周期驅動的二能級系統中的準宇稱-時間對稱動力學*

胡洲 曾招云 唐佳 羅小兵

1) (浙江理工大學物理系,杭州 310018)

2) (井岡山大學數理學院,吉安 343009)

本文研究了一個周期驅動的非宇稱-時間對稱二能級量子系統的非厄米動力學.通過經典相空間分析方法,解出了該非厄米系統的Floquet 態和準能譜,并解析構造了由該非厄米哈密頓量支配下的量子態的非幺正時間演化算符,給出了不同參數區域的量子態演化.本文數值和分析證明,該非宇稱-時間對稱二能級Floquet系統,類似于宇稱-時間對稱系統,存在一個準能譜從實數譜到復數譜的相變.本文還揭示了在量子態的動態演化中存在一種準宇稱-時間對稱動力學,即,該系統的粒子布居概率演化完全滿足時間空間對稱(宇稱-時間對稱),但是由于相位演化違反了宇稱-時間對稱性的要求,因此包含相位信息的量子態演化不滿足時間空間對稱(宇稱-時間對稱).這些結果加深了對非厄米物理的理解,拓展和推廣了傳統的宇稱-時間對稱概念.

1 引言

眾所周知,量子體系的狀態演化由哈密頓量確定并服從薛定諤方程.傳統量子力學認為,描述一個量子力學系統的哈密頓量必須具有厄米性,才具有實數的能量本征值,從而保證能量的可觀測性和體系概率守恒.1998 年,Bender和 Boettcher[1]發現,滿足宇稱-時間(parity-time,PT)對稱性的非厄米哈密頓量的本征值也可以為實數.當非厄米參數強度增大時,PT 對稱系統的能量本征值存在一個從實數譜到復數譜的對稱破缺相變.盡管PT 對稱量子理論源于量子力學,但隨后被類比到經典物理系統中,在光學[2-6]、力學[7]、電學[8]、聲學[9,10]等多種經典系統中被實驗驗證.但受制于量子力學的退相干性及量子實驗系統的復雜性,真正的量子體系中實現宇稱時間對稱哈密頓量的演化具有巨大挑戰.最近,人們在光子[11-13]、冷原子[14]、腔自旋波混合系統[15,16]、金剛石氮-空位色心[17]、核磁共振[18,19]、離子阱[20,21]等量子體系實驗平臺中成功構造了等效PT 對稱量子哈密頓量.PT 對稱物理的發展不但加深了人們對量子力學基本問題的理解,而且為單向隱身[10,22-24]、相干完美吸收[25]、非互易性傳輸[5,6,26]、超靈敏傳感[27,28]、單模激光[29,30]、無線傳能[31]、拓撲相的控制[4,32]等一系列應用技術帶來了新的前景.

同時,PT 對稱的非厄米量子系統相應的數學結構也吸引了人們的關注[33-37].實際上,算符厄米性只是本征值為實數的充分條件,而非必要條件.2002 年,Mostafazadeh[35,36]在數學上拓展了PT對稱理論:對于一個任意哈密頓量H,若在線性厄米算符η的作用下,可以將該哈密頓量變成它的厄米共軛,即滿足ηHη-1H?,則這個哈密頓量是贗厄米的,其本征值也可以為實數.這種贗厄米哈密頓量更為廣泛,它包含了PT 對稱哈密頓量.由于非厄米物理帶來了豐富的新奇效應,構造和理解具有實本征譜的非PT 對稱的非厄米哈密頓量也引起了人們的興趣.例如,Nixon和Yang[38]最近在數學上構造了一類具有任意增益和耗散分布的復數勢函數,證明了這類非厄米哈密頓量不僅具有實數譜,而且和PT 對稱體系一樣,能量本征譜存在一個從實數譜到復數譜的相變.這類非PT 對稱勢函數簡潔而且容易調控,有望在多能級原子系統[39]等實驗平臺中實現.

對非厄米哈密頓量量子體系加以周期性調控,可以實現許多平衡態系統中無法達到的新奇的物理學現象,如非厄米Floquet 拓撲物態[12,40]、Floquet調控下的PT 相變[41-44]、Floquet 調控實現增益和雙向隱身[45]等.周期調制的宇稱-時間對稱性物理已經在經典電路[42]、冷原子[14]、光子[12]等體系中實驗實現.二能級系統(稱為量子比特)是量子信息和量子計算的基本單元,PT 對稱二能級非厄米量子系統自然引起了理論和實驗的關注和興趣.人們可以將宇稱-時間對稱哈密頓量擴展成更大空間中的厄米哈密頓量,從而實現量子比特子系統在非厄米哈密頓量支配下的演化.在前期工作中研究了周期性驅動對PT 對稱二能級系統的量子調控[41,46-48],并獲得了一些精確解[47,48],有助于對非厄米哈密頓量的精確操控.但是,目前對具有實能譜的非PT 對稱二能級非厄米量子系統的Floquet調控的研究較少.

本文研究了一個周期驅動的非PT 對稱二能級量子系統的非厄米動力學.通過經典相空間分析方法,首先得到了該非厄米系統的Floquet 態和準能譜,從而解析構造了非幺正時間演化算符,分析了不同參數區域量子態演化行為.通過解析和數值證明,該非PT 對稱二能級Floquet 系統,類似于PT 對稱系統,存在一個準能譜從實數譜到復數譜的相變.而且,在量子態的動態演化過程中,存在一種準PT 對稱量子動力學:該系統的粒子布居概率演化滿足時間空間對稱(PT 對稱),但是量子態演化(由于相位演化違反PT 對稱性要求)不滿足時間空間對稱(PT 對稱).這種準PT 對稱量子動力學推廣了傳統的PT 對稱概念,加深了對非厄米物理和非傳統量子力學的理解.

2 模 型

考慮一個一般的周期驅動的非厄米二能級哈密頓量系統,其動力學演化滿足的薛定諤方程可寫成:

其中,態矢量|ψ〉(ψ1,ψ2)T(文中上標T表示矩陣轉置),哈密頓量H具有如下形式

這里,γ0為兩能級的靜態失諧,γ1為非厄米參數,V(t)為兩能級間的耦合強度,假定兩能級的耦合強度具有時間周期性,即V(t+T′)V(t) .

首先介紹PT 對稱系統的Floquet 本征模和準能量的基本概念和性質.若哈密頓量H(t) 與PT算符滿足對易關系,即[H,PT]0,則該哈密頓量被認為具有PT 不變性,這里的為宇稱算符,T是時間反演算符,具有如下效應i→-i,t0+t→t0-t這里,t0為某個時間反演點.可以證明:當γ00,且V(t0+t)V(t0-t) 時,哈密頓量(2)系統變成了標準的具有PT 對稱性的二能級Floquet 系統,此時[H,PT]0 .與厄米Floquet 系統一樣,周期驅動的非厄米(不限于PT)系統(1)同樣具有Floquet 態解,即|ψ〉=|φ〉e-iεt,|φ(t+T′)〉|φ(t)〉在把時間作為另外一個維度的廣義希爾伯特空間中,態矢量|φ〉(φ1,φ2)T滿足如下本征值方程:

這里的F稱為Floquet 哈密頓量,其定義為F:H -i?/?t,ε稱為準能量,|φ〉稱為Floquet 態本征模(或簡稱Floquet態).若[H,PT]0,則[F,PT]0也同樣成立,該Floquet 系統具有PT 對稱性.對于具有PT 對稱性的Floquet 系統,如果Floquet態|φ〉滿足本征值方程(3),那么PT |φ〉也是Floquet哈密頓量的本征模,具有復共軛的準能量ε*,即FPT |φ〉ε*PT |φ〉.當準能量為實數時,即εε*,PT算符和F算符具有共同的本征態,PT |φ〉eiβ|φ〉,β為任意相位(可以通過一個簡單的規范變換去掉),此時系統具有穩定的本征動力學模,處于PT 對稱未破缺相.當準能量為復數時,PT算符和F算符不再擁有共同的本征態,系統處于PT 對稱破缺相.在PT 對稱系統中,準能譜從實能譜到復能譜的轉變,稱為PT 對稱破缺相變.

其次,簡單討論具有PT 對稱性的二能級系統的一般量子態演化的性質.定義t0±t0±t,如果|ψ(t0±)〉[ψ1(t0+),ψ2(t0+)]T是薛定諤方程(1)的 解,那 么PT |ψ(t0+)〉[ψ2*(t0-),ψ1*(t0-)]T和[ψ1(t0+)e-iξ,ψ2(t0+)e-iξ]T(ξ為任意相位)也是薛定諤方程(1)的解.假如在t0時刻,ψ1(t0)ψ2*(t0)eiξ,則PT |ψ(t0+)〉和 e-iξ|ψ(t0+)〉是薛定諤方程(1)的同一個解,即:

方程(4)等價于

其物理含義是,在PT 對稱二能級系統中,從t0時刻開始演化的量子動力學,沿著 +t方向演化和沿著-t方向演化在宇稱算符(交換兩個基矢,空間反演)操作下是完全相同的.

一個有趣的問題自然提出:是否存在非PT 對稱的非厄米Floquet 系統,它具有類似PT 對稱的性質,其準能譜也存在從實數譜到復數譜的相變? 如果存在,那么其一般量子態的動力學演化是否有可能也和PT 對稱系統一樣,仍然存在某種對稱性呢?

本文以一個具體的Floquet 模型為例嘗試去回答上述問題.在哈密頓模型(2)中,選擇簡單的驅動[49]:

這樣的哈密頓量可以描述一個被外磁場B(Bx,By,Bz)驅動的二能級非厄米系統.在實驗方面,以雙勢阱系統為例,這樣一個依賴于時間的復數隧穿系數,可以同時調制兩個勢阱間的勢壘高度和兩個勢阱的量子態的相角來實現.容易證明,對于任意時刻t0,等式V(t0+t)V(t0-t) 都不成立,即這個二能級非厄米Floquet 系統本質上不具有PT 對稱性.在下一節,本文將求解該二能級非厄米系統的Floquet 態本征模和任意量子態的非幺正演化.

3 Floquet 態和準能譜

3.1 約化的有效哈密頓量

由于哈密頓量的非厄米性,該系統不再保持概率守恒,即量子態的模(范數)n(t)〈ψ(t)| ψ(t)〉|ψ1|2+|ψ2|2不再為常數,它隨時間的演化可由非厄米薛定諤方程(1)得到:

因此,引入歸一化的量子態:

該歸一化的量子態滿足新的薛定諤方程:

約化后的有效哈密頓量的形式為:

其中,σx,σy,σz為泡利矩陣的3 個分量.值得強調的是,雖然有效哈密頓量H′是非厄米的,但此時新的量子態的范數保持守恒,即〈ψ′(t)|ψ′(t)〉0 .

3.2 贗定點

以布居數差Z和相對相位θ′為兩個獨立變量,薛定諤方程(10)變成了如下的兩個耦合方程:

現在我們可以在 (Z,θ′) 的相空間研究系統的動力學演化,在相空間定義一種“贗定點”,

這樣一種“贗定點”可以認為是非含時哈密頓量系統的傳統定點在Floquet 系統的一種拓展.它描述量子態在兩能級的布居數差不隨時間變化,但相對相位線性增長(每隔一個驅動周期相對相位增長2π,等價于每隔一個驅動周期T′2π/ω,相對相位不變).實際上,這樣一種“贗定點”對應周期驅動量子系統的Floquet 態.為了方便研究這種“贗定點”,我們引入一個新的變量,θθ′-ωt,方程(13)變成:

首先,考慮共振(即兩能級的失諧等于外場驅動頻率,2γ0ω)情況的定點.為了方便計算,若無特殊說明,本文設定:當＜1時,sinα當＞1時,coshα.在共振情況下,方程(15)的定點可以分成以下三類情況:1)當＜1 時,存在兩個定點 (Zf,θf)(0,2π-α),(Zf,θf)(0,α+π),這里 sinα;2)當1 時,只存在一個定點 (Zf,θf);3)當＞1 時,存在兩個定點 (Zf,θf)這里 coshα

其次,考慮非共振(2γ0ω)情況.由方程(15)可知,非共振時,Zf0 .令可以得到關于Zf的四次方程,

求解方程(16),得到定點的布居數差:

這些定點解的穩定性可以通過計算雅可比矩陣:

的本征值λ1,2來分析.如果雅可比矩陣兩個本征值的實部都小于或等于0,則這個定點是穩定的,否則,定點是不穩定的.在共振(2γ0ω)情況下,當＜1時,兩個定點 (Zf,θf)(0,2π-α),(Zf,θf)(0,α+π)對應的雅可比矩陣的本征值為λ1,2雅可比矩陣的本征值為純虛數,因此,這兩個定點是穩定的.當1時,定點(Zf,θf)對應的雅可比矩陣的本征值λ0,對應臨界穩定.當＞1時,兩個定點(Zf,θf)對應的雅可比矩陣的本征值為λ1-2γ1Zf,λ2其中,定點對應的雅可比矩陣的兩個本征值都為負的實數,為穩定的結點;另外一個定點對應的雅可比矩陣的兩個本征值都為正的實數,為不穩定的結點.同理,非共振(2γ0ω)情況的雅可比矩陣分析可知,對于任意大小的非厄米參數γ1,一個定點是穩定的,一個定點是非穩定的.

圖1 給出了 (Z,θ) 的經典相圖.圖1(a)—(c)給出了共振(2γ0ω)的3 種情況,圖1(d)給出了非共振(2γ0ω)情況.圖中的紅點表示定點.文中所有參數都已經無量綱化.

圖1 不同系統參數下的相空間軌道(ω=2,ν=1) (a)γ0=1,γ1=0.5;(b) γ0=1,γ1=1;(c) γ0=1,γ1=2 ;(d)γ0=2,γ1=0.5Fig.1.Phase-space trajectories with different system parameters(ω=2,ν=1):(a) γ0=1,γ1=0.5;(b)γ0=1,γ1=1;(c) γ0=1,γ1=2;(d) γ0=2,γ1=0.5 .

3.3 Floquet 態和準能量

本節將從相空間的贗定點構造系統的Floquet態和準能量.約化后的薛定諤方程(10)存在歸一化的Floquet 態解|ψ′〉,|φ′(t+T′)〉|φ′(t)〉,這里,T′2π/ω,量子態的歸一化條件要求ε′為實數.Floquet 態|φ′〉滿足本征值方程(H′-i?t)|φ′〉ε′|φ′〉.由定點 (Zf,θf) 可以構造出歸一化的Floquet 態解|ψ′〉:

顯然,態向量中兩組分的布居數差為Zf,相位差為θ2-θ1θf+ωt,對應經典相空間的贗定點.式中的相位-mωt反映了準能譜的類似布里淵區的周期性結構.本文中如無特殊說明取m0,把準能量限制在一個布里淵區內.

由(9)式可以得到原始哈密頓量的Floquet 態解:

此處用到關系式n〈φ| φ〉e2Im(ε)t,εRe(ε)+i Im(ε).(20)式和原始Floquet 態解|ψ〉|φ〉e-iεt,相比較,可得到具有時間周期性的Floquet 態本征模以及ε′Re(ε),也就是說,歸一化的Floquet 態解的準能量是原始Floquet 態解的準能量的實部,其值求解如下:

由(8)式可知,原始哈密頓量Floquet 態解的模(范數)隨時間的演化方程滿足,

式中的n(0)表示初始時刻t0 的原始哈密頓量Floquet 態解的模(范數).(22)式與n〈φ| φ〉e2Im(ε)t比較,可以得到原始Floquet 態解的準能量的虛部,

以及,

假如設定n(0)1,則原始哈密頓量的Floquet態解(20)可以簡化為:

準能量為:

由(26)式可知,如果Floquet 態在兩能級上的占有概率(布居數)相等,Zf0,那么準能譜是全實數譜,如果兩能級上的占有概率(布居數)不相等,Zf0,準能譜就會變成復數譜.

本文所考慮的周期驅動非厄米系統,在歸一化的相空間中具有特殊的“贗定點”,它對應不依賴時間的布居數差和依賴于時間的相對相位.但是對于更一般的周期驅動非厄米系統,在歸一化的經典相空間中,Floquet 態本征模應該對應龐加萊截面(每隔驅動周期間隔采樣)的定點.即,布居數差一般是時間的周期函數,ZZd+Za(t),這里,Zd是常數代表龐加萊截面的定點位置,Za(t) 是平均值為0 的時間周期函數.這時,Floquet態解的模(范數)隨時間的演化方程滿足n(t)與n〈φ|φ〉e2Im(ε)t比較,可以得到,準能量的虛部為,Im(ε)γ1Zd,以及,這樣,原始哈密頓量的概率不守恒的Floquet 態解可以構造出來,即:|ψ〉.可以知道,原始哈密頓量Floquet 態解的準能量的虛部由Zd決定.

結合(19),(25),(26)式,可以確定薛定諤方程(1)的Floquet 態和準能量.考慮非共振(2γ0ω)情況,其定點解(17)Zf0,結合給出準能量(m0)為:

顯然,在非共振情況下,由于Zf0,對于任意非零的非厄米強度γ1,其準能量都是復數.

接下來,本文側重于研究共振(2γ0ω)情況的本征模和量子動力學演化,將分別給出共振情況三類定點對應的Floquet 態和準能量.＜1 .這時,方程(15)有兩個布居數對稱的定點.定 點 (Zf,θf)(0,2π-α) 對應的Floquet 態解為:

準能量為:

另外一個定點 (Zf,θf)(0,α+π) 對應的Floquet態解為:

準能量為:

準能量為ε-γ0.這時,兩個Floquet 態本征模塌縮成一個,這個參數點被稱為奇異點(exceptional point).系統能譜在奇異點附近有獨特的拓撲結構,將帶來許多新奇的物理現象和應用,如增強傳感靈敏度[27,28,50],非對稱模式轉化和手性傳輸[4]等.

準能量為:

準能量為:

圖2 給出了非厄米系統(1)在周期驅動(7)作用下共振(2γ0ω)情況時的準能量的實部(見圖2(a))和虛部(見圖2(b))隨參數γ1/ν的關系.紅線和藍線代表直接對角化一個驅動周期的時間演化算符的數值結果,圓圈代表經典相圖中贗定點對應的準能量解析結果.如圖所示,數值結果和解析結果完全符合.盡管在周期驅動(7)作用下,V(t0+t)V(t0-t),從而非厄米系統(1)不具有PT 對稱性,[H,PT]0,但可發現,它和PT 對稱系統一樣,存在一個準能譜從實數譜到復數譜的相變.當非厄米系統(1)的準能譜為實數時,將PT算符作用在實數準能譜ε-(γ0-νcosα) 對應的Floquet 態本征模上,可以驗證,對于任意的時刻點t0,

圖2 非厄米系統(1)在周期驅動(7)作用下共振(2γ0=ω)情況時的準能譜的實部(a)和虛部(b)隨參數γ1/ν 的關系.紅線和藍線代表直接對角化一個驅動周期的時間演化算符的數值結果,圓圈代表經典相圖中贗定點對應的準能量解析結果.參數取為γ0=1,ω=2Fig.2.Real (a) and imaginary (b) parts of the quasienergies as a function of γ1/ν for the non-Hermitian system (1)subject to a periodic modulation (7) in the resonant (2γ0=ω) case.The red and blue lines denote the numerical results of quasienergies computed through direct diagonalization of the time-evolution operator over one period of the driving,while the circles denote exact analytical results of quasienergies corresponding to the pseudo fixed points in phase space.The system parameters are set as γ0=1,ω=2.

式中,C為任意常數.這說明,該實數準能譜對應的Floquet 態|φ(t0+t)〉不是PT算符的本征模.同理可證,另外一支實數準能譜ε-(γ0+νcosα)對應的Floquet 態也不是PT算符的本征模.這進一步說明,在周期驅動(7)作用下的非厄米Floquet系統(1)具有實數準能譜,但該系統不具有PT 對稱性.

4 量子態的非幺正動力學演化

在第3 節中,已經通過相空間中的定點方法解析構造了系統的Floquet 態本征模和準能量.由這些Floquet 態和準能量,我們可以求解任意量子態的時間演化.在共振情況下,即使本文所研究的Floquet 系統不具有PT 對稱性,也存在能譜從實數譜到復數譜的相變.那么,一般量子態的動力學演化又會具有什么獨特的量子性質呢? 分3 種情況求解在共振(2γ0ω)情況下的一般量子態的動力學演化.

式中疊加系數C1,C2由初態決定.

假設給定t0時刻的態矢量,|ψ(0)〉[ψ1(0),ψ2(0)]T,時間演化算符作用在該態矢量上,可得:

由初態|ψ(0)〉決定(38)式的疊加系數C1,C2后,比較(38)和(39)式,可以寫出從t0 開始的非幺正時間演化算符的具體的矩陣形式:

以ψ1(0)1,ψ2(0)0 為初態直接數值模擬原始薛定諤方程(1),圖3 給出了在共振情況下,當＜1時的系統動力學.從圖3 可以看出,兩能級上的占有概率|ψ1|2和|ψ2|2隨時間周期振蕩,當(k為整數)時,在兩能級上的占有概率相等,|ψ1|2|ψ2|2

.圖中以t0-0.605為例說明了這個特性.圖3 顯示,從t0時刻開始,沿著正向演化(+t方向)和沿著反向演化(-t方向)在宇稱算符(交換兩個基矢|1〉和|2〉,空間反演)操作下,概率是完全相同的,即|ψ1(t0+t)|2|ψ2(t0-t)|2.但相位之和,θ1(t0+t)+θ2(t0-t),卻不等于t0時刻的值ξθ1(t0)+θ2(t0),反而隨時間t線性變化.注意,在數值中,相位每隔2π 有個跳躍.圖中的數值結果完全符合理論預言.

圖3 在共振情況下的系統動力學(＜1)(a)兩能級 上的占有概率|ψn|2(n=1,2)隨時間演化;(b)相位θn (n=1,2)隨時間演化;(c)以 t0=-0.605 為時間反演點的θ1(t0+t)+θ2(t0-t)演化.系統參數取為γ0=1,γ1=0.5,ω=2,ν=1初態為ψ1(0)=1,ψ2(0)=0Fig.3.System dynamics for the resonance case with the non-Hermitian parameters ＜1,starting the system with the state ψ1(0)=1,ψ2(0)=0 :(a) Time evolutions of the occupation probabilities|ψ1|2and|ψ2|2 ;(b) time evolutions of phases θ1(t)and θ2(t) ;(c) time evolution of the sum of phases,θ1(t0+t)+θ2(t0-t) .Here we choose the time-inversion point t0=-0.605 .The system parameters are γ0=1,γ1=0.5,ω=2,ν=1 .

2)γ1/ν1 .這時,系統處于奇異點,只有一個Floquet 態解(32),但可以構造出另外一個線性無關的基本解:

因此,由這兩個線性無關的基本解,可以寫出薛定諤方程(1)的通解:

式中疊加系數C1,C2由初態決定.由(44)和(45)式,可以得到,從t0 開始的非幺正時間演化算符為

當t0時刻的態制備為ψ1(0)1,ψ2(0)0 時,把時間演化算符(46)作用在t0 的態矢量上,可得:

可以證明,當t0-時,|ψ1(t0+t)||ψ2(t0-t)|,θ1(t0+t)+θ2(t0-t)π/2-ωt.

取ψ1(0)1,ψ2(0)0 為初態,通過直接數值積分模擬原始薛定諤方程(1),圖4 給出了在共振情況下,當γ1/ν1 時的系統動力學演化.從圖4可以看出,兩能級上的占有概率從t0-0.5 開始沿著正向演化(+t方向),呈時間t的平方增長.如理論預期一樣,數值結果顯示,|ψ1(t0+t)|2|ψ2(t0-t)|2,相位之和,θ1(t0+t)+θ2(t0-t),卻不恒等于t0時刻的相位之和,而是隨時間t線性減小.注意,在數值中,相位每隔 2π 有個跳躍.

圖4 在共振情況下的系統動力學(γ1/ν=1) (a) 兩能級上的占有概率|ψn|2 (n=1,2)隨時間演化;(b)相位 θn (n=1,2)隨時間演化;(c)以 t0=-0.5 為時間反演點的θ1(t0+t)+θ2(t0-t)演化.系統參數取為γ0=1,γ1=1,ω=2,ν=1初態為ψ1(0)=1,ψ2(0)=0Fig.4.System dynamics for the resonance case with the non-Hermitian parameters γ1/ν=1,starting the system with the state ψ1(0)=1,ψ2(0)=0 :(a) Time evolutions of the occupation probabilities|ψ1|2and|ψ2|2 ;(b) time evolutions of phases θ1(t)and θ2(t) ;(c) time evolution of the sum of phases,θ1(t0+t)+θ2(t0-t) .Here the timeinversion point is given by t0=-0.5 .The system parameters are γ0=1,γ1=1,ω=2,ν=1 .

3)γ1/ν ＞1 .由系統的兩個基本的Floquet 態解(33)和(35),可以構造在這種情況下的通解

式中疊加系數C1,C2由初態決定.同理,由(49)和(50)式,可以得到,從t0 開始的非幺正時間演化算符為

當t0時刻的態制備為ψ1(0)1,ψ2(0)0時,把時間演化算符(51)作用在該態矢量上,可得

圖5 給出了在共振情況下,當γ1/ν ＞1 時的系統動力學演化.同樣地,這里也是以ψ1(0)1,ψ2(0)0為初態直接數值模擬了原始薛定諤方程(1).如圖5 所示,兩能級上的占有概率從t0-0.380 開始沿著正向演化(+t方向),呈指數形式增長.類似地,如理論預期的一樣,數值結果顯示,|ψ1(t0+t)|2|ψ2(t0-t)|2,相位之和,θ1(t0+t)+θ2(t0-t),隨時間t線性減小.

以上分析和數值證明,具有周期驅動形式(7)的系統(1)雖然不具有PT 對稱性,但在共振情況下,其量子態演化具有類似PT 對稱的性質.當非厄米參數強度小于某個臨界值時,兩能級系統布居概率呈周期振蕩;當非厄米參數強度大于該臨界值時,布居概率呈指數增強.而且,在共振情況下,從t0時刻開始演化的量子態,沿著正方向(+t方向)演化和沿著反方向(-t方向)演化在宇稱算符(交換兩個基矢,空間反演)操作下,概率是完全相同的.也就是說,從系統粒子布居概率來看,該非厄米系統的動力學和PT 對稱系統完全一樣.但實際上,兩能級系統的概率幅的相位不滿足PT 對稱性的要求.從數學上講,該系統只滿足PT 對稱的其中一個條件:|ψ1(t0+t)||ψ2(t0-t)|,但不滿足另外一個條件θ1(t0+t)+θ2(t0-t)ξ,這里ξ是個常數,由t0時刻的概率幅的相位決定.我們把這種類似PT 對稱性的量子動力學稱為準PT對稱量子動力學.

5 結論

采用經典相空間分析方法研究了一個周期驅動的非PT 對稱二能級量子系統的非厄米物理特性.由于哈密頓量的非厄米性,體系概率不守恒,引入一個歸一化的量子態,并把薛定諤方程轉化成了一個以兩能級布居數差和相對相位為兩個獨立變量的經典動力學方程.研究發現,該量子系統的Floquet 態對應經典相空間的“贗定點”,即不隨時間變化的布居數差和依賴于時間的相對相位.在經典相空間“贗定點”的基礎上,我們解析構造了由該非厄米哈密頓量支配下的量子態的非幺正時間演化算符,給出了不同參數區域的量子態演化.研究結果表明,該非PT 對稱二能級量子系統也存在類似PT 對稱系統一樣的從對稱未破缺區到破缺區的過渡,而且在該系統量子態的動力學演化中,存在一種準PT 對稱量子動力學,即系統粒子布居概率演化完全滿足時間空間對稱(PT 對稱),但由于相位演化不滿足PT 對稱性的要求,因此,該量子態演化不滿足時間空間對稱(PT 對稱).這些研究結果有利于進一步加深對非厄米量子系統,特別是對PT 對稱概念的理解.

對于更一般的周期驅動非厄米系統,在歸一化的經典相空間中,Floquet 態本征模對應龐加萊截面(每隔驅動周期間隔采樣)的定點.本文建立的經典相空間定點同Floquet 態和準能量的數學聯系,可以推廣到非線性的非厄米量子系統中,有助于研究開放量子多體系統的經典和量子對應,有助于構造新的超越標準量子極限的快速演化非幺正量子門[18,51],這些都是未來進一步的研究工作的重點.