談高等教育視野下中學概率教學改革的實踐與思考

賀 勤,宋劍平

(1.深圳市香港中文大學附屬知新學校，廣東 深圳 518172；2.深圳市龍華區龍騰學校，廣東 深圳 518000)

隨著社會的發展和科技的進步，概率論與數理統計的應用更廣泛.從20世紀80年代，全球數學教育研究者逐漸認識到“將統計與概率的初步認識作為數學基本素養的組成部分引入到中小學課程”的重要性.2003年我國頒布的《普通高中數學課程標準(實驗)》，重點學習古典概型、幾何概型的方法及應用，在《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》[1]中，將數據分析作為數學學科的核心素養之一，將“概率與統計”內容作為四大主線之一，貫穿于整個高中數學課程結構之中，培養學生的概率與統計思維.對于概率論部分的學習，要求學生不僅能解決現實生活和經濟發展中的問題，還要為高等教育階段概率與統計課程的學習打下扎實的基礎.因而，這就需要研究分析高等教育視野下中學概率統計教學現狀與存在的問題，對中學概率統計的教學進行改革，探索中學數學與高等教育的銜接問題，有很好的應用研究價值.

1 高等教育視野下中學概率教學現狀與存在的問題

目前中學階段的概率教學方面存在的問題主要表現是：首先，一些教師的概率知識體系不完整，對教學大綱的理解把握不到位.其次，學生的知識基礎與認知能力相對欠缺，導致與高等教育階段的概率與統計教學銜接不當的問題，為此， 現對中學概率教學現狀與存在的問題給予分析.

1.1 教師的知識體系與新課標教學大綱的教學要求存在差距

中學階段對概率知識的教學內容與要求：普通高中數學新課程標準規定概率知識的主要教學內容包括隨機事件與概率、古典概型與幾何概型、條件概率與事件的獨立性、隨機變量的數字特征以及概率應用等五個部分.新課標對學生充分了解隨機事件發生的不確定性和發生頻率的穩定性提出了要求，能理解并掌握概率的定義、概率及頻率兩個概念的區別與聯系等.

高等教育階段概率論的教學內容相對不同院校、專業及教材有一定的差異，但主體內容是一致的，概率的內容主要包括概率的基本概念、隨機變量及其分布、隨機變量的數字特征、中心極限定理、多維隨機變量及其分布，大數定律等.要求學生深入的了解樣本空間及隨機試驗的概念，能理解并掌握隨機事件的概念，能計算隨機事件的概率，清晰地理解概率概念的公理化過程，及其與頻率的區別與聯系，對概率的基本性質熟練掌握和運用.掌握中心極限定理及大數定律的核心思想并能解決相應的實際專業問題.

由于中學階段存在中高考指揮棒的作用，而中高考對概率部分的考查往往相對比較簡單，僅以古典概型和幾何概型作為考查對象，對期望和方差也僅僅停留在考查基本計算公式和基本意義的基礎上，對原理和應用基本上不做重點考查.中學教師往往注重應試的部分內容，對深入學習和挖掘概率發展的歷史及數學邏輯很少探究，相當一部分老師不了解概率論中的有些基本的悖論問題，不了解概率的公理化定義的前因后果.一些中學數學教師所掌握的概率論知識體系和教學能力與新課標教學大綱的要求存在一定的差距，因而，要求中學數學教師掌握的完善概率論知識體系，全面提升其概率教學水平很有必要.

1.2 概率論中的幾個基本概念的理解與認識

1.2.1 關于概率定義的理解

初中教材給出的是概率的古典定義，高中教材介紹的是概率的統計定義，而大學教材要給出概率的公理化定義，中學階段的兩種定義都是描述性定義，更能被學生接受和理解，但缺乏數學邏輯的嚴密性.進入高等教育階段，隨著學生學習微積分知識和抽象邏輯思維能力的增強，能很好地理解概率的公理化定義.但是在中學階段應該讓學生認識到概率的描述性定義存在的局限性，在高中階段適當地滲透一些概率的公理化定義過程，逐步培養學生的嚴密的邏輯抽象思維能力，培養學生觀察社會隨機現象的數學思維能力.

1.2.2 關于隨機變量定義的理解

隨機變量是概率中的一個基本概念，中學教材只介紹其描述性定義，沒有解釋清楚“變量”的意義和表現形式，不是嚴格的數學定義，大學階段在介紹樣本空間之后，將隨機變量定義成樣本空間上的函數，將研究事件的概率問題轉化為隨機變量的分布函數問題，從而促進了概率論的發展.

1.2.3 關于數學期望與方差定義的理解

中學階段僅學習有限的離散型隨機變量，期望的定義也僅限于簡單有限的離散型隨機變量，高等教育階段不僅研究離散型隨機變量，將變量的個數推廣到可數的情形，還研究連續型隨機變量，定義更具一般性，這也是由于中學階段學生不具備極限、級數、微積分等知識的原因.

中學階段給出了方差和標準差的計算公式和步驟，但中學階段的方差實際上使用的是二階中心矩的概念，只是借用了方差和標準差的符號，這樣顯得非常生硬，高等教育階段給出的是期望與方差的統一定義，概括了離散型和連續型兩種情況，揭示了方差是關于隨機變量與期望偏差平方的數學期望這一本質.

1.3 中學概率與高等教育的教學內容的差異

在概率論基本概念、古典概型、幾何概型、條件概率、隨機變量的數字特征及簡單概率應用方面，教學內容基本相同，這部分教學兩個階段的教學內容存在重復現象.但在中學階段對于全概率公式、貝葉斯公式則不著重介紹，對中心極限定理、多維隨機變量及大數定律則沒有引入，同時中學階段對于概率知識的引入和講解著重從試驗和實踐出發，淡化公理化的定義，淡化理論推導，這樣做雖然便于學生接受和理解，但對概率定義的理解不到位，學生對概率的基本性質把握不清晰.

2 高等教育視野下中學概率教學改革的建議

2.1 在教學思想和教學方法方面

作為中學數學教師應當擺脫應試教育的束縛，按照新課標的大綱掌握較完善的概率論知識體系，考慮學生的未來發展，在高等教育思想指導下考慮中學數學的內容處理，改進教學方法做好中學數學到高等數學的教學銜接.中學課堂教學應該更具開放性，在教學內容的選擇上，教師應更能兼顧數學邏輯的嚴密性滲透和在實際生活中的應用.在教學方法的選擇上也應該多樣化，借助現代的多媒體技術，展示概率論的研究對象是隨機現象的不確定性思維，培養學生的學習興趣，譬如，適當介紹概率論的起源及發展歷史，介紹貝特朗悖論等，培養學生運用概率統計的思想方法解決實際問題的能力.

2.2 在教學內容處理方面

(1)概率定義的教學中滲透概率定義的公理化過程.中學數學教師應當知道概率描述性定義的不足，在教學中引導學生質疑描述性定義，適當介紹概率定義的發展歷程，給學生滲透概率公理化定義的思想，這樣可以讓學生感受到數學家們對數學嚴謹性的追求，培養學生不斷追求真理的價值觀念.

(2)古典概型、幾何概型的教學中滲透隨機變量的分布函數的概念.高中階段已經學習了基礎的集合知識，可以借助集合的觀點來處理事件及事件間的關系，把事件的運算類比為集合的運算，可以適當介紹樣本點和樣本空間的概念并用它來描述事件.在幾何概型的定義中，“事件A發生的概率與d的測度(長度、面積、體積等)成正比，與d的形狀和位置無關”很重要，有了一維隨機變量的概念，就很容易發現：一維的幾何概型就是一維的均勻分布，結論可以推廣到二維和三維的情形[3].

(3)期望、方差的教學中由離散型隨機變量向連續型拓展.中學教材通過計算公式來定義期望和方差，期望的本質就是均值，對于離散型隨機變量就是加權平均，方差的本質是期望的期望，反映的是隨機變量取值的集中或分散程度的量.教師可以引導學生考慮隨機變量從有限到可列，從離散型到連續型隨機變量的情形，適當地給學生進一步思考的問題，激發學生的好奇心和學習興趣.

(4)頻率分布直方圖的教學中滲透密度函數曲線的概念.在頻率分布直方圖的教學中，如果將樣本容量取得大一些，分組的組距取小一些，頻率分布直方圖上頂邊中點的連線就越來越光滑，教師可以讓學生通過自主作圖，讓組距逐漸變小，體驗頻率直方圖的變化趨勢，感受密度函數曲線和極限的思想.

(5)均值及其估計的教學中引出最小二乘思想.均值是一個重要的統計量，學生在初中學習過平均數，在高中的教學中，教材對均值的合理性有了詳細的解釋，教師可以引出最小二乘的思想，這樣的思想滲透有助于學生進入高等教育以后的概率統計課的學習.

總之，中學數學教師應在高等教育的視野指導下，結合數學史的知識和發展特點，介紹一些研究概率問題的背景和實際案例，精心規劃設計教學內容，改進教學方法，做好中學與大學教育的銜接.

2.3 中學概率教學案例分析

在概率定義的教學中，除介紹描述性定義以外，可以結合概率論的起源與發展歷史，介紹貝特朗悖論及概率公理化定義的過程，貝特朗悖論于1899年提出，該悖論對幾何概率的概念提出了挑戰.

圖1 貝特朗悖論問題的三種解答

在圓的所有弦中任選一條弦，求這條弦的長度大于圓內接正三角形邊長的概率.該問題有三種解法.

由此看來，同一事件有不同概率，這就是著名的貝特朗悖論.顯然這三種解答都是正確的，出現這一情況主要原因是問題中沒有明確在圓內“作弦”規則，不同的“等可能性假設”引出了不同的樣本空間(其中“均勻分布”可理解為“等可能取點”).解法一是在直徑上等可能的取點作為弦的中點，直徑上的點組成了樣本空間.解法二是在圓周上等可能的取點作為弦的另一端點，圓周上的點組成了樣本空間.解法三是在大圓內等可能的取點作為弦的中點，大圓內的點組成了樣本空間，三種不同的解法引出了三個不同的樣本空間.貝特朗悖論提醒人們，在定義概率時要事先明確所研究問題的樣本空間，否則，就會得到不同的結果.中學概率的教學，即使不能完整的介紹概率的公理化定義，但教師在教學或命題過程中，也應該清楚明白這個原理，避免出現不應該出現的錯誤命題.譬如，下面這道試題的問題.

要求在白紙上任意畫了一個銳角，求所畫的角在45°～60°之間的概率.該題的命題者顯然不懂貝特朗悖論，題設條件沒有明確銳角的畫法，所研究問題的樣本空間不確定，因而，該問題有多個答案.

高中階段的教學，由于學生已經接觸函數的導數與微積分學中的部分內容，雖然還沒有建立起完整的極限理論，但教師也可以對積分、測度、集合函數及概率的公理化定義的部分內容進行適當的滲透.

19世紀末，勒貝格提出了勒貝格測度和勒貝格積分的概念.基于測度論的啟發，蘇聯數學家科爾莫格洛夫在1933年給出了概率的公理化定義[2]，用概率應具備的三條基本性質來定義.其中包括兩個方面，一是事件的公理化表示(利用集合論)，二是概率的公理化表示(測度論).科爾莫格洛夫的思想主要是所有的事件都是集合，所有的可能事件的集合(以事件集合為元素的集合)就是概率空間.概率則是對該概率空間上的各種集合的一種度量.

在中學階段的概率教學中如果能滲透悖論對概率的公理化過程產生的影響，使學生體會到概率系統內概念及理論的嚴密性，這對學生分析解決概率問題有很好的指導作用，對學生的后續學習也有幫助.

3 總結與展望

通過對中學概率教學在教學思想、教學方法及教學內容處理上的改革，能讓學生理解概率論知識的系統性，體驗嚴密數學的發展歷程，培養學生的獨立思考能力，敢于創新的能力，并培養學生的隨機思維能力.但我們仍然要看到，由于中學教師與大學教師很少能有機會進行教學交流和溝通，使得中學教育與高等教育的銜接教學始終存在一些問題.努力探索中學數學與大學數學教學的銜接問題，是提高高等教育教學質量的關鍵，也是每一個數學教育工作者的責任與義務.