線性隨機系統狀態和參數魯棒估計算法研究

耿躍峰

(許昌學院 電氣與機械工程學院，河南 許昌 461000)

眾所周知，工業中復雜的非線性系統一些物理參數很難確定，甚至有些參數完全未知，如某些部件的尺寸、泄漏系數、摩擦系數等等，這給系統的控制帶來很大困難[1].復雜非線性系統的動態行為通常由一個具有時變參數的線性隨機狀態空間模型來描述[2].因此，需要同時獲得參數和狀態估計的方法.

卡爾曼濾波(KF)是目前最常用的一種濾波方法，均需要具有線性模型的實時卡爾曼濾波框架，在車輛控制[3]、疲勞檢測[4]、網絡安全[5]、機器人控制[6]等領域廣泛應用.當模型參數與過程參數不匹配時卡爾曼濾波估計精度則會大大下降甚至發散.粒子濾波器(PF)是一種基于概率密度的點質量(或“粒子”)表示的序列蒙特卡羅法(SMC)聯合狀態參數估計技術，可應用于任何狀態空間模型.PF的應用使得狀態實時跟蹤和未知系統參數準確識別成為可能[7].文獻[8]提出一種序列蒙特卡羅聯合狀態和參數估計方法，能有效地處理參數突變.文獻[9]把改進的卡爾曼濾波器應用于系統狀態和參數估計.文獻[10]研究了在存在高斯噪聲的情況下非線性系統的聯合參數狀態估計.

但是非高斯噪聲的存在會破壞線性遞歸算法的良好特性，因此需要設計一種對非高斯噪聲不太敏感的魯棒估計算法，對復雜系統狀態和參數進行精確估計.為了追求精確的魯棒估計，針對含有元件和傳感器故障的線性隨機時變系統，以MMF為基礎，設計出一種魯棒估計算法，對被研究系統的狀態和參數進行聯合估計.

1 線性隨機時變系統的魯棒估計算法

考慮的含有元件和傳感器故障的線性隨機時變系統為

x(k+1)=A(k)x(k)+B(k)u(k)+C(k)θ(k)+w(k)，

(1)

y(k)=D(k)x(k)+Γ(k)θ(k)+e(k)，

(2)

式中，x(k)∈Rn、θ(k)∈Rp分別是未知狀態向量和參數向量，元件故障fC(k)=C(k)θ(k)，傳感器故障fS(k)=Γ(k)θ(k)，并見圖1.

從圖(1)可以看出，系統未測量輸出yS(k)在數學上可以描述為yS(k)=D(k)x(k).從實際的角度來看，對故障特征進行假設而不將其視為未知的時間函數是不合理的.因此線性隨機系統參數變化的一般形式定義為θ(k+1)=Gθ(k)+η(k)，其中G是一個先驗已知的非奇異矩陣，包含了所識別現象的先驗信息.隨機過程η(k)為零均值白噪聲，其協方差矩陣Φ(k)為η(k):N(0,Φ(k)).系統輸入向量和測量輸出向量分別為u(k)∈Rm、y(k)∈Rr，一般情況下，A(k)、B(k)、C(k)、D(k)、Γ(k)已知且為具有適當維數的時變矩陣.假設過程噪聲為零均值高斯白噪聲w(k):N(0,Q(k))，其中Q(k)為協方差矩陣.測量噪聲e(k)具有近似正態分布的非高斯分布[11].

圖1 研究系統

(3)

式中，概率密度p(e)表示首項概率密度p1(e):N(0,R1(k))和污染概率密度p2(e):N(0,R2(k))的集合，污染度ε的取值范圍為0<ε<1，而R1(k)和R2(k)分別是非高斯分布公式(3)中首項和污染項的協方差矩陣.

對于系統(1)-(2)，對θ(k)和x(k)進行聯合估計的簡單方法是考慮擴展系統.

(4)

y(k)=H(k)z(k)+e(k)，

(5)

目標是在存在非高斯噪聲時推導出線性隨機系統狀態和參數的魯棒估計算法，并保持較低的靈敏度.Masreliez和Martin針對上述情況提出了魯棒Kalman濾波器[12].與標準KF相比，當w(·)和v(·)具有高斯分布時，該濾波器對非高斯噪聲的存在具有較小的靈敏度.擴展線性系統公式(4)和公式(5)的濾波方程為

(6)

P(k|k-1)=F(k-1)P(k-1|k-1)FT(k-1)+Ξ(k-1)，

(7)

K(k)=PT(k|k-1)HT(k)TT(k)，

(8)

(9)

(10)

P(k|k)=P(k|k-1)-P(k|k-1)HT(k)T2(k)×H(k)P(k|k-1)Ef0{ψ′(v(k))}，

(11)

(12)

E(v(k))=T(k)E(ε(k))=0，

(13)

E(v2(k))=T2(k)[H(k)P(k|k-1)HT(k)+R1(k)]-1/2.

(14)

因此T(k)轉換為

T(k)=[H(k)P(k|k-1)HT(k)+R1(k)]-1/2.

(15)

轉換殘差的協方差矩陣為I.

基于上述導出的方程，很容易地表示狀態向量和參數向量的估計.

(16)

(17)

用這種方法導出了具有元件和傳感器故障公式(1)和公式(2)的線性隨機系統狀態和參數的魯棒估計算法.

2 實例仿真

將所研究算法應用于液壓系統中進行驗證，液壓系統示意圖如圖2所示.將相關算法代入后，三種不同算法對液壓伺服系統的狀態估計、參數辨識以及污染值為ε1=ε2=0.15時的均方誤差如圖3、4所示.

圖2 液壓伺服系統示意圖

圖3 狀態估計

圖3和圖4分別為狀態估計輸出曲線和參數辨識輸出曲線.在兩個圖中，實線、虛線、點劃線、雙點劃線分別代表狀態真值或參數真值、所提出的魯棒估計算法、高斯混合粒子濾波算法、基于MMF聯合算法.從圖3中可知，所提出的魯棒估計算法，能很好地跟蹤伺服系統狀態，從而得到狀態的近似無偏估計值.而另外兩種算法與系統狀態真值誤差較大.從圖4中可以看出，所提出的魯棒估計算法，可以對系統真值進行很好的辨識，而另外兩種算法辨識輸出與真值誤差較多.圖3和圖4仿真結果表明，所提出的魯棒估計算法對非高斯噪聲和故障的存在敏感性較低，說明算法魯棒性和容錯能力較強.

為了更準確地說明所提出魯棒估計算法(REA)的優越性，將其與擴展卡爾曼濾波器(EKF)、粒子濾波器(PF)、交互式多模型濾波器(IMMF)、高斯混合粒子濾波器(GMPF)、Masreliez-Martin濾波器(MMF)在迭代1 000次，污染度ε分別為0.05、0.1、0.2時的輸出進行雙比，具體結果見表1.

圖4 參數辨識

表1 不同污染程度的均方誤差

從表1可以看出，當污染度ε分別為0.15、0.26時，REA得到的最差結果分別為-3.832 1、-3.525 3，甚至優于其他算法得到的最佳結果(如EKF輸出的-0.957 6、-0.921 0)，還有，REA輸出值方差也遠遠低于其他算法.此外，從表1也可以看出，在有較高的污染程度時REA仍具有較低的方差.因此，從數據上說明了REA對非高斯噪聲和故障的存在具有較低的敏感性和較好的魯棒性.

3 結語

針對含有元件和傳感器故障的線性隨機時變系統，以Masreliez-Martin濾波器(MMF)為基礎，提出了存在非高斯噪聲時系統狀態和參數魯棒估計算法.通過液壓伺服系統的例子，驗證了所提出的魯棒估計算法辨識得到的狀態空間模型參數的效果.仿真結果表明，所提出的魯棒估計算法能很好地辨識液壓伺服系統狀態和參數，并且當非高斯噪聲出現時，所提出的魯棒策略靈敏度低，從而證明了該算法優于其他如卡爾曼濾波器等，在存在元件和傳感器故障值的隨機線性時變系統中具有廣泛的應用前景.