基于迭代重構算法改進晶體衍射分光X 射線鬼成像的圖像質量研究*

張海鵬 趙昌哲 鞠曉璐 湯杰 肖體喬?

1) (中國科學院上海應用物理研究所,上海 201800)

2) (中國科學院大學,北京 100049)

3) (中國科學院上海同步輻射光源/上海高等研究院張江實驗室,上海 201204)

X 射線鬼成像是一種低劑量、非定域成像方法,對醫療診斷和生物成像具有重要意義.在基于晶體勞厄衍射分光的X 射線鬼成像中,晶體振動會造成衍射光路上散斑的模糊,進而導致利用關聯方法重構圖像襯度和空間分辨的降低.本文系統分析了衍射光路上散斑圖像的模糊程度對歸一化二階關聯函數g(2) 的最大值和半高全寬的影響.模糊程度的增強會導致 g(2) 最大值的減小和半高全寬的展寬,在理論上證明了模糊程度會引起重構圖像的襯度和分辨能力的降低.為解決上述問題,本文在衍射光路和直通光路的直接關聯方法(GLH)的基礎上提出 GLHE方法(GLHenhanced method).模擬實驗表明 GLHE 算法能同時改善圖像襯度和提高重構分辨率,并且模糊程度增強時,GLHE 算法重構圖像的峰值信噪比與先對直通光路的散斑圖像進行高斯濾波處理再進行雙光路關聯計算方法(GLL)的差距擴大,同時保證其對噪聲的魯棒性.本文為晶體衍射分光的X 射線鬼成像的實際應用提供可行的思路.

1 引言

鬼成像(ghost imaging,GI),又名關聯成像,是一種對光場強度漲落進行關聯運算的非定域成像方法[1-7].1985 年,美國馬里蘭大學的史硯華組基于自發參量下轉化產生的糾纏光子對在實驗上首次實現鬼成像和鬼干涉[4,8].起初,量子糾纏被認為是鬼成像的先決條件,但之后Bennink 等[9]利用經典熱光成功完成鬼成像實驗,否認了鬼成像是糾纏光特有的性質.經過30 多年的發展,經典熱光鬼成像作為全新的非定域成像技術正逐步從理論研究走向實際應用.鬼成像獨特的優越性體現在其靈活的雙光路設計上.根據實際需求配置光路,“鬼”圖像可以在弱光照[10]或擾動環境中[11-13]獲得超越瑞利衍射極限的空間分辨[14],因此鬼成像在遠程遙感[15,16],量子光刻[17,18],保密通訊[19]等諸多領域受到廣泛關注.

2004 年,程靜等[20]在理論上給出利用經典熱光進行無透鏡鬼成像的實驗方案,而后吳令安等[21,22]在實驗上證實了無透鏡鬼成像方案的可行性.無透鏡鬼成像方案表明鬼成像技術可從可見光延伸到任意波段,包括電子[23]、中子[24]和X 射線[25-32]等.利用X 射線短波長、深穿透的特性,X 射線鬼成像(X-ray ghost imaging,XGI)常被用于探測物體內部的精細結構,尤其是在醫療診斷、晶體分析和生物成像等諸多科學與技術領域中.目前理論與實驗均已證明X 射線鬼成像采用參量下轉換產生的糾纏X 光[30],掩模調制強度波動的贗熱X 光[27,29,32],甚至單束團產生的真熱X 光[31]等不同X 光源都能準確重構目標圖像.2016 年,根據傅里葉變換鬼成像理論,俞虹等[32]利用多孔金屬箔調制的隨機漲落的贗熱X 光同時恢復出多縫樣品的振幅和位相,并且其成像分辨率甚至超越具有空間分辨能力的探測器的像素尺寸.

然而,由于X 光中沒有合適可靠的光學元件能分出兩束相同強度分布的散斑花樣,因此通常將待測物體移進和移出光路以分別模仿X 射線鬼成像中的信號光路和參考光路[27,32].但物體移進移出光路會導致采樣效率低下,單次采樣耗時過長,不適合實際應用場景.此外,計算X 射線鬼成像[28,33]方法,通過特殊設計的掩模推算在物體平面處光場的強度分布,可以避免分光引入的困擾,同時能調節光強漲落分布模式以優化圖像重構質量,但是掩模的設計與制作卻受限于微納加工工藝.因此,在X 射線鬼成像的實際應用中經常采用晶體作為分束器,利用衍射效應復制出兩幅相同強度分布的光場[25,26,29,31].2016 年,Pelliccia 等[31]在ESRF 用薄晶衍射的方法獲得兩幅由單束團產生的相同分布的隨機熱光場,并成功重構出銅絲的吸收襯度圖像.2018 年,該研究組[25]用硅單晶對粉光分束且重構出真實復雜樣品-鎢燈絲圖像.同年,Kingston等[26]利用晶體衍射分光鬼成像重構出鋁泡沫物體的斷層掃描圖像(ghost tomography).然而由于晶體振動的緣故,相比直通光路散斑圖像,衍射光路的散斑圖像細節模糊,光強漲落起伏微弱.本文系統分析了在X 射線鬼成像中衍射光路上散斑圖像的模糊程度對重構圖像質量的影響,并提出改進方案,以期改善重構圖像的襯度,提高成像的空間分辨率.

2 理論分析

圖1 是基于晶體衍射分光的X 射線鬼成像的光路示意圖.單色X 光通過掩模(mask)后產生強度漲落的散斑花樣,經過晶體(crystal)衍射分光后在直通光路(transmitted beam)產生高清的散斑圖樣,再被具有空間分辨的探測器(spatially resolved detector)記錄;在衍射光路(diffracted beam)上,由晶體振動引起的模糊散斑圖像(x,y)經過待測物體T(x,y) 后由桶探測器(bucket detector)收集為單值信號.

圖1 基于晶體衍射分光的X 射線鬼成像示意圖Fig.1.Schematic diagram of X-ray ghost imaging based on the beam splitter of crystal diffraction.

根據傳統鬼成像算法[29],即直接關聯計算衍射光路上的信號和直通光路上的散斑圖樣,重構如下式所示:

實驗中Kingston 等[26]將高斯濾波轉變為與的強度分布幾乎一致,即

圖2 一致性和模糊程度關系Fig.2.Consistency vs ambiguity.

Kingston 等[26]將直通光路上的散斑圖像模糊后,再與衍射光路的桶信號關聯計算,以提高恢復圖像的質量,如下式:

但是散斑圖像的模糊不僅會使光強不再服從負指數分布,減弱強度漲落程度,而且會導致不規則散斑的平均尺寸增大,即改變兩光路上強度的歸一化二階關聯函數從而影響圖像重構質量,其中去除平均背景后的表達如下[35],

理論上,若衍射光路中的散斑圖像與直通光路中為相同的高清圖像時,重構圖像襯度與分辨率都是最佳的,其去平均背景后強度的歸一化二階關聯函數表達如下,

若高清散斑圖像中不規則散斑的平均尺寸遠小于1 個像素(下文中高清圖像都表示散斑尺寸小于1 個像素),則

其中δ(x1-x2,y1-y2)是狄拉克函數.最大值為1,且半高全寬小于1 個像素,則能達到具有分辨的探測器所能達到的最佳分辨.但在晶體衍射分光的X 射線鬼成像中,衍射光路的散斑模糊會改變直接關聯GLH對應的歸一化強度關聯函數即

若如Kingston 等[26]提出的,先將直通光路的散斑圖像濾波處理后,再用(3)式重構圖像,其對應的產生變化,即

當衍射光路中的散斑圖像相對直通光路中的模糊程度所對應的標準差σ為 1.3 個像素時,根據上述理論可得,和的最大值分別為0.0471和0.0942,其半高寬分別為4.320和3.055 個像素.此外,我們模擬出直通光路上的高清散斑圖像,并通過高斯函數g1將其模糊后作為衍射光路上的散斑圖像,利用(7)式計算出兩光路間光強的歸一化二階關聯分布,并用高斯函數進行擬合,則的最大值為0.0942,而半高全寬為3.032.若如Kingston 等[26]的處理方案,先將直通光路散斑圖像濾波后再與衍射光路上的散斑圖像進行二階關聯計算,則的最大值為0.0468,而半高寬為4.343.由此發現模擬散斑后再通過二階關聯計算的結果和理論結果幾乎一致.如圖3 所示,比較模擬散斑計算的分別和理論上所對應的g2,g1在x方向的分布,結果表明模擬和理論的曲線幾乎完全吻合.

圖3 當 σ=1.3時光強歸一化二階關聯的理論和模擬在x 方向上的曲線圖 (a) 和的模擬在x 方向上的曲線圖;(b)和的理論在x 方向上的曲線圖Fig.3.The theoretical and simulated curves of the normalized second-order correlation of light in tensityinxdirection when σ=1.3:(a) The simulated curves ofand inx direction;(b) the theoretical curves ofand inxdirection.

隨著模糊程度的增大,即標準差σ增大,理論上的最大值都在減小,而半高全寬都在增大.如圖4 所示,在理論和模擬上隨標準差σ的變化趨勢.理論和模擬上的結果高度一致,同時也可預測隨著模糊程度的增加,兩種方案重構圖像質量也在逐步惡化.

圖4 和在理論和模擬上隨模糊程度 σ 的變化曲線圖 (a) 和在理論和模擬的最大值隨 σ 的變化;(b) 和在理論和模擬的半高全寬隨 σ 的變化Fig.4.and vary with the blur degree σ in theory and simulation:(a) The theoretical and simulated maximum of andvary with σ;(b) the FWHM of and vary with σ in theory and simulation.

3 解決方案

為了改善Kingston 等[26]提出的方案中,因最大值的減小和半高全寬的增大而引起的GLL重構圖像襯度低且細節模糊的后果,在GLH的基礎上提出一種GLH增強算法(GLHenhanced method,GLHE),目標是希望圖像襯度和分辨率能達到GHH的效果,其中GHH是在兩光路上為相同的高清散斑圖像時通過關聯計算重構圖像的方案.GHH表達如下:

選擇圖5(a)作為待測物體,其圖像大小為32×32像素,線寬為3 個像素,采樣數量為50000張.如圖5 所示是GLL方法和GLHE 方法在不同模糊程度時重構圖像比較.隨著標準差σ的逐漸增大,理論上GLL重構圖像的襯度和空間分辨會逐步變差.從圖5(b)到圖5(f)重構的圖像在直觀上也是襯度在逐步減弱,細節愈加模糊,這與理論一致,尤其在圖5(c)中(σ1時GLL重構的圖像),此時對應的半高全寬為3.32 個像素,超過待測物體的線寬.相比圖5(b),圖5(c)的條紋邊緣明顯更加彌散,幾乎不能準確衡量待測物體的線寬.模擬中模糊程度對應的標準差相鄰間隔為0.3,在理論上分辨率相差 0.3×3.32≈1 個像素,則相鄰的GLL重構的圖像在襯度和分辨率上有明顯的差異以供區分.

圖5 GLL和 GLHE方法重構圖像 (a) 物體圖像;(b)—(f) 不同標準差(σ=0.7,1.0,1.3,1.6,1.9)時 GLL恢復的圖像;(g)GHH重構的圖像;(h)—(l) 不同標準差(σ=0.7,1.0,1.3,1.6,1.9)時 GLHE 方法恢復的圖像.Fig.5.Images reconstructed by GLLand iterative method:(a) The object image;(b)-(f) the images are retrieved by GLLwithσ set as 0.7,1.0,1.3,1.6,1.9;(g) the image restored by GHH;(h)-(l) the images are reconstructed by iterative method when σ is 0.7,1.0,1.3,1.6,1.9.

圖5(g)是GHH重構的高襯度、高分辨的圖像,其能夠完全分辨目標圖像的線寬.圖5(h)到圖5(l)是GLHE 方法迭代3次時重構的圖像,在視覺效果上襯度幾乎未發生明顯變化,且隨著σ的增大,GLHE方法重構圖像的線寬略微增加.縱向比較,當σ相同時,GLHE方法重構圖像比GLL的襯度明顯提高,在 GLL幾乎不能區分圖像線條時,GLH依然有足夠能力區分圖像線形,即GLHE方法相比GLL在分辨能力上有明顯提升.此外,如圖6 所示,隨著σ的增大,兩種方法恢復圖像的PSNR 都逐漸下降,但兩者PSNR 的間距也在擴大,表明GLHE 方法重構圖像質量的提升愈加明顯.

圖6 不同算法重構圖像的PSNR 隨模糊襯度的變化曲線Fig.6.The PSNR curves of reconstructed images with different algorithms vary with blur degree.

選取圖5 重構圖像中間寬度為3 像素的區域繪制輪廓線,其平均結果如圖7 所示.圖7(a)是圖5上行圖像的輪廓線.隨著標準差σ的增大,圖7(a)中曲線的峰(如②峰)與谷(如①谷)間距減小,則圖像的襯度逐漸減小.峰與谷之間曲線的傾斜逐漸平緩(如①谷與②峰之間曲線的陡峭程度在減弱),則重構圖像的分辨能力下降.上述都與圖5 中GLL重構圖像的直觀效果一致.圖7(b)是圖5 下行圖像的輪廓線.圖7(b)中的曲線幾乎都重疊在一起,表明不同標準差σ時,GLHE算法重構圖像的輪廓曲線的峰(如④峰)與谷(如③谷)的間距與GHH的非常接近,同時峰谷之間曲線的傾斜也幾乎相同,表明GLHE 重構圖像的襯度和分辨率幾乎都與GHH的相同,這與GLHE 的目標是一致的.比較圖7(a)和圖7(b)發現,在相同σ時,圖7(b)中曲線的陡峭程度明顯比圖7(a)中對應曲線的大,表明GLHE比GLL的空間分辨能力強,且隨著σ的增大,圖7(b)中峰谷間距比圖7(a)中應曲線的大出很多,表明GLHE重構圖像的襯度也比GLL都有明顯提高.總結而言,GLHE比GLL在襯度,分辨率和PSNR 上都有明顯改改善,尤其是在σ1.3 時,GLHE 重構圖像的PSNR 比GLL提高約2 dB,分辨率也從4.32 個像素提高到小于3 個像素(能清晰分辨待測物體3 個像素的線寬),襯度(可見度其中〈Gobj〉表示重構物體即白色區域的平均灰度值,而〈Gbg〉表示背景圖像即黑色區域的平均灰度值)提高約1 倍.

圖7 GLL和 GLHE 方法重構圖像中間部位的截面輪廓線：(a) 黑線是物體的截面輪廓線,即圖5(a)中間區域的平均灰度變化,其余分別是 GLL方法在 σ 為0.7,1.0,1.3,1.6,1.9 時重構圖像的截面輪廓線,即圖5(b)到圖5(f)的中間區域的平均灰度變化;(b) 黑線是GHH 重構圖像的截面輪廓線,即圖5(g)中間區域的平均灰度變化,其余是 GLHE 方法在 σ 為0.7,1.0,1.3,1.6,1.9 時重構圖像的截面輪廓線，即圖5(h)到圖5(l)的中間區域的平均灰度變化.Fig.7.Line profiles of the middle parts in the reconstructed images by GLLand GLHE :(a) The black curve is the line profile of the object,that is the mean grayscale change of the middle part in Fig.5(a),and the rest is the line profiles of the images retrieved by GLLwith σ set as 0.7,1.0,1.3,1.6,1.9,that is,the mean grayscale change of the middle part in Fig.5(b) to Fig.5(f);(b) the black curve is the line profile of the image retrieved by GHH,that is the mean grayscale change of the middle part in Fig.5(g),and the rest is the line profiles of the images restored byGLHE when σ is 0.7,1.0,1.3,1.6,1.9,that is,the mean grayscale change of the middle part in Fig.5(h) to Fig.5(l).

考慮到在實際實驗過程中存在噪聲,并且其主要來源于探測器引入的加性高斯白噪聲,因此在理論上首先證明加性高斯白噪聲對基于系綜平均的重構算法是無影響的.設參考光路的光斑強度分布為∑I(x1,y1),在信號光路中桶探測器的信號為其中 (xk,yk) (k=1,2)表示在探測器平面的位置.在無噪聲時,重構結果如下:

當探測器引入加性噪聲時,則參考光路的光強分布In(x1,y1)I(x1,y1)+N1(x1,y1),在信號光路中桶探測器的信號為N2(x2,y2),下標n表示含噪,Nk(k=1,2)表示均值為μN,標準差為σN的同類噪聲,則在有噪聲重構如下:

從推導看G(x1,y1) 與Gn(x1,y1) 在充足采樣時結果是相同的.

下面用模擬實驗證明基于系綜平均的GLL,GLHE和GHH重構圖像對于噪聲是不敏感的.添加均值μN為0.1,標準差σN=0.05,0.1,0.15,0.2,0.25 的不同高斯噪聲,對于服從負指數分布且均值為1 的散斑圖樣而言,相應的信噪比分別為44.0 dB,40.0 dB,35.8 dB,32.0 dB,28.8 dB,則GHH,GLL和GLHE 在模糊程度對應的標準差為1.3 時重構圖像如圖8 所示.直觀上在不同噪聲時,GHH,GLL,GLHE 各自重構圖像在分辨率和襯度上區別很小,表明基于系綜平均的GHH,GLL,GLHE 方法對于噪聲有較強的魯棒性.不同噪聲時,GHH,GLL,GLHE方法重構圖像的PSNR 亦是幾乎不變的,如圖9所示,這同樣表明GHH,GLL,GLHE 方法重構質量幾乎不受噪聲影響.數值模擬的結論與理論推導是一致的.

圖8 GLL,GLHE,GHH在不同噪聲下重構圖像:(a),(g),(m) 無噪聲時 GLL,GLHE,GHH重構的圖像;(b)—(f) GLL 在均值為0.1,標準差為0.05,0.1,0.15,0.2,0.25 時重構的圖像;(i)—(l) GLHE 在均值為0.1,標準差為0.05,0.1,0.15,0.2,0.25 時重構的圖像;(n)—(r) GHH 在均值為0.1,標準差為0.05,0.1,0.15,0.2,0.25 時重構的圖像Fig.8.Images reconstructed by GLL,GLHE,GHHunder different noise:(a),(g),(m) the images reconstructed by GLL,GLHE,GHHwithout noise;(b)—(f) the images reconstructed by GLL under the noise with the mean of 0.1 and the standard deviation of 0.05,0.1,0.15,0.2,0.25 respectively;(i)—(l) the images reconstructed by GLHE under the noise with the mean of 0.1 and the standard deviation of 0.05,0.1,0.15,0.2,0.25 respectively;(n)—(r) the images reconstructed by GHH under the noise with the mean of 0.1 and the standard deviation of 0.05,0.1,0.15,0.2,0.25 respectively.

圖9 GLL,GLHE,GHH 在不同噪聲下重構圖像的PSNR,其中標準差 σN為0表示沒有噪聲(此時噪聲均值 μN 也為0)Fig.9.PSNRs of images reconstructed by GLL,GLHE,GHHunder different noise,where the standard deviation σNof 0 indicates there is no noise (at this time the mean μNof noise is also 0).

4 結論

在基于晶體衍射分光的X 射線鬼成像中,衍射光路中散斑圖像的模糊會造成重構圖像質量下降.若直接將直通光路的高清散斑圖像與衍射光路的數值信號進行關聯計算(即GLH方法),由于兩光路散斑花樣的不一致性,即Pearson 相關系數會隨著模糊程度的增強而下降,重構圖像的質量會逐步惡化.為了解決這一問題,Kingston 等[26]提出將直通光路的散斑圖像濾波模糊處理,以保證衍射光與直通光路上散斑圖像的一致性,然后再將兩光路上的圖像進行關聯計算(即GLL方法).但這種方法會削弱光強漲落的起伏程度,減小歸一化關聯函數g(2)的最大值,降低圖像襯度,同時會增大散斑的平均尺寸,增大g(2)的半高全寬,導致空間分辨變差.

本文系統地研究了在晶體衍射分光的X 射線鬼成像中,由于晶體振動導致的衍射光路上散斑的模糊程度對于成像襯度和空間分辨的影響.本文首先分析了散斑的模糊程度對強度的歸一化二階關聯函數g(2)的影響,并發現隨著模糊程度的增強,g(2)的最大值在減小,半高全寬在增大,從理論上證實了衍射光路的模糊散斑對關聯算法重構質量的影響.為解決上述問題,本文在衍射光路和直通光路上信號直接關聯GLH的基礎上提出GLHE 方法.模擬實驗表明GLHE 方法能夠同時改善重構圖像的襯度和分辨率,并且襯度和分辨率幾乎不隨模糊程度而改變.此外,隨著模糊程度的增強,GLHE 方法重構圖像的峰值信噪比與GLL方法的差距擴大,且對噪聲有較強的魯棒性.本文發展的方法顯著改善了晶體衍射分光鬼成像的襯度和分辨率,為該方法的進一步推廣應用解決了一個關鍵技術,在生物醫學、材料科學的高效、高分辨X 射線鬼成像研究中具有重要應用前景.課題組正在致力于在上海光源建立晶體分光鬼成像方法,并開展相關應用研究[36].

感謝上海光源束線工程部李中亮研究員和司尚禹博士的討論與建議.