偏置磁場，且在交流磁場作用下，永磁體也存在一定渦流損耗，對換能器的阻抗特性的也有影響。因此，利用粒子群算法，根據本文所建立的平面波等效電路模型去辨識參數，所得的模型阻抗結果與實驗測量仍有一定誤差，這體現在遠離諧振峰附近的區域。

4 結論

本文通過搭建磁-機耦合特性參數平臺的平面波模型提取了不同預應力下的帶虛部的超磁致伸縮材料特性參數，將所提取的材料的復參數代入COMSOL進行阻抗分析，實現了有限元計算結果對實驗阻抗曲線的擬合，驗證了考慮損耗的數值比擬方法的可行性及參數提取的準確性。本文結論如下：

1）通過粒子群算法擬合實驗曲線得到材料特性參數，此方法相比于直接根據定義進行材料參數測量的方法相比更為簡單快捷。且超磁致伸縮材料存在的損耗可通過相應的材料特性參數的虛部表示，通過此方法還可直接得到表征材料損耗的材料參數的虛部。

2）不同預應力下的超磁致伸縮材料的磁-機耦合特性參數提取結果表明，超磁致伸縮材料的柔順系數、壓磁系數和相對磁導率隨預應力的變化而變化。對不同工作條件下的磁-機耦合特性參數進行提取，可為后續超磁致伸縮換能器的研究與設計提供關鍵的數據支撐。

3）本文所用模型未對永磁體進行考慮，忽略了磁路中漏磁的影響，且還未考慮渦流損耗的頻率相關性，模型仍需進一步改進。今后將以此進行下一步的研究。

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Parameter Extraction and FEM Simulation of Giant Magnetostrictive Transducer Considering Losses

Wei Yanfei1Yang Xin1Chen Yukai1Yang Mingzhi1Yao Rui2

（1. National Engineering Research Center for Power Conversion and Control Hunan University Changsha 410082 China 2. Hunan Aerospace Magnetoelectric Co. Ltd Changsha 410219 China）

Finite element method (FEM) is an important means for transducer design. As the core of the giant magnetostrictive transducer, giant magnetostrictive rods generate electromagnetic losses, mechanical losses and magnetic coupling losses in operation. The magnetostrictive module in the existing FEM simulation software is unable to calculate the losses of the giant magnetostrictive transducer under multi-field coupling, and what’s more, the parameters of the giant magnetostrictive material under different working conditions are unavailable, which causes huge errors in transducer design. Therefore, compared with the piezoelectric module, magnetostrictive module in FEM software is still not widely used. In this paper, by comparing the FEM governing equations of piezoelectric electromechanical coupling and magnetostrictive electromechanical coupling, the FEM simulation of giant magnetostrictive transducer is realized by using the piezoelectric module, and losses are considered by using complex quantities of material parameters. For characteristic parameters of giant magnetostrictive material, the plane wave method (PWM) is applied on the test platform of magneto-mechanical coupling characteristics for impedance modeling analysis, material parameters are extracted through the particle swarm algorithm under different pre-stress conditions, and these parameters are used in COMSOL Multiphysics for harmonic response analysis. The results obtained are in good agreement with those obtained in experiments and PWM model, which proves the feasibility and accuracy of the proposed method.

Complex material constants, losses, impedance modeling, particle swarm optimization, finite element method (FEM)

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.210357

TM271；TM134

韋艷飛 女，1996年生，碩士研究生，研究方向為電聲變換技術與裝備。E-mail：wyf_8866@163.com

楊 鑫 男，1987年生，教授，博士生導師，研究方向為電力電子技術、電力電子器件應用、電聲換能系統。E-mail：xyang@hnu.edu.cn（通信作者）

國家自然科學基金重點資助項目（51837005）。

2021-03-15

2021-06-17

（編輯 赫蕾）