考慮失效相關性的行星擺線減速器結構多目標優化設計

摘要行星擺線減速器的可靠性直接影響工業機器人的整體性能和使用壽命，其中，兩級傳動子部件的可靠性對減速器整機可靠性具有重要影響。以某型重載行星擺線減速器為研究對象，基于兩級傳動系統子部件的受力分析，分別構建各子部件的可靠性數學模型，并通過 Copula 函數對可靠度進行相關性耦合，構建了考慮失效相關性的系統可靠性模型;在此基礎上，構建體積最小、可靠度最高的多目標優化模型，采用帶精英策略的快速非支配排序遺傳算法（Non-dominated sorted genet-ic algorithm-Ⅱ，NSGA-Ⅱ ）進行求解，并與考慮獨立性假設的系統可靠性模型做了對比分析。結果表明，優化后，減速器體積減小了11.27%，可靠度提高了5.29%;考慮失效相關性的優化設計方法可以有效提高行星擺線減速器的可靠性，并具有更高的綜合性能。

關鍵詞行星擺線減速器失效相關性可靠度多目標優化

Multi-objective Optimization Design of Planetary Cycloidal Reducer Structure with Considering Failure Correlation

Zheng Shengyu1 Zhao Gang2 Xiao Zhengming1 Tan Jialin1 Liu Jiawei1

（1 Faculty of Mechanical and Electrical Engineering，Kunming University of Science and Technology，Kunming 650550，China）

（2 705 Research Institute Kunming Branch，China State Shipbuilding Corporation Limited，Kunming 650102，China）

Abstract The reliability of the planetary cycloidal reducer directly affects the overall performance and service life of industrial robots，among which the reliability of two-stage drive subcomponents has an important influence on the reliability of the whole planetary cycloidal reducer. Taking a heavy-duty planetary cycloidal re-ducer as the research object，the reliability mathematical model of each subcomponent is constructed based on the force analysis of two-stage transmission system subcomponents，and the reliability is correlated and coupled by Copula function to construct a system reliability model considering failure correlation;on this basis，a multi- objective optimization model with minimum volume and maximum reliability is constructed，and NSGA-Ⅱ （ Non-dominated sorted genetic algorithm-Ⅱ ） algorithm is used to solve the model，and it is compared and ana-lyzed with the system reliability model considering the independence assumption . The results show that，after optimization，the volume of the reducer is reduced by 11.27%，and the reliability is improved by 5.29%，and the optimal design method considering failure correlation can effectively improve the reliability of the planetary cy-cloidal reducer with higher comprehensive performance.

Key words Planetary cycloidal reducer Failure correlation Reliability Multi-objective optimization

0引言

行星擺線減速器是一種具有復合傳動系統的精密減速器，目前業內習慣稱為RV減速器，被廣泛應用于工業機器人各長期運動的轉動關節部位。研究行星擺線減速器的結構優化設計問題，對于正向設計行星擺線減速器具有一定的理論意義和工程意義。

近些年，關于行星擺線減速器優化和失效相關性對機械系統可靠性的影響已有一定的研究。張干清等[1]以盾構機行星減速器輪系為研究目標，構建體積最小，效率、強度最大的多目標優化模型，優化后有效提高了行星減速器的性能。陸龍生等[2]以 RV減速器中的擺線輪為研究對象，構建承載能力最大的修形量優化模型，通過格點法進行求解優化，優化后有效提高了 RV 減速器的傳動效率。Wang 等[3]以擺線針輪減速器為研究對象，構建體積最小、效率最高的多目標優化模型，優化后有效提高了減速器的經濟性及傳動效率，并證明了構建多目標優化模型更符合實際情況。繆嘉成等[4]以 RV 減速器整機為研究目標，構建體積最小、扭轉剛度和傳動效率最大的多目標優化模型，優化后得到了對 RV 減速器性能提升更大的結構參數。呂鳳鵬等[5]以 RV 減速器轉臂軸承為研究對象，構建基本額定動載荷最大的優化模型，優化后可將 RV 減速器轉臂軸承的疲勞壽命提高兩倍以上。

Eryilmaz[6]通過 Copula 函數構建任意相關性系統的可靠性分析模型，分析了系統內各子系統的相關性對系統可靠性的影響規律。Zhuang 等[7]在對系統可靠性進行分配時，充分考慮各子系統之間的功能相關性，研究了其對可靠性分配的影響規律。Brech-mann 等[8]在構建系統的可靠性模型時，通過 Copula 函數對各組成單元進行相關性耦合，并通過假定各組成單元之間的失效相關性相同來研究相關性對系統失效的影響。王倩蓉等[9]以非線性相關性結構的可靠性優化為研究對象，通過最優 Copula 函數求解優化模型，并研究了不同 Copula 函數形式對結果的影響。張玉剛等[10]考慮各組成單元的不同失效形式，通過 Copula 函數構建相關性模型，并與不考慮失效相關性的系統可靠性分析結果進行了對比分析。

上述文獻對于行星擺線減速器結構優化的研究重心主要集中在載荷、效率、應力、剛度等方面，但現有的行星擺線減速器結構優化方法不能直接進行可靠度優化，且沒有考慮到系統中各子部件之間失效相關性的影響。為此，本文中將傳動系統薄弱環節的綜合可靠性視為整機可靠性，在兩級傳動系統受力分析的基礎上，考慮失效相關性問題，通過 Copula 函數進行可靠度相關性耦合，得到系統可靠性數學模型;并以體積小、可靠度高為目標函數，建立了行星擺線減速器結構多目標優化模型，通過帶精英策略的快速非支配排序遺傳算法（Non-domi-nated sorted genetic algorithm-Ⅱ， NSGA-Ⅱ ）進行求解，得到最優設計方案。

1行星擺線減速器結構分析

1.1 行星擺線減速器傳動原理

行星擺線減速器是由兩級傳動系統復合而成的封閉式復合傳動系統，輸入的傳動由第一級傳動系統通過曲柄軸傳遞到第二級傳動系統，第二級傳動由行星架進行輸出。圖1 所示為行星擺線減速器的傳動示意圖。

1.2 行星擺線減速器體積模型

本文中的研究對象是某型重載行星擺線減速器，該型號減速器被廣泛應用于工業機器人的底座。減速器中體積占比較大的零部件有擺線輪 V1、行星輪 V2、針齒殼 V3、針齒 V4、曲柄軸 V5、行星架 V6、壓蓋 V7、中心輪 V8，忽略軸承、螺栓、螺母、倒圓、倒角等對體積的影響，則 RV 減速器整機的體積為

2行星擺線減速器系統可靠性建模

2.1 行星擺線減速器傳動受力分析

本文中所研究的減速器采用針齒殼固定的形式，當該型號行星擺線減速器輸入軸（中心輪）轉速為1 935 r/min 、行星架負載為3 136 N ·m 時，減速器處于極限運轉狀態，兩級傳動中的各子部件最容易發生失效。因此，選用該工況作為可靠性研究工況。各零部件運行參數如表1 所示。

根據計算工況，作用于中心輪端面分度圓上的圓周力為

式中， Ta 為減速器的輸入轉矩;kp 為行星輪系間載荷分配不均衡系數，取值1.15;D 為中心輪分度圓直徑，取值24 mm ;n 為行星輪個數，取值3。

式（2）中減速器的輸入轉矩 Ta 為

將表1 中的參數代入式（2）～式（3）中，通過數值計算可得到圓周力 Ft=1035.7 N。

擺線輪系在實際嚙合過程中，擺線輪與針齒不局限于一個相對位置，而是做連續周期性的嚙合運動，多齒嚙合作用力交匯于節點，其受力如圖2所示。

在初始載荷作用下，處于某一位置的針齒與擺線輪接觸時，其余位置的針齒與擺線輪沿理論嚙合點公法線方向仍然存在大小不等的間隙，即初始間隙為[11]1083

式中，φi 為嚙合相位角;Δrrp 為針齒半徑;Δrp 為針齒分布圓半徑;k1為短幅系數;S 為短幅系數與嚙合相位角的函數，S=1+k12-2k1cos φi。

擺線輪嚙合點或待嚙合點在公法線方向上的總變形為[11]1082

式中，li 為第 i 個針齒嚙合點的公法線或待嚙合點的法線與擺線針輪中心的距離，即力臂;β為擺線輪的轉角;δmax 為嚙合點的最大變形量。

當擺線輪嚙合點公法線方向的總變形大于初始間隙時，對應位置的針齒與擺線針輪才能進入嚙合。如圖3所示，該工況下同時參與嚙合的針齒位置為3 號針齒～11號針齒。因此，始終有9對齒數同時參與嚙合，該結果可作為后續受力分析的前提依據。

考慮擺線輪與針齒之間初始間隙對嚙合過程中嚙合力的影響，當嚙合相位角為φi 時，接觸力 Fi 變形和初始間隙之差δi-Δ（φi ）成正比關系，則同時參與嚙合的第 i 對輪齒的受力可以表示為[12]

其中，單個擺線輪所受的嚙合力與輸出轉矩之間關系由力矩平衡條件得到，有

式中，T 為行星架負載; Tc 為擺線輪負載。

根據式（4）和式（5），可以得到 Fmax 的表達式為

如圖 4所示，擺線輪系的齒面接觸應力出現在 3號針齒～11 號針齒。從 3 號針齒～11 號針齒，可以近似看作擺線輪與針齒的嚙合過程。3號針齒接觸狀態可以表示擺線輪與針齒開始嚙合，11 號針齒接觸狀態表示擺線輪與針齒脫離嚙合。從而得知始終有9對齒數同時參與嚙合，與圖3所示的結果吻合，兩結果之間可相互驗證正確性。其中，最大接觸應力出現在5號針齒位置，其值為813 MPa。

2.2 行星擺線減速器動力學模型分析

該型行星擺線減速器各零件的建模和裝配將在三維建模軟件中完成。為研究方便，假設：減速器模型裝配無間隙，摩擦因數為0 ，并將次要因素螺紋孔和倒角等去除，從而簡化模型進行更快地計算。將簡化的三維模型導入虛擬樣機中進行動力學仿真，其虛擬樣機動力學仿真模型如圖5 所示。

為便于觀察，取減速器平穩運行階段0.5 s 內中心輪與一個行星輪之間的動態圓周力，如圖6 所示，其圓周力的波動范圍為954.3～1 212.2 N 之間，取其均值可得平均圓周力為1 083.25 N ，與理論計算值 1035.7 N 的誤差為4.5%。

選取減速器平穩運行階段5 s 內擺線輪與5 號針齒的接觸應力時域響應，如圖7 所示。從圖7 中可以看出，接觸應力在嚙合過程中先增大后減少，最大接觸應力在859 MPa 上下波動，與理論計算值813 MPa 誤差為5.6%。

文獻[14]中的擺線輪系仿真結果與理論計算值誤差為10%。本文中在改進動力學模型的基礎上，優化部分結構參數，獲取的仿真結果與理論計算值誤差為5.6%，小于10%，誤差較小，在驗證本文中擺線輪系的基礎上可間接驗證行星輪系結果正確性，由此可驗證所建立動力學仿真模型的正確性，對工程實際具有指導意義。

考慮到減速器各零部件之間的耦合作用影響，為令后續計算結果更為理想，選擇數值較大的動力學仿真結果中的中心輪圓周力 Ft=1083.25 N 及擺線輪系最大齒面接觸應力σH0=859 MPa 作為后續原始設計方案的可靠度計算參數值。

2.3 考慮失效相關性的系統可靠性建模

據統計數據顯示，行星擺線減速器兩級傳動系統中，行星齒輪和擺線輪是主要薄弱環節，兩齒輪的可靠性與尺寸的大小在很大程度上決定減速器整機的可靠性與體積的大小。因此，本文中以行星齒輪齒面、齒根和擺線輪齒面為分析對象，將上述對象的綜合可靠度視為該減速器整機系統可靠度，建立了行星擺線減速器兩級傳動子部件薄弱環節的可靠性數學模型。

本文中所研究的減速器主要零部件材料特性如表 2所示。

漸開線行星齒輪的齒面接觸疲勞應力、齒根彎曲疲勞應力和擺線輪的齒面接觸應力近似服從對數正態分布，其均值和變異系數計算式為[15]

行星輪齒面接觸疲勞極限、齒根彎曲疲勞極限和擺線輪疲勞強度極限近似服從對數正態分布，其均值和變異系數計算式為[16]

式（10）～式（14）中，各項與均值和變異系數相關參數的含義、取值與計算見相應文獻[17]。

將上述對數正態分布標準化得到可靠度系數，通過標準正態分布求解得到該部件的可靠度為

式（13）和式（15）中，下標 E、F、H 分別為行星齒輪齒面、齒根和擺線輪齒面的可靠度計算。

行星擺線減速器結構復雜，運行時傳動系統各子部件失效之間具有不同程度的相關性，因此，需在考慮失效相關性的基礎上，建立系統可靠性模型。本文中選擇阿基米德族 Copula 函數中適合描述長壽命機械系統相關性的 Gumbel Copula 函數[18]，對減速器行星齒輪齒面、齒根和擺線輪齒面的可靠度進行耦合。

Gumbel Copula 函數的多維分布函數為[19]150

根據阿基米德族 Copula 函數固有特性中的擴展

性，結合式（16）及文獻[19]185-186的內容，可推導得到多維 Gumbel Copula 函數的擴展過程，有

從以上推導可以得知，任何一個 m 維的 Gumbel Copula 函數都可以進行逐步分解，最后通過 m-1個二維的 Copula 函數來完全等效;且分解后的等效函數精度保持不變，這樣可以減少多維 Gumbel Copula 函數在建模和求解上的難度。

本文中模型涉及到兩個子部件、3種失效形式，因此，構建的是三維相關性模型。根據式（17）推導結果，本文中將三維相關性模型簡化為兩個相關的二維相關性模型。

考慮失效相關性的系統可靠性模型為

R （X ）= C2（REF，RH ）= C2[ C 1（RE，RF ），RH ]（ 18）式中，RE 、RF 、RH 均為子系統的可靠度; C1為耦合行星齒輪齒面和齒根的 Copula 二維分布函數; C2為耦合行星齒輪和擺線輪的 Copula 二維分布函數;且 C1、C2的范圍在（0，1]之間。

首先，需要計算式（18）中的二維分布函數，即

式中，α1 為耦合行星齒輪齒面和齒根的 Gumbel Cop- ula 函數相關系數;α2為耦合行星齒輪和擺線輪的 Gumbel Copula 函數相關系數;且α1 、α2的范圍在[0，1]之間，可通過建立對數似然函數并求解其最大值計算得到，即

式中，n 為隨機數數量，由隨機模擬獲取500個隨機數;c1為耦合行星齒輪齒面和齒根的 Copula 密度函數;c2為耦合行星齒輪和擺線輪的 Copula 密度函數，其計算式為

將式（19）～式（21）代入到式（16）中，得到考慮失效相關性的系統可靠性模型為

3結構多目標優化模型

3.1 優化設計變量

設計參數由行星擺線減速器行星齒輪和擺線輪的結構參數組成，取中心輪齒數 z1、行星輪系模數 m 、中心距 a0、行星輪齒寬 b 、短幅系數 k1、偏心距 e 、擺線輪厚度 B 這7個獨立參數作為設計變量，有 X =（x 1，x2，x3，x4，x5，x6，x7）T =（z 1，m，a0，b，k 1，e，B ）T

3.2 優化目標函數

為使行星擺線減速器降低經濟成本，以減速器的最小體積為目標函數，其表達形式為

為提高行星擺線減速器可靠性使用壽命，預防重大工程事故，以可靠度最高為目標函數。由于 NS- GA-II 算法只能求解最小值，因此，將可靠度最高目標函數轉換為下述形式

則優化目標函數可表示為

3.3 優化約束條件

約束條件是由各設計變量構成的函數形式，與系統結構有關，是各設計變量滿足合理性的條件。本文中針對系統結構尺寸、零件強度、傳動穩定性等影響目標函數的各結構參數施加了約束條件，其優化設計的具體約束條件如下所述：

（1 ）擺線輪厚度約束條件。擺線輪厚度 B 會直接影響擺線輪傳動系統的強度、行星擺線減速器體積。一般取 B=（0.05～0.1 ） DP ，則約束方程為

（2 ）短幅系數約束條件。短幅系數 k1的取值影響擺線輪的齒形，而齒形則直接影響擺線輪傳動系統的穩定性。因此，需根據擺線輪的齒數 Zc 選擇短幅系數 k1的可行范圍，如表3 所示。

由表3 中的齒數范圍可確定短幅系數 k1的極大、極小區間，則短幅系數 k1的約束方程為

（3 ）擺線輪不發生頂切或產生尖角的約束條件。約束方程為

（4 ）行星齒輪不發生根切的約束條件。約束方程為

（5 ）行星齒輪模數約束條件。約束方程為

（6 ）行星齒輪齒寬約束條件。為保證行星擺線減速器行星齒輪傳動系統的強度，并且避免行星齒輪出現偏載的情況，通常使行星齒輪齒寬 b 的大小處于齒輪模數的5～17倍之間，則約束方程為

G9（ X ）= b -17m ≤0 （35）

G 10（ X ）= 5m - b ≤0 （36）

（7 ）載荷分配約束條件。行星擺線減速器第二級擺線輪傳動系統的輸入轉矩過大會導致系統間載荷分配不均，加速失效。為了降低其轉矩，第一級行星齒輪傳動系統的傳動比應不小于1.5 ，則約束方程為

G 11（ X ）= -z2/z 1+ 1.5≤ 0（ 37）

（8 ）結構尺寸約束。為協調行星擺線減速器兩級傳動系統之間的結構尺寸，通常使兩級傳動系統的中心距滿足：a0=（0.25～0.3 ） Dp ，則約束方程為

G 12（ X ）= 0.25Dp - a0≤ 0（ 38）

G 13（ X ）= a0- 0.3Dp ≤0 （39）

式（27） ～式（39）中，Dp 為針齒中心距;drp 為針齒直徑;zp 為針齒齒數;z2為行星齒輪齒數。

3.4 結構多目標優化數學模型

綜上所述，RV 減速器的多目標優化模型為

4優化結果對比與分析

4.1 NSGA-Ⅱ算法優化過程

NSGA-Ⅱ算法采用快速非劣分層排序機制，能夠更好地得到最優前沿解集——Pareto 解，同時，通過擁擠度算子，使 Pareto 解的分布情況更加均勻，并且相較于普通多目標遺傳算法，NSGA-Ⅱ算法在求解優化復雜的非線性目標上更有優越性[20]。本文中采用 NSGA-Ⅱ算法對多目標優化模型進行尋優。表4 所示為 NSGA-Ⅱ算法基礎參數設定，圖8 所示為當前優化問題的流程圖，并描述了解決該優化問題的步驟。

4.2 系統優化結果

為驗證考慮失效相關性優化方法的正確性及可行性，本文中再建立考慮獨立性假設的系統可靠性模型與之進行對比驗證。獨立性假設即假設各子部件之間相互獨立，失效的相關性為0 ，當 3個子部件中的任意一個失效就會導致整個系統失效。因此，考慮獨立性假設的系統可靠性模型為

采用 NSGA-Ⅱ算法分別求解兩種考慮情況的優化模型，由于目標函數是兩個，所以，Pareto 解均為一條曲線。圖9 所示為在兩種考慮情況下的目標函數 f1（ x ）與f2（ x ）之間相互制約的多目標優化結果。由圖9 中可以看出，失效相關性優化與獨立性假設的 Pareto 解的曲線趨勢基本相同，從而可以驗證考慮失效相關性優化方法的正確性及可行性。該結果較為光滑平順，擁有較好的連續性且分布均勻，可看出 NS-GA-Ⅱ算法在求解 Pareto 解上具有良好性能，根據 Pareto 解特性，該曲線上的點均為優化后的最優解。由于實際中體積與可靠度為正相關關系，因此，考慮體積和可靠度的設計要求，選擇該曲線轉折處點為優化最優解[21]。

如表5 所示，根據所選取的兩個優化最優解，可分別得到優化后各設計參數數值，將該數值圓整后得到新的減速器體積及可靠度與原始數據對比。在考慮失效相關性的系統優化的前提下，設計變量中的中心輪齒數 z1、中心距 a0、行星輪齒寬 b 、短幅系數 k1、擺線輪厚度 B 相比于原始設計的數據均有不同程度的減小;而行星輪系模數 m 、偏心距 e 相比于原始設計的數據均有不同程度增大，減速器的整體體積相比于原始設計減小了11.27%，可靠度提高了5.29%;相比于考慮獨立性假設的系統優化，考慮失效相關性的系統優化在體積上增大1.93%;可靠度增大了0.94%。

如圖10、圖11所示，根據優化設計圓整后得到的各參數，可得到兩種情況下的各體積占比較大的零部件體積及主要薄弱環節可靠度的優化前后數據對比，各零部件體積均有不同程度減小，可靠度均有不同程度增大，其中，擺線輪可靠度增大幅度均較為明顯，本文中所提出的多目標優化方法效果顯著。兩種情況相互對比，考慮獨立性假設優化的各零部件體積及可靠度均較小，因此，考慮獨立性假設的優化會低估系統的體積和可靠度，過度降低整機體積會不利于擺線包絡行星減速器的可靠性預測;考慮失效相關性的系統優化更符合工程實際、具有更高的綜合性能。

5結論

在考慮行星擺線減速器兩級傳動中主要子部件薄弱環節的結構可靠性及其失效相關性的基礎上，建立多目標優化模型，對減速器結構的優化設計問題進行了研究，具體結論如下：

（1 ）提出了一種針對行星擺線減速器兩級傳動系統中主要薄弱環節的結構優化正向設計方法，可以有效降低減速器整機體積、提高減速器可靠度。研究成果為減速器正向設計提供了參考依據。

（2 ）在該型減速器極限運轉狀態時，動力學仿真結果中：中心輪平均圓周力為1 083.25 N ，與理論計算值1 035.7 N 之間的誤差僅為4.5%，擺線輪齒面最大接觸應力出現在5 號針齒位置，其值為859 MPa，與理論計算值813 MPa 之間的誤差僅為5.6%。

（3 ）與原始設計相比，考慮失效相關性的系統優化在體積上減小了 11.27%;可靠度增大了 5.29%，行星擺線減速器兩級傳動中主要薄弱環節之間的失效相關性對系統可靠性的影響較為顯著;與獨立性假設優化相比，失效相關性優化具有更高的綜合性能。因此，在進行行星擺線減速器分析設計時，應充分考慮失效相關性影響。

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收稿日期：2021-07-12修回日期：2021-08-27

基金項目：國家自然科學基金（51965025）

國家重點研發計劃“智能機器人”重點專項（2018YFB1306100）

云南省重點研發計劃- 國際科技合作專項（202003AF140007）

云南省基礎研究計劃面上項目（202201AT070103）

作者簡介：鄭勝予（1997—），男，吉林長春人，碩士研究生;主要研究方向為機械動力學。

通信作者：肖正明（1982—），男，江西吉安人，博士，教授，碩士生導師;主要研究方向為機械動力學、振動噪聲分析與控制。