基礎豎向多頻參數激勵下圓弧拱平面內動力失穩研究

鐘子林，劉愛榮

(1. 廣州大學風工程與工程振動研究中心，廣東，廣州 510006；2. 廣州鐵路職業技術學院，廣東，廣州 510430)

拱結構具有造型美觀、跨越能力強和承載能力大等優點，被廣泛應用于建筑工程，如巴黎圣日內維耶圖書館和沈陽西站候車室的屋蓋等；橋梁工程，如廣西平南縣拱橋和盧浦大橋等；水利工程，如美國科羅拉多河葛蘭大壩和日本的黑部大壩等；機械和航空工程，如拱形吊車梁、曲梁構件和拱形機艙骨架等。在外部環境激勵下，拱可能會發生大幅度振動，當外部激勵達到臨界失穩頻率，拱將發生劇烈振動而導致失穩。不同激勵幅值下的臨界激勵頻率圍成拱的動力不穩定域，可預測拱在外部參數激勵下的穩定性。由于外部激勵持續變化，可能誘發拱發生多種類型的動力失穩。動力不穩定域的域寬和分布非常復雜，如何準確計算拱的動力不穩定域并分析其隨各種參數的變化規律，優化拱的設計參數，以避免其落入動力不穩定域，是當前研究的難點。

研究發現，當動力荷載的激振參數(頻率、幅值等)與拱的振動頻率滿足一定條件時，拱的位移將會突然增加，發生動力失穩。例如，當外荷載的激振頻率是拱自振頻率的2倍時，拱的位移突然呈指數增長，發生參數共振失穩。Bolotin[1]在其著作中針對徑向均布荷載作用下的兩端鉸接圓弧拱進行了解析推導，給出了拱平面內反對稱參數共振失穩域的求解方法。在Bolotin的研究基礎上，Sophianopoulos等[2]首次推導了簡諧荷載作用下兩端鉸接懸鏈線拱的Mathieu-Hill常微分運動方程，并利用Bolotin法得到了懸鏈線拱參數動力失穩的臨界頻率域。王連華等[3]考慮了幾何缺陷的影響，推導了周期動力荷載作用下拱的運動方程，并從李雅普諾夫穩定性原理出發，得到了李雅普諾夫指數，研究了激勵頻率與缺陷大小對拱平面內動力穩定性的影響，但未分析拱動力失穩域的分布規律。為此，趙洪金和董寧娟針對不同設計參數拱的參數動力失穩開展了系列的研究。首先，趙洪金等[4]利用哈密頓原理和伽遼金法推導了兩端鉸接圓弧格構拱的運動方程，通過Bolotin法求解了拱的面內一階反對稱動力失穩域，并分析了不同綴條面積、半徑和夾角等對不穩定域大小的影響；然后，趙洪金等[5]采用類似的方法分析了剪切變形對圓弧深拱動力不穩定域的影響；董寧娟和趙洪金[6 ? 7]利用Bolotin法和半解析法求解得到了徑向均布荷載作用下開口薄壁與閉口薄壁圓弧拱的平面內一階反對稱動力失穩域。以上研究未考慮非線性振動、阻尼、附加配重等參數對圓弧拱動力穩定性的影響，且未開展實驗研究驗證理論解析解的正確性[8]。為進一步揭示圓弧拱動力失穩機理，Liu和Yang等[9]基于能量法推導了拱頂集中簡諧荷載作用下固接圓弧拱平面內的動力方程，求解了圓弧拱平面內反對稱參數共振失穩的動力不穩定域，進一步利用激振器生成簡諧波，開展了掃頻實驗獲得了拱的動力不穩定域，分析了矢跨比、附加質量對動力不穩定域的影響規律。此外，Liu和Lu等[10]發現，拱在集中簡諧荷載作用下，當激振頻率大約為拱面外自振頻率的2倍左右時，拱從原來的面內平衡位置突然過渡為面外平衡狀態并發生大幅度的彎扭振動。為從理論的角度解釋這一現象，他們基于能量法，同時考慮了阻尼和非性振動的影響，推導了拱頂集中簡諧荷載作用下固接圓弧拱平面外的動力平衡微分方程，求解了圓弧拱平面外彎扭參數共振失穩的動力不穩定域，分析了動力不穩定域的域寬與分布隨矢跨比、附加配重和阻尼比的變化規律以及非線性振動規律。此外，他們還設計了圓弧拱實驗模型進行激振實驗，驗證了理論解的正確性，并揭示了拱頂集中簡諧荷載作用下圓弧拱平面外動力失穩機理。Zhong和Liu等[11]利用哈密頓原理與伽遼金法建立了沿拱軸線豎向均勻分布簡諧荷載作用下圓弧拱的動力數學模型，推導了周期為T和2T的圓弧拱參數共振失穩域的解析表達式，分析了靜載、阻尼比和矢跨比對動力不穩定域域寬與分布的影響，通過建立有限元瞬態動力分析模型驗證了理論解析的正確性。為探索沖擊荷載下圓弧拱的動力失穩問題，Liu和Yang等[12]建立了徑向任意階躍動荷載作用下圓弧拱的非線性運動方程，得到了圓弧拱的動力失穩荷載解析解，分析了荷載位置對拱動力屈曲行為的影響。Yang和Liu等[13]研究了集中階躍荷載作用下FG-GPLRC拱的非線性動力屈曲，探究了GPLs 分布模式、質量分數和幾何尺寸對 FGGPLRC拱動力屈曲的影響，結果表明GPLs 能夠顯著提高FG-GPLRC拱的動力屈曲臨界荷載。跌落沖擊荷載往往攜帶巨大的能量，但其對拱的動力屈曲行為還需要進一步研究。Yang和Liu等[14]基于能量守恒原理建立了高空跌落重物沖擊下圓弧拱動力平衡方程，將重物勢能轉化為動能，分析了拱長細比、沖擊重量與速度對圓弧拱動力失穩的影響。

以上研究成果均未涉及基礎激勵下拱動力失穩問題。而基礎激勵在工程中隨處可見，例如水下鉆孔、地震、航道、隧道等爆破產生的沖擊波、大型輪船運行時產生的水擊波、地鐵運行產生的振動等，是導致拱發生動力失穩的主要元兇之一。然而基礎激勵下拱的失穩機理尚不明晰，相關研究很少公開報道。只有，Chen等[15]將水平簡諧荷載施加在正弦淺拱的一端可動支座上，通過實驗觀察拱的平面內非線性振動行為，但未測得拱動力失穩的臨界激勵頻率。此外，Zhong和Liu[16]針對基礎豎向激勵下圓弧拱平面外參數共振失穩進行了理論推導，分析了不同矢跨比、圓心角、長細比、阻尼比對圓弧拱平面外參數共振失穩臨界激勵頻率的影響，并提出了一種臨界激勵頻率的實驗測試方法，發現了圓弧拱發生參數共振失穩時振動頻率的跳躍行為，實驗結果驗證了理論解的正確性。

然而，在實際工程中，基礎激勵多為多頻激勵，即結構基礎同時受到2個或以上激勵源的作用，比如鄰近橋梁的基礎同時受到隧道開挖過程中機械本身產生的振動激勵與機械運動導致地面振動的激勵，多艘輪船同時產生多個水擊波對橋梁基礎的激勵等。基礎多頻激勵會導致拱復雜的動力失穩行為。與基礎單頻激勵作用下圓弧拱的動力失穩相比，多頻激勵下運動方程求解過程更為復雜，需考慮多個諧波分量之間的相互作用關系。此外，不同激勵幅值和激勵頻率的組合將會影響動力不穩定域的域寬與分布規律，可能出現共振與參數共振交替出現或模態混疊的現象。因此本文針對基礎豎向多頻激勵下圓弧拱的平面內動力穩定性展開深入的研究。

1 運動方程

1.1 平面內能量方程

圖1 基礎豎向激勵下圓弧拱動力系統Fig.1 Dynamic system of the circular arch under a vertical base excitation

基礎豎向激勵下圓弧拱截面上任意一點P的應變函數可表示為[17 ? 18]：

式中：

忽略剪切變形與截面轉動慣量的影響，基礎豎向激勵下圓弧拱的平面內Lagrangian方程 ?i可表示為：

式中，拱的動能T可表示為：

式中，E、A、Ix分別為圓弧拱的彈性模量、截面面積、截面慣性矩，由動軸力引起的內力做功WN可表示為：

此外，非保守力阻尼做功可表示為：

1.2 平面內動力平衡方程

基礎豎向激勵下圓弧拱平面內的動力平衡方程可由哈密頓原理以及變分運算得到，由哈密頓原理可得：

式(11)滿足以下條件：

式中，t1、t2為任意時間。

將式(5)、式(7)～式(9)代入式(11)，運用式(12)的條件以及變分運算法則，可得由無量綱徑向和切向位移控制的平面內動力方程：

式(13)～式(14)表示的動力系統的邊界條件和運動初始條件為：

式中，Δn為拱第n階模態自由衰減振動的衰減率。

2 基礎豎向激勵下圓弧拱平面內的動內力

基礎豎向激勵產生的圓弧拱動軸力與動彎矩可表示為：

對耦合方程式(13)～式(14)進行解耦計算，得：

式中：

將式(20)～式(21)代入式(13)～式(14)中，忽略內力做功，得：

求解式(22)～式(23)表示的動力方程組，并根據邊界條件求得相應的積分系數，可得：

式(24)～式(25)中，D1、D2分別為：

3 求解動力不穩定域

圓弧拱的切向位移函數可表示為[20 ? 21]：

式中，fn(t)、 ψn(φ)分別為圓弧拱的空間坐標和模態函數。選取面內前兩階模態(一階反對稱、二階正對稱)作為圓弧拱動力失穩分析對象，將式(28)代入基礎豎向激勵下圓弧拱的平面內動力平衡方程式(19)，運用伽遼金法對動力平衡方程進行離散分析，并采用多尺度法[22]進行求解，可得前兩階模態的常微分干擾方程為：

式(29)～式(30)中，ε為遠小于1的小參數，其余系數的表達式為：

運用多尺度法對式(29)～式(30)進行二階近似計算，引入時間尺度，Tn=εnt，時間尺度微分計算公式為[22]：

式(39)中，Dn=?/?Tn。

將fn(t) (n=1, 2) 擴展為ε的冪級數形式，其二階近似可表示為：

將式(40)～式(41)代入式(29)～式(30)，使ε的同次冪項系數等于0，有：

式(42)的解可以表示為以下形式：

不失一般性地假設圓弧拱基礎受到的豎向多頻激勵為雙余弦簡諧激勵，即：

將式(45)～式(46)分別代入式(43)，可得：

當圓弧拱基礎受到豎向多頻激勵時，圓弧拱會發生多種形式的聯合共振失穩。其中，當基礎雙余弦激勵同時激發圓弧拱發生一階反對稱參數共振失穩、二階正對稱共振失穩時，根據多尺度分析法[22]，可引入3個調諧參數σ1、σ2、σ3，分別表示圓弧拱動力系統的干擾條件，即：

將式(49)代入式(47)～式(48)，消除相應的久期項，可得：

因此，可得式(47)～式(48)的特解為：

將式(45)、式(49)～式(50)代入式(44)，并根據式(49)給出的圓弧拱平面內動力失穩的干擾條件，消除相應的久期項，可得：

根據多尺度法的求解方法，通過構建ε的冪級數描述振幅An(T1,T2)(n=1,2)變化，即滿足下式：

通過考察動力方程不動點的穩定性，可以判斷定態周期解的穩定性。根據現有的研究可知，振幅An(T1,T2)(n=1,2)可表示為極坐標的形式，然而卻不利于求解不動點的周期解，因此可將振幅An(T1,T2)(n=1,2)寫成直角坐標的形式，即：

根據式(47)～式(48)、式(51)～式(52)分別求出D1A1·(T1,T2) 、D1A1(T1,T2) 、D2A1(T1,T2)和D2A1(T1,T2)，將其代入式(53)，并分離實部與虛部，可得：

為求解基礎多頻激勵下圓弧拱動力系統不動點的周期解，通過觀察式(55)～式(58)關于系數p1、q1組成的方程組，建立相應的雅克比矩陣，通過求解雅可比矩陣的特征值，便可得到圓弧拱動力系統的臨界激勵頻率值。

4 結果分析

選取彈性模量E=65.38 GPa，質量密度ρ=2700 kg/m3，泊松比為μ=0.32，矩形截面尺寸b×h=0.02 m×0.001 m，跨徑L=0.8 m的兩端固接圓弧拱作為研究對象，其中動力系統的一階阻尼衰減率Δ1=0.02，二階阻尼衰減率Δ2=0.002，基礎雙余弦激勵的最大加速度幅值分別為Pmax1=30 m/s2，Pmax2=40 m/s2，并 設Pt1=β1Pmax1,Pt2=β2Pmax2，β1和β2分別為兩個余弦激勵的無量綱激勵幅值。由式(49)可知，σ1=σ2，表明兩個余弦激勵的頻率相等，即Ω1=Ω2=Ω，而無量綱激勵幅值β1、β2的變化范圍均設為[0,1]，因此可設β1=β2=β，即對于激勵幅值Pmax1=30 m/s2，Pmax2=40 m/s2，當β=0.2時，Pt1=6 m/s2，Pt2=8 m/s2。

由圖2可知，兩條曲線將參數平面(β?Ω/ω1)劃分為穩定區域與不穩定區域，其中虛線圍成的區域為一階反對稱參數共振失穩域，實線圍成的區域為二階正對稱共振失穩域。從圖中還可知，在設定的激勵幅值下，僅矢跨比為f/L=1/4圓弧拱的反對稱參數共振失穩與正對稱共振失穩的動力不穩定域存在重合區域。當基礎激勵的幅值與頻率落入該重合區域時，圓弧拱將會被激發雙模態動力失穩，即同時發生一階反對稱參數共振失穩和二階正對稱共振失穩，而兩個域的非重合部分分別表示圓弧拱將會被分別激發平面內一階反對稱參數共振失穩和正對稱二階共振失穩。

由圖2可知，基礎多頻激勵下圓弧拱平面內反對稱參數共振失穩的動力不穩定域主要分布在無量綱激振頻率Ω/ω1=2附近，表明當基礎激勵頻率約為圓弧拱一階自振頻率的2倍時，圓弧拱將會被激發平面內一階反對稱參數共振失穩。此外，參數共振失穩域的域寬遠大于共振失穩域的域寬，表明相對于共振失穩，參數共振失穩是拱結構動力穩定設計的首要防控目標。

由于圓弧拱動力系統存在一定的阻尼，所以反對稱參數共振失穩域與正對稱共振失穩域均存在一個臨界激勵幅值βcr1、βcr2，即當基礎激勵的幅值大于臨界值時才能激發圓弧拱發生動力失穩。因此，工程中可以采用增加阻尼的方法來抑制圓弧拱的動力失穩。由圖2可知，隨著矢跨比的減小，參數共振失穩和共振失穩的動力不穩定域的域寬逐漸增加，而無量綱臨界激勵幅值βcr卻逐漸減小。

圖2 基礎激勵下不同矢跨比圓弧拱平面內動力失穩的動力不穩定域Fig.2 Dynamic instability regions of the circular arch under a base excitation for different span-rise ratio

為研究長細比對圓弧拱參數動力失穩的影響，可選取彈性模量E=69 GPa，質量密度ρ=2700 kg/m3，泊松比為μ=0.32，矩形截面尺寸b×h=0.08 m×0.015 m，圓心角2Θ=90°的兩端固接圓弧拱作為研究對象，其中動力系統的一階阻尼衰減率Δ1=0.01，二階阻尼衰減率Δ2=0.001，基礎雙余弦激勵的最大加速度幅值分別為Pmax1=300 m/s2，Pmax2=500 m/s2。

以下分析不同圓心角對動力不穩定域的影響規律，設圓弧拱的長細比S/rx=400，動力系統參數與圖3分析中的參數相同。由圖4可知，隨著圓心角的增加，動力不穩定域的域寬逐漸減小，無量綱臨界激勵幅值逐漸增加。而當圓心角2Θ=120°時，在該基礎多頻激勵下，圓弧拱僅發生參數共振失穩。雖然隨著圓心角的增加，圓弧拱參數共振失穩和共振失穩的動力不穩定域域寬逐漸減小，但是隨著圓心角的增加，二階正對稱自振頻率逐漸靠近一階反對稱自振頻率，因此在基礎激勵頻率相同的情況下，兩個動力不穩定域逐漸靠近，此時若增加基礎激勵的幅值，大圓心角圓弧拱的兩個動力不穩定域更容易發生重合，并被激發雙模態動力失穩。由于參數共振失穩域遠大于共振失穩域，因此相比之下，當拱結構設計中要求長細比一定時，應選擇大圓心角的圓弧拱來增加其動力穩定性。

圖3 基礎激勵下不同長細比圓弧拱平面內動力失穩的動力不穩定域Fig.3 Dynamic instability regions of the circular arch under a base excitation for different slenderness ratio

圖4 基礎激勵下不同圓心角圓弧拱平面內參數動力失穩的動力不穩定域Fig.4 Dynamic instability regions of the circular arch under a base excitation for different central angle

由圖5可知，當增加圓弧拱的阻尼時，平面內一階反對稱參數共振和二階正對稱共振失穩域逐漸減小，臨界激勵幅值逐漸增加，表明阻尼對圓弧拱的動力失穩有明顯的抑制作用。因此當圓弧拱的參數無法改變時，可通過增加圓弧拱動力系統阻尼的方法避開動力不穩定域。

圖5 不同阻尼衰減率下圓弧拱平面內參數動力失穩的動力不穩定域Fig.5 Dynamic instability regions of the circular arch for different damping decrement

5 有限元驗證

采用有限元瞬態分析方法[11]，施加不同的加速度激勵幅值，對圓弧拱進行掃頻激振，得到圓弧拱平面內振動的動力響應，如圖6所示，其中基礎激勵的起始頻率分別為：向上掃頻37.41 Hz，向下掃頻43.17 Hz，掃頻速率為0.333 Hz/min。以圖2(d)中的圓弧拱為對象，利用有限元瞬態分析法分別得到不同激勵幅值下圓弧拱發生平面內一階反對稱參數共振失穩的臨界激勵頻率，其中基礎雙余弦激勵的幅值分別為Pt1=30 m/s2、Pt2=40 m/s2，阻尼衰減率為Δ1=0.02。根據時域分析法[14]可知，向上和向下掃頻基礎激勵下圓弧拱發生平面參數共振失穩的臨界時間分別為40 s和41 s，對應的臨界激勵頻率分別為37.63 Hz和42.94 Hz。按照相同的方法可分別計算出動力不穩定域的臨界激勵頻率下限值ΩL和上限值ΩH。表1分別給出了基礎雙余弦激勵下圓弧拱平面內一階反對稱參數共振失穩臨界激勵頻率的解析解與數值解的對比，通過誤差分析可知，兩者的臨界激勵頻率值吻合，變化規律相同，即隨著無量綱激勵幅值的增加，下限值ΩL逐漸減小，上限值ΩH逐漸增加。同時也驗證了理論解析解的正確性。

圖6 基礎雙余弦激勵下圓弧拱平面內參數動力失穩的振幅時程( β=1)Fig.6 Amplitude of the circular arch under double cosine base excitation for the in-plane parametric resonance

表1 基礎雙余弦激勵下圓弧拱平面內一階反對稱參數共振失穩臨界激勵頻率的解析解與數值解(f/L=1/10)Table 1 Analytical and numerical solutions of the critical excitation frequencies of first-order antisymmetric parametric resonance instability of a circular arch plane under a base double cosine excitations

6 結論

由于基礎豎向多頻激勵下圓弧拱易發生聯合共振失穩，因此本文針對圓弧拱同時發生一階反對稱參數共振和二階正對稱共振的失穩類型展開了理論推導，得到了相應的動力不穩定域，并分析了動力不穩定域隨圓弧拱設計參數的變化規律，得到以下結論：

(1) 在一定外部激勵下，圓弧拱有可能被激發前兩階模態聯合共振失穩，參數共振失穩模態為一階反對稱，共振失穩模態為二階正對稱。

(2) 動力不穩定域可以用于預報基礎豎向多頻參數激勵下圓弧拱的動力穩定性。不穩定域存在一個重合區域使得圓弧拱同時發生一階反對稱參數共振失穩與二階正對稱共振失穩。參數共振失穩域的域寬遠大于共振失穩域的域寬，因此參數共振失穩是拱結構動力穩定設計的首要防控目標。

(3) 隨著矢跨比的減小，參數共振失穩和共振失穩的動力不穩定域的域寬逐漸增加，而無量綱臨界激勵幅值卻逐漸減小；隨著長細比的增加，參數共振失穩和共振失穩的動力不穩定域域寬逐漸增加，而無量綱臨界激勵幅值卻逐漸減小；隨著圓心角的增加，參數共振失穩和共振失穩的動力不穩定域域寬逐漸減小，無量綱臨界激勵幅值逐漸增加；阻尼對圓弧拱平面內的動力失穩具有明顯的抑制作用，可減小參數共振失穩和共振失穩的動力不穩定域域寬，增加無量綱臨界激勵幅值。

(4) 當基礎激勵的幅值與頻率落入動力不穩定重合域時，圓弧拱將被同時激發一階反對稱參數共振失穩和二階正對稱共振失穩，而當基礎激勵的幅值與頻率避開重合域時，圓弧拱僅被激發反對稱參數共振或共振失穩。

(5) 動力失穩臨界激勵頻率的理論解析解與數值解基本一致，驗證了理論解析解的正確性。