退相干條件下兩比特糾纏態的量子非局域關聯檢驗*

胡強 曾柏云 辜鵬宇 賈欣燕 樊代和

(西南交通大學物理科學與技術學院,成都 610031)

量子糾纏態的量子非局域關聯特性在當前量子信息和量子計算協議中起著重要的作用.然而,任何實際的物理系統都不可避免地與周圍環境相互作用,使得在量子信道中的傳輸過程中,量子態會發生相干性退化,進而弱化量子態的量子非局域關聯特性.本文利用一種基于Hardy-type 佯謬的高概率量子非局域關聯檢驗方案,分別研究了兩比特偏振糾纏態在經過振幅阻尼信道(ADC)、相位阻尼信道(PDC)和退極化阻尼信道(DC)后的量子非局域關聯檢驗情況.研究結果表明,DC 傳輸信道對量子態的量子非局域關聯檢驗特性影響較大,而PDC 傳輸信道對量子態的量子非局域關聯檢驗特性影響較小.最后,本文還給出了利用弱測量結合弱測量反轉操作克服ADC 退相干時,偏振糾纏態成功進行量子非局域關聯檢驗的條件.結果表明,當弱測量的強度增大時,可有效地降低ADC 退相干效應對偏振糾纏態成功進行量子非局域關聯檢驗造成的影響.

1 引言

量子非局域關聯是量子力學理論所預言的重要特征之一[1],同時也是量子信息論的重要基礎,其在量子通信[2]、量子計算[3]和量子密碼學[4]中均起著重要的作用.例如,量子密鑰分配[5]、量子安全直接通信[6,7]與量子安全多方計算[8]等協議都是基于量子糾纏態的量子非局域關聯特性而進行的.

然而,任何實際的物理系統都不可避免地與周圍環境相互作用,因此,制備的量子態在量子信道的傳輸過程中會發生退相干現象[9-11],進而弱化量子糾纏態的量子非局域關聯特性.通常而言,根據退相干類型的不同,量子態的傳輸信道可主要分為三種,分別為振幅阻尼信道(ADC)、相位阻尼信道(PDC)和退極化阻尼信道(DC)[12,13].ADC 描述的是量子態在信道傳輸過程中,將能量耗散到環境中,進而導致量子態相干性的退化.PDC 描述的是,在不造成能量損失的情況下,量子態相干性的損失,反映為量子態密度矩陣非對角元隨時間的衰減.DC 描述的是量子態的極化矢量受環境影響而變小的過程.

一方面,傳輸信道的退相干效應對量子糾纏態的影響在理論和實驗中都有著廣泛的研究.例如,Dodd和Halliwell[14]理論研究了雙粒子系統在退相干條件下糾纏的演化機制.Hu 等[15]綜述了量子態在噪聲信道中的量子關聯特性.Horodecki 等[16]綜述了包含Bell 不等式等在內的量子糾纏表現形式.Salles 等[17]利用線性光學裝置研究了振幅阻尼對光量子糾纏態的影響.然而,在量子態經過具有退相干效應的量子信道傳輸后,是否仍然能夠實現基于Hardy-type 佯謬的高概率量子非局域關聯檢驗研究還未見報道.

另一方面,為了克服傳輸信道的退相干效應,相關退相干抑制方案的研究也相繼展開.例如,2012 年,Kim 等[18]研究發現,利用弱測量和弱測量反轉操作(WMR),就可以有效地抑制ADC 的退相干效應.Hu 等[19]研究了經過噪聲信道后,N比特量子態的退相干特性,并提出了可實現關聯保護的方案.但是,對量子信道進行退相干抑制操作后,基于Hardy-type 佯謬的高概率量子非局域關聯檢驗研究也未見有報道.基于此,本文以兩比特偏振糾纏態作為研究對象,分別研究了量子態在經過ADC,PDC和DC 三種類型的退相干傳輸信道后,其進行量子非局域關聯檢驗的情況.最后,本文還研究了采取退相干抑制操作后,量子態經過ADC 后的量子非局域關聯檢驗情況.

2 經過退相干信道傳輸后量子態的量子非局域關聯檢驗

2.1 基于Hardy 佯謬的量子非局域關聯檢驗方案

關于量子非局域關聯的檢驗研究,主要有基于不等式形式的Bell 定理[20,21]與無不等式的Hardy定理[22-24]等檢驗方案.通常,基于Bell 定理,或者基于更適用于實驗驗證的CHSH 不等式進行的量子非局域關聯檢驗,是通過判定在某一特定條件下(最優化的測量基下),CHSH 不等式是否被違背進行的,且最佳量子態為最大糾纏態[21].而Hardy定理可以在無不等式的情況下檢驗量子非局域關聯,因此被認為是“Bell 定理的最簡單形式”[25].2019 年,我們課題組[26]也提出過一種基于Hardy 定理的,適用于任意量子態(含混合態)的高概率量子非局域關聯檢驗方案.因此,本文采用該高概率檢驗方案,對經過退相干信道傳輸的量子態進行量子非局域關聯檢驗研究.該非局域關聯檢驗方案可簡述如下:

目前,利用自發參量下轉換過程可制備出高質量的偏振糾纏量子態,且制備的糾纏態常用于基于Bell 不等式和Hardy 定理進行量子非局域關聯檢驗中[22,27-29].作為一種典型實驗制備出的偏振糾纏量子態之一,其波函數可表示為

其中|H〉表示水平偏振態;|V 〉表示垂直偏振態;s和i 分別代表信號光子和閑置光子;r(0＜r≤1)值的大小可用于描述該量子態的糾纏度.實際上,當r=1 時(即(1)式表示一最大糾纏態),利用Hardy 定理進行量子非局域關聯檢驗的成功概率為0[23],因此在本文中,r的取值范圍為 0＜r＜1 .

利用通用測量基|φ〉M,

對(1)式所示的量子態進行偏振聯合概率測量.根據文獻[26],當考慮s 光子與i 光子的偏振聯合測量概率同時滿足(3)式所示約束條件時,

最后通過檢驗,

的值是否大于0,即可檢驗量子非局域關聯的存在.同時H值的大小,也表明了成功進行量子非局域關聯檢驗的概率.其中,P(αms,βni)M〈φ|ρ|φ〉M(m,n=1,2,ρ|ψ〉〈ψ|)表示測得s 光子的偏振在αs方向和i 光子的偏振在βi方向的聯合測量概率.

2.2 量子態經過退相干信道的演化

如圖1 所示,考慮Alice 制備的如(1)式所示的信號光子s和閑置光子i,經過一個具有相同阻尼大小的量子信道傳輸后,發送給Bob.當信道類型僅考慮ADC 時,則傳輸信道的退相干影響可以用Kraus運算符進行描述[30],其中參數D表征ADC 退相干影響的大小.當D0 時,表示傳輸信道無阻尼,即傳輸信道不對量子態造成退相干影響,否則 0＜D≤1 .當量子態經過ADC 后,Bob 端的量子態密度函數可寫為,其矩陣形式可寫為

圖1 Alice 制備的信號光子(s)和閑置光子(i)通過不同阻尼類型信道D 后傳輸給Bob,傳輸后的量子態表示為Fig.1.Signal photon (s) and idle photon (i) prepared by Alice are transmitted to Bob through quantum channel D with different damping types.The final quantum state after transmission can be expressed as .

當傳輸信道僅考慮PDC 時,信道退相干的影響可用Kraus 運算符

進行描述[30].此時,Bob 端的量子態密度函數可寫為其矩陣形式可寫為

當傳輸信道僅考慮DC 時,信道退相干的影響可用Kraus 運算符

其中D′3-2D,D′′3-4D.

2.3 退相干效應下的量子非局域關聯檢驗

首先考慮如(1)式所示的偏振糾纏態,經過ADC 信道傳輸后的量子非局域關聯檢驗情況.通過將通用測量基(2)式作用于(5)式,即可利用(3)式得到量子非局域關聯檢驗時所用的測量基{α1s,α2s,β1i,β2i}.將測量基的值帶入(4)式,即可計算得到成功進行量子非局域關聯檢驗的概率值圖2 顯示了,在不同退相干度參數D時,成功進行量子非局域關聯檢驗的結果.

從圖2(a)中可以看出,當D0 時(即信道無退相干影響,黑實線),成功進行量子非局域關聯檢驗的概率隨著r的增大而增大(此時可成功用于量子非局域關聯檢驗的r參數值范圍為:0.3785＜r＜0.7788),且當r0.7731 時,可獲得最大的成功檢驗概率Hmax0.391,該結果與文獻[26]的結果一致.但是,隨著D的增大,經ADC 傳輸后的量子態,一方面成功進行量子非局域關聯檢驗的概率將降低;另一方面,可用于進行量子非局域關聯檢驗的量子態的范圍(即r值的范圍)也將縮小.特別地,當D0.0438時,只有r0.5931 的量子態可用于量子非局域關聯檢驗.從圖2(a)中還可以看出,當D ＞0 時,并非所有r參數的量子態均能滿足(3)式所示的約束條件,因此僅有部分r參數的量子態可用于量子非局域關聯檢驗研究.

圖2 量子態經過ADC 后的量子非局域關聯檢驗情況 (a) 在不同D 參數下,H 隨r 的變化關系曲線;(b) Dmax和H 隨r 的變化關系曲線Fig.2.Quantum nonlocal correlation test when the quantum state transmitted through ADC:(a) The relationship H vs r under different D parameters;(b) the relationship Dmax and H vs r.

圖2(b)顯示了在不同r參數情況下,能夠成功進行量子非局域關聯檢驗的參數D的最大值Dmax(左側縱坐標)隨r的變化關系曲線,以及當選取DDmax時,成功進行量子非局域關聯檢驗的概率(右側縱坐標).從圖2(b)中可以看出,隨著r的增大,Dmax將呈現先增大后減小的現象.特別地,當r0.5931 時,可獲得參數D的最大范圍Dmax0.0438,也即如(1)式所示的偏振糾纏態,成功進行量子非局域關聯檢驗時,可承受ADC 信道退相干影響的最大值為Dmax0.0438 .從圖2(b)中同時也可以看出,即使在D取Dmax時,隨著r值的增大,能夠成功進行量子非局域關聯檢驗的概率也將非線性地增加.特別地,當Dmax0.0438 時,如(1)式所示的量子態經過ADC 傳輸后,成功進行量子非局域關聯檢驗的概率依然可以達到Hmax0.176,證明了我們所用的量子非局域關聯檢驗方案的魯棒性.

下面,用上述類似的方法(即使用如(6)式和(7)式所示的密度矩陣),分別研究了如(1)式所示的量子態分別經過PDC和DC 阻尼信道后的量子非局域關聯檢驗情況.圖3(a)顯示在不同退相干度參數D時,量子態經過PDC 阻尼信道后的量子非局域關聯檢驗情況.圖3(b)顯示在不同退相干度參數D時,量子態經過DC 阻尼信道后的量子非局域關聯檢驗的情況.

圖3 量子態經過PDC和DC 阻尼信道時,進行量子非局域關聯檢驗的情況 (a) 量子態經過PDC 后,Dmax和H 隨r 的變化關系曲線;(b) 量子態經過DC 后,Dmax和H 隨r 的變化關系曲線Fig.3.Quantum nonlocal correlation test when the quantum state transmitted through PDC and DC:(a) The relationship Dmax and H vs r when the quantum state transmitted through PDC.(b) the relationship Dmax and H vs r when the quantum state transmitted through DC.

從圖3(a)可以看出,當r0.6620 時,如(1)式所示的偏振糾纏態經過PDC 阻尼信道時可用于成功進行量子非局域關聯檢驗的Dmax0.0925,此時成功進行量子非局域關聯檢驗的概率依然可以達到Hmax0.208.從圖3(b)可以看出,當r0.6130時,如(1)式所示的偏振糾纏態經過DC 阻尼信道時可用于成功進行量子非局域關聯檢驗的Dmax0.0358,此時成功進行量子非局域關聯檢驗的概率依然可以達到Hmax0.172 .

對比圖2和圖3 的結果可以看出,在不同的阻尼信道中Dmax峰值所對應的參數值r相差不大.但是,對r值相同的偏振糾纏態進行量子非局域關聯檢驗時,參數D的取值范圍相差較大,且PDC阻尼信道可接受的參數D的取值范圍最大.

最后我們用與上述類似的方法研究了r0.5931時(即ADC 信道對應Dmax0.0438 時),如(1)式所示的偏振糾纏態分別經過ADC,PDC和DC 阻尼信道時的量子非局域關聯檢驗情況.與上述研究量子態經過ADC 時的量子非局域關聯檢驗類似的方法,利用(6)式和(7)式結合(1)式—(4)式,得到了如(1)式所示的量子態,經過三種不同的退相干阻尼信道后,成功進行量子非局域關聯檢驗的概率隨參數D的變化關系曲線,如圖4 所示.

圖4 r=0.5931 時,量子態經過ADC,PDC和 DC 傳輸信道后的量子非局域關聯檢驗情況Fig.4.The quantum nonlocal correlation test when the quantum state passes through ADC,PDC and DC transmission channels.

從圖4 中可以看出,隨著D的增大,如(1)式所示的偏振糾纏態,在經過三種類型退相干信道傳輸后,成功進行量子非局域關聯檢驗的概率均將降低.相比而言,DC 信道參數D對成功進行量子非局域關聯檢驗的影響最快,且當D ＞0.0354 時,量子態進行傳輸后就不能成功用于量子非局域關聯檢驗.而PDC 信道參數D對成功進行量子非局域關聯檢驗的影響較為緩慢,且傳輸信道僅考慮PDC時,信道阻尼參數的最大值可達到Dmax0.0888 .

3 退相干抑制操作下量子態的量子非局域關聯檢驗

本節主要研究利用弱測量和弱測量反轉(WMR)操作[18],對ADC 信道的退相干效應進行抑制后,量子態的量子非局域關聯檢驗情況.WMR 抑制退相干效應的主要原理為,在量子態通過ADC 信道發送給Bob 前,Alice 將首先對信號光(s)和閑置光(i)進行弱測量,然后利用ADC 信道將量子態發送給Bob,Bob 對接收到的量子態進行弱測量反轉操作.傳輸前的弱測量操作和傳輸后的弱測量反轉操作可分別用Kraus 運算符表示[31].其中λ表示弱測量強度,q表示弱測量反轉操作強度.針對(1)式所示的量子態,Alice 在傳輸前先進行弱測量,則弱測量后的量子態可寫為.該量子態經過ADC 傳輸之后,受ADC 通道影響,量子態可寫為.Bob 接收到傳輸來的量子態后,進行弱測量反轉操作,此時量子態的密度矩陣可進一步寫為.假設采用最優化弱測量反轉[18],即q和λ具有對應關系:qλ+D(1-λ) .此時,量子態在經過弱測量、ADC 信道傳輸和弱測量反轉操作之后,Bob 端量子態的密度矩陣最終可寫為如下矩陣形式:

其中A1+

在得到上述密度矩陣后,采用本文前述類似的方法,可以對(8)式所示的量子態進行量子非局域關聯檢驗研究.同樣選擇r0.5931 的量子態,得到成功進行量子非局域關聯檢驗的情況如圖5所示.

圖5 不同弱測量強度下,量子非局域關聯檢驗概率隨D 的變化關系Fig.5.Relationship between H and D with different weak measurement intensity.

從圖5 中可以看出,當弱測量強度λ0 時(黑色實線,此時最優化的弱測量反轉操作強度為qD),隨著D的增大,成功進行量子非局域關聯檢驗的概率將迅速減小,且退相干參數的最大值為Dmax0.0451.與圖4 中不進行弱測量與弱測量反轉操作情況相比(Dmax0.0438),該范圍稍有提高.但是,隨著弱測量強度的增大,可成功用于量子非局域關聯檢驗的量子信道的Dmax將有明顯增大.特別地,當弱測量強度為λ0.95時,Dmax的值可達到Dmax0.9025,該結果表明,當量子態經過弱測量、ADC 傳輸、弱測量反轉操作后,可有效地克服傳輸信道的退相干效應.值得注意的是,隨著弱測量強度的增大,弱測量操作成功的概率也會相應減小[18],當弱測量強度λ1 時,弱測量操作成功的概率為0,但Dmax1 .

4 結論

利用本課題組于2019 年提出的基于Hardytype 佯謬的高概率量子非局域關聯檢驗方案,本文詳細研究了兩比特偏振糾纏量子態在經過振幅阻尼信道、相位阻尼信道和退極化阻尼信道后的量子非局域關聯檢驗情況.結果表明,偏振糾纏態經過退極化阻尼信道傳輸時,對該量子態的量子非局域關聯影響最大,而相位阻尼信道傳輸對該量子態的量子非局域關聯影響最小.但不論經過哪種退相干類型的傳輸信道,如量子態還能夠成功用于量子非局域關聯檢驗,則用于描述退相干強度的參數D均需在D＜0.1 的范圍內.為了克服振幅阻尼傳輸信道的影響,本文詳細研究了利用弱測量和弱測量反轉操作后,偏振糾纏態的量子非局域關聯檢驗情況.結果表明,在最優化弱測量反轉操作情況下,隨著弱測量強度λ的增大,則傳輸信道的退相干對成功進行量子非局域關聯的檢驗影響可進一步加以抑制.特別地,當弱測量強度λ0.95 時,可將傳輸信道的退相干參數D的最大范圍擴展到Dmax0.9025.

值得說明的是,在本文中,盡管量子態在ADC,PDC和DC 中的傳輸,以及對量子態進行的WMR操作,采用了如文獻[18,30]中類似的密度矩陣演化計算方法,但是,本文的研究重點在于,量子態在經過上述的信道傳輸和WMR 操作后,量子態成功進行量子非局域關聯檢驗的情形研究,研究目的和結論與文獻[18,30]是不相同的.相信本文的研究結果,可為退相干條件下量子態的量子非局域關聯檢驗研究提供參考.