模型思想在初中幾何教學(xué)中的應(yīng)用

□甘肅省白銀市靖遠(yuǎn)縣北灘鎮(zhèn)杜寨柯初級(jí)中學(xué) 韋應(yīng)才

模型思想能夠把復(fù)雜且抽象的幾何知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)楹?jiǎn)單且形象的數(shù)字信息，降低學(xué)生的理解難度并提高知識(shí)運(yùn)用能力。本文就模型思想在初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行論述。初中生的邏輯思維能力正處于發(fā)展階段，針對(duì)抽象知識(shí)，只有采用更為有效的方法才能提升他們的學(xué)習(xí)效果。數(shù)學(xué)教師充分利用模型來開展教學(xué)工作，能為學(xué)生創(chuàng)造更加直觀與形象的空間，提升教學(xué)的效果和質(zhì)量。

一、模型思想在初中數(shù)學(xué)幾何知識(shí)教學(xué)中的應(yīng)用意義

（一）有利于進(jìn)一步挖掘教材內(nèi)容

模型思想在初中數(shù)學(xué)幾何知識(shí)教學(xué)中的應(yīng)用將有利于進(jìn)一步挖掘教材內(nèi)容，讓學(xué)生能更快速且更有效地進(jìn)入“幾何世界”中，有效激發(fā)他們的學(xué)習(xí)好奇心和提高學(xué)習(xí)積極性。初中數(shù)學(xué)教師可利用各種各樣的輔助工具構(gòu)造幾何模型，讓學(xué)生認(rèn)真觀察與體會(huì)，利用各種生動(dòng)的模型激發(fā)學(xué)生持續(xù)探索的欲望。

以“平面的基本性質(zhì)及公理”教學(xué)為例，為了能讓學(xué)生更好地理解“不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)平面”，教師可帶領(lǐng)學(xué)生共同進(jìn)行操作來驗(yàn)證。比如，用手指和紙做一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)，反復(fù)嘗試和檢驗(yàn)最少用幾根手指就能托起整張紙。顯而易見，一根手指和兩根手指都無法托起整張紙，最少三根手指就能完成這一目標(biāo)。因此，通過操作模型的方式，能比較容易幫助學(xué)生進(jìn)行理解，把抽象理念性的知識(shí)轉(zhuǎn)化為形象實(shí)物化模型。

（二）有利于培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生空間想象力

在幾何知識(shí)教學(xué)中，空間想象力是核心與關(guān)鍵。不斷培養(yǎng)和發(fā)掘初中生的空間想象力，不僅能讓他們?cè)趲缀沃R(shí)的學(xué)習(xí)中取得優(yōu)異的成績(jī)，而且在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科的探索中都能有豐富的收獲。初中數(shù)學(xué)教師在開展幾何知識(shí)教學(xué)工作時(shí)，靈活利用模型屬于一個(gè)有效培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生空間想象力的重要方式。持續(xù)鍛煉學(xué)生，從抽象到形象、再從形象到抽象的轉(zhuǎn)化能力。

在模型思想的引導(dǎo)下，學(xué)生首先通過觀察幾何模型來有效建立形象或具體的觀念與意識(shí)。之后脫離模型后再去樹立模型。有效發(fā)揮自己的想象力和空間思維力，把學(xué)生的空間想象力和動(dòng)手畫圖能力密切地結(jié)合到一起。

（三）有利于提升課堂教學(xué)的效果與質(zhì)量

不少教師在開展教學(xué)工作的過程中，可能會(huì)受傳統(tǒng)教育觀念的影響，強(qiáng)調(diào)單一方向的知識(shí)灌輸，反而忽略了對(duì)于學(xué)生理解力的培養(yǎng)，因此長時(shí)間以來教學(xué)工作的質(zhì)量和效果始終得不到提升。而要將形象生動(dòng)的內(nèi)容讓學(xué)生進(jìn)行理解和學(xué)習(xí)，讓學(xué)生積極主動(dòng)地參與到教學(xué)活動(dòng)中，快速掌握幾何知識(shí)并且靈活運(yùn)用幾何知識(shí)，就可以運(yùn)用模型思考進(jìn)行教學(xué)。

模型思想屬于一類可靠且被驗(yàn)證為有效的教學(xué)理念，教師在開展教學(xué)活動(dòng)的過程中，利用各種各樣的模型能降低學(xué)生理解的難度。尤其是能讓學(xué)生快速建立空間思維與實(shí)物模型之間的聯(lián)系，有效提高學(xué)生對(duì)于幾何知識(shí)的理解和把握，進(jìn)而提升他們的學(xué)習(xí)效果。

二、模型思想在初中數(shù)學(xué)幾何知識(shí)教學(xué)中的應(yīng)用舉措

（一）運(yùn)用模型思想降低學(xué)生理解難度

數(shù)學(xué)教師在開展幾何知識(shí)教學(xué)活動(dòng)時(shí)要靈活運(yùn)用模型，有效發(fā)揮出模型在降低學(xué)生理解難度上的優(yōu)勢(shì)，讓學(xué)生在模型的引導(dǎo)下提高自己的學(xué)習(xí)效果和學(xué)習(xí)質(zhì)量。初中數(shù)學(xué)教師在開展教學(xué)活動(dòng)的過程中要引導(dǎo)學(xué)生多思考、多提問、多總結(jié)教材中的理論知識(shí)，讓理論與實(shí)際的模型密切地結(jié)合到一起。教師要深入淺出地進(jìn)行講解，從基礎(chǔ)到高階，循序漸進(jìn)地提高學(xué)生的理解力和運(yùn)用力。

初中數(shù)學(xué)教師在模型思想的引導(dǎo)下開展幾何知識(shí)教學(xué)工作時(shí)，要多使用模型讓學(xué)生正確理解并靈活運(yùn)用各類幾何問題的解決方式，準(zhǔn)確把握解題的思路并快速形成適合自身的解題習(xí)慣。要引導(dǎo)學(xué)生多聯(lián)系生活實(shí)際，把抽象變具象、把感性變理性。例如，初中數(shù)學(xué)教師在課堂上可向?qū)W生講解多種幾何題目的方式，鍛煉他們的理解力和應(yīng)用力。如圖1就是常用的“將軍飲馬”模型。其常見題目變形為“一名牧馬人現(xiàn)正處于A點(diǎn)，他想將馬群趕到河流飲水，之后再回到B點(diǎn)的家中（直線代表河流）。請(qǐng)同學(xué)們?yōu)槟榴R人規(guī)劃一條最短的行走路線”。通過建立軸對(duì)稱關(guān)系，可明顯得出AP和PB的線段之和就是牧馬人的最短行駛距離。其中驗(yàn)證著一個(gè)數(shù)學(xué)幾何定理，那就是“平行四邊形中兩條線段長度之和最短”。總之，初中數(shù)學(xué)教師在開展結(jié)合知識(shí)教學(xué)時(shí)要充分利用模型思想，通過建立數(shù)學(xué)模型來幫助學(xué)生快速解決問題，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

圖1 將軍飲馬模型

（二）運(yùn)用模型結(jié)合理論與實(shí)際

初中數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行幾何知識(shí)教學(xué)工作時(shí)，模型思想屬于一類重要的解題思想，也是一種關(guān)鍵的教學(xué)方法。靈活運(yùn)用模型能更加直觀和形象地體現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與位置的關(guān)系，讓學(xué)生能對(duì)數(shù)量和位置等內(nèi)容進(jìn)行深刻的把握。對(duì)初中生來說，由于他們的空間想象力仍處于建立和發(fā)展的階段，所以在教授幾何時(shí)為了能讓學(xué)生脫離死記硬背的局面，數(shù)學(xué)教師在真正開展教學(xué)工作時(shí)要多用模型將抽象的知識(shí)形象化，加深學(xué)生對(duì)于幾何知識(shí)的理解，讓學(xué)生在快速掌握理論知識(shí)的基礎(chǔ)上有效解決實(shí)際問題。

例如，幾何學(xué)習(xí)中重要的“手拉手”模型，可以衍生出很多題目，從一般到特殊，只要學(xué)生懂得其中的基本定律，就能很好地理解這類題型的突破點(diǎn)在哪里。如圖2這道題，△ABC是等腰三角形，△ADE是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=A，求證：△BAD?△CAE。解決這種題型的關(guān)鍵在于“手拉手”模型的特點(diǎn)是由兩個(gè)等頂角的等腰三角形所組成，并且頂角相等。

圖2

眾所周知，如果初中數(shù)學(xué)教師在開展幾何知識(shí)教學(xué)時(shí)只進(jìn)行單一的講解，那么學(xué)生將很難理解。但如果能持續(xù)滲透模型思想，讓學(xué)生近距離觀察模型、分析模型，就能提高學(xué)生的理解力。如以上述“線與面的關(guān)系”教學(xué)為例，初中數(shù)學(xué)教師帶領(lǐng)學(xué)生用鐵絲和硬紙板搭建出不同角度的立體模型，讓學(xué)生從不同的角度進(jìn)行觀察和繪圖，從中獲取到更多的知識(shí)，并發(fā)現(xiàn)更多的問題。引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)思考“平面與直線”多種類型的關(guān)系，正確理解并且靈活運(yùn)用。

（三）運(yùn)用模型思想增進(jìn)知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系

通常情況下，數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間有著非常緊密的聯(lián)系。教師在開展教學(xué)工作的過程中就要讓學(xué)生不但意識(shí)到知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，而且要學(xué)會(huì)歸納和總結(jié)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，進(jìn)而快速提高他們的學(xué)習(xí)效率，有效提升他們的學(xué)習(xí)質(zhì)量。初中數(shù)學(xué)教師在開展結(jié)合知識(shí)教學(xué)工作時(shí)要重視培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象能力，通過展示不同形狀和不同特征的模型，讓學(xué)生對(duì)比思考模型之間的相同與不同之處，有效保持和不斷提高他們的學(xué)習(xí)欲望，激發(fā)他們對(duì)于數(shù)學(xué)幾何知識(shí)學(xué)習(xí)的興趣和積極性。

比如，以“梯形知識(shí)”教學(xué)為例，初中數(shù)學(xué)教師可利用一個(gè)梯形紙板和三角形紙板。首先，初中數(shù)學(xué)教師讓學(xué)生認(rèn)真觀察梯形與三角形之間的不同，其次讓學(xué)生歸納出梯形與三角形的相同之處，進(jìn)而加深對(duì)于梯形知識(shí)點(diǎn)的掌握和理解。

除此之外，模型思想在初中幾何中的應(yīng)用最為關(guān)鍵的一點(diǎn)是加快了圖形變?yōu)閿?shù)學(xué)語言的進(jìn)程，讓學(xué)生能在更短的時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)圖形語言與數(shù)學(xué)語言之間的轉(zhuǎn)化。初中數(shù)學(xué)教師在開展幾何知識(shí)教學(xué)工作時(shí)要把數(shù)學(xué)問題與模型圖形密切結(jié)合到一起，讓學(xué)生能更快速且更準(zhǔn)確地理解題目要求以及題目含義。

很多學(xué)生在解答有關(guān)幾何問題時(shí)容易陷入停滯局面，主要是因?yàn)樗麄儫o法把圖形與數(shù)學(xué)語言進(jìn)行快速準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)化。因此，針對(duì)這一現(xiàn)象，初中數(shù)學(xué)教師可有效引進(jìn)模型，讓學(xué)生更準(zhǔn)確地抓住解題的關(guān)鍵信息，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量。如圖3顯示的大小正方形這種題型，教師需要在題型的變換中找到相應(yīng)的規(guī)律。這類題目的模型為下圖所示的幾種狀態(tài)，其中虛線長度相等，且夾角為90度。有了這樣的模型思想，學(xué)生解決相關(guān)問題就容易多了。

圖3 大小正方形模型

三、模型思想在初中數(shù)學(xué)幾何知識(shí)教學(xué)中的教學(xué)反思

(一)創(chuàng)設(shè)情境，掌握獨(dú)立建模方法

在初中幾何模塊的教學(xué)過程中，應(yīng)用模型思想是課程改革后新課標(biāo)的教學(xué)要求之一，可有效提高課堂教學(xué)質(zhì)量，在教學(xué)實(shí)踐過程中必須加以貫徹與落實(shí)。初中生應(yīng)用模型思想可將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，從而更好地理解問題內(nèi)容，并通過知識(shí)遷移解決實(shí)際數(shù)學(xué)問題。但幾何模塊的知識(shí)內(nèi)容較其他單元而言，具有較強(qiáng)的抽象性，因此，在教學(xué)過程中教師必須創(chuàng)設(shè)符合知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)情境。具體而言，可利用與學(xué)生生活實(shí)際相貼近的數(shù)學(xué)事件或數(shù)學(xué)故事為學(xué)生講解數(shù)學(xué)模型思想，促進(jìn)學(xué)生提高幾何知識(shí)學(xué)習(xí)效率。

除此之外，在初中幾何知識(shí)的教學(xué)過程中應(yīng)用模型思想時(shí)，教師必須將初中生作為數(shù)學(xué)課堂的關(guān)鍵主體，利用開放性提問或者話題討論的方式，引導(dǎo)學(xué)生逐步理解模型思想的具體內(nèi)容并掌握應(yīng)用方法。在這一過程中，教師必須把握各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，完成引導(dǎo)式教學(xué)。

(二)反復(fù)練習(xí)，培養(yǎng)自覺建模意識(shí)

在初中幾何模塊的教學(xué)過程中，教師要將模型思想與教學(xué)設(shè)計(jì)有效融合，以此模型思想作為各個(gè)環(huán)節(jié)的主要教學(xué)方法，加強(qiáng)對(duì)模型思想應(yīng)用的重視程度。初中生群體具有較為特殊的思維特點(diǎn)，盡管他們已經(jīng)逐步形成抽象性思維，但是獨(dú)立解決抽象性問題具有較高的難度。因此，數(shù)學(xué)教師要將模型思想反復(fù)呈現(xiàn)給學(xué)生，從而使學(xué)生在解決問題的過程中自覺運(yùn)用該方法。

通過反復(fù)練習(xí)與答題積累，學(xué)生會(huì)逐步了解模型思想中的各個(gè)步驟，從而形成模型思想意識(shí)，更好地解決數(shù)學(xué)問題。在此基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)教師要通過生活實(shí)例問題引導(dǎo)學(xué)生在解決生活實(shí)際問題時(shí)應(yīng)用模型思想，促進(jìn)學(xué)生更加靈活地運(yùn)用建模思想，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生問題解決能力與邏輯思考能力的教學(xué)目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生建模思想和幾何知識(shí)應(yīng)用意識(shí)的目的。

(三)分組合作，設(shè)置主題建模探究

學(xué)生在應(yīng)用模型思想解決幾何數(shù)學(xué)問題時(shí)，會(huì)逐步形成發(fā)散性思維，對(duì)于幾何模塊的細(xì)節(jié)知識(shí)點(diǎn)也可通過模型思想不斷發(fā)散，達(dá)成延伸性學(xué)習(xí)。但是在班級(jí)中，每個(gè)學(xué)生的實(shí)際情況具有較為顯著的差異性，無論是數(shù)學(xué)學(xué)科基礎(chǔ)還是學(xué)習(xí)能力水平都有較大的差距。因此，在理解模型思想內(nèi)涵與方法的過程中會(huì)體現(xiàn)出差異。

為了促進(jìn)全體同學(xué)對(duì)模型思想的深入理解，數(shù)學(xué)教師可以設(shè)置數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組，利用分組合作與主題模型探究的方式，通過同伴學(xué)習(xí)的帶動(dòng)作用引導(dǎo)更多學(xué)生深刻理解模型思想。學(xué)生在小組討論的過程中，可以將自己的想法分享給他人，有利于語言表達(dá)能力與邏輯思維能力的提高，一定程度上也可提高班級(jí)凝聚力。

四、結(jié)語

幾何知識(shí)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，值得所有教師認(rèn)真研究和討論。為了有效提升幾何知識(shí)教學(xué)工作的質(zhì)量和效果，初中數(shù)學(xué)教師未來要積極拓展學(xué)生的思維，努力培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力。初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)意識(shí)到模型在提高幾何知識(shí)教學(xué)效果上發(fā)揮的重要價(jià)值，靈活運(yùn)用模型思想，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量和學(xué)習(xí)效果。