熱/聲耦合方程的解耦分析和數(shù)值求解

朱麗艷 鄧又軍 段超華 李滔

(中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,分析數(shù)學(xué)及其應(yīng)用湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,長(zhǎng)沙,410083)

1 引言

熱彈性力學(xué)作為固體力學(xué)的一個(gè)分支,具有重要的工程實(shí)際意義,其耦合理論受到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注和研究[1,2].本文研究均勻各向同性介質(zhì)中的相互耦合的熱彈性波動(dòng)方程和熱傳導(dǎo)方程的解耦分析和有限差分法的數(shù)值實(shí)現(xiàn).相對(duì)于其他方程而言,雙曲型方程的數(shù)值求解存在諸多困難,如出現(xiàn)數(shù)值振蕩現(xiàn)象,難以得到穩(wěn)定的差分方法[3].孫衛(wèi)濤在[4]中給出了二維均值同性介質(zhì)彈性波動(dòng)方程的差分格式,得到了顯示差分格式,并分析了穩(wěn)定性條件.對(duì)于熱聲耦合下的熱彈性波動(dòng)方程,并未有學(xué)者進(jìn)行差分研究.目前波動(dòng)方程的數(shù)值方法主要有偽譜法[5],有限元法[6],邊界元法[7],譜元法[8],有限差分法等.有限元法和有限差分方法相比,有限元法耗時(shí)長(zhǎng),而有限差分法具有簡(jiǎn)單靈活、計(jì)算效率高以及占用內(nèi)存小等優(yōu)勢(shì),廣泛應(yīng)用于地震波場(chǎng)數(shù)值模擬[9].隨著科研及工程應(yīng)用中對(duì)數(shù)值模擬精度的要求不斷提高,近年來,傳統(tǒng)有限差分法在數(shù)值頻散、穩(wěn)定性方面的不足逐漸顯現(xiàn).緊致差分格式是一種精度和分辨率高的格式,并且具有很好的穩(wěn)定性[10].

本文參考周誠(chéng)堯等[9,11,12]對(duì)地震波方程的五點(diǎn)CDD8 差分格式,以及[3]中數(shù)值黏性修正理論,推導(dǎo)得到數(shù)值黏性項(xiàng),并使用迭代的方法求取四階導(dǎo)和帶混合項(xiàng)的高階導(dǎo),對(duì)CDD8 格式進(jìn)行推廣,對(duì)熱聲耦合的熱彈性波動(dòng)方程進(jìn)行差分實(shí)現(xiàn).

2 耦合原理

在高溫固體介質(zhì)內(nèi)部,聲波的傳播受到熱聲固多物理場(chǎng)控制,由熱彈性力學(xué)理論,控制方程由相互耦合的熱傳導(dǎo)方程和熱彈性動(dòng)力學(xué)方程組成.

2.1 熱彈性波動(dòng)方程

張量形式的熱彈性動(dòng)力學(xué)方程由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程、幾何方程以及熱彈性本構(gòu)方程耦合而成:

其中ui為質(zhì)點(diǎn)位移?σij,?ij分別為應(yīng)力和應(yīng)變張量?ρ為材料密度?fi為外界施加的激振力?Dijkl為材料的彈性模量張量?βij為熱力耦合張量,表示增加單位溫度時(shí)壓應(yīng)力的增量?T為溫度.

將本構(gòu)方程、幾何方程代入質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程,得到各向異性介質(zhì)中的波動(dòng)方程:

對(duì)于均質(zhì)的各向同性介質(zhì),熱力耦合張量βij以常數(shù)β表示,當(dāng)不存在外力作用時(shí),得到均質(zhì)各向同性介質(zhì)中的熱彈性波動(dòng)方程:

其中,

是拉普拉斯算子?

是體積應(yīng)變?

是體積應(yīng)變的梯度?β?T為耦合項(xiàng),表示在非均勻溫度場(chǎng)影響下,由熱膨脹產(chǎn)生的體積力源項(xiàng).

2.2 熱傳導(dǎo)方程

根據(jù)熱固耦合原理,結(jié)構(gòu)變形會(huì)對(duì)熱量傳遞過程產(chǎn)生影響,熱傳導(dǎo)方程可表示為

式中,cv為材料定容比熱容,r為熱源,kij為導(dǎo)熱系數(shù)張量.

對(duì)于均質(zhì)各向同性介質(zhì),導(dǎo)熱系數(shù)張量kij以常數(shù)k表示.將幾何方程代入,若不考慮熱源的影響,修正的熱傳導(dǎo)方程可簡(jiǎn)化為:

方程(2.1)和(2.2)構(gòu)成了固體結(jié)構(gòu)內(nèi)部的波傳播和熱傳導(dǎo)耦合的控制方程,即熱彈性波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程,二者通過介質(zhì)聲學(xué)參數(shù)的溫度效應(yīng)、彈性變形等耦合在一起,大大增加了問題求解的難度.

3 解耦分析

考慮熱彈性波動(dòng)方程和熱傳導(dǎo)方程在求解過程中時(shí)間推進(jìn)上的不同.當(dāng)介質(zhì)的長(zhǎng)度為l時(shí),在熱傳導(dǎo)方程中,表征內(nèi)部溫度場(chǎng)對(duì)邊界熱擾動(dòng)響應(yīng)的特征時(shí)間tc為:

在波動(dòng)方程中,表征內(nèi)部應(yīng)變位移場(chǎng)對(duì)邊界擾動(dòng)響應(yīng)的特征時(shí)間te為:

比較tc與te,二者存在巨大的量級(jí)差異,tc遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于te,即溫度場(chǎng)受到結(jié)構(gòu)變形所產(chǎn)生的影響可以忽略不計(jì),因此,固體結(jié)構(gòu)中波動(dòng)方程與熱傳導(dǎo)方程的雙向耦合,可以解耦為順序耦合.

解耦的計(jì)算分析流程可以描述為:首先求解熱傳導(dǎo)方程獲得模型內(nèi)部瞬態(tài)溫度場(chǎng),進(jìn)行結(jié)構(gòu)熱分析?然后將溫度場(chǎng)作為附加的熱載荷,在聲擾動(dòng)的激勵(lì)下求解波動(dòng)方程,得到結(jié)構(gòu)的應(yīng)變位移場(chǎng),應(yīng)變位移場(chǎng)對(duì)溫度場(chǎng)的影響忽略不計(jì).計(jì)算流程見圖1.

圖1 固體結(jié)構(gòu)中熱/聲耦合分析計(jì)算流程

4 有限差分?jǐn)?shù)值求解

熱彈性波動(dòng)方程存在時(shí)間項(xiàng)和空間項(xiàng)的二階導(dǎo)數(shù),差分格式涉及到至少前后三層的時(shí)間和空間位移.本文將從時(shí)間維度推進(jìn)計(jì)算,在有限差分法的基礎(chǔ)上,引進(jìn)數(shù)值黏性修正手段和五點(diǎn)CDD8 格式提高差分方法的穩(wěn)定性和精度.利用時(shí)間Taylor 方法[3]推導(dǎo)得到數(shù)值黏性（修正）項(xiàng),從而提高差分格式的穩(wěn)定性.由時(shí)間Taylor 方法得到的數(shù)值黏性項(xiàng)為時(shí)間方向的四階導(dǎo)數(shù),利用方程的等式關(guān)系,將時(shí)間四階導(dǎo)轉(zhuǎn)化為空間導(dǎo)數(shù).由于空間四階導(dǎo)的中心差商需要用到前后各兩個(gè)點(diǎn),使得邊界處理更加困難,因此,本文參考[11,12],引入五點(diǎn)CDD8 格式.二維均質(zhì)各向同性介質(zhì),張量形式的熱彈性動(dòng)力學(xué)方程,在不存在外力作用時(shí),可以表示如下:

(4.1)可拆分為以下兩個(gè)方程

其中=(u1,u2)u1=u1(t,x1,x2),u2=u2(t,x1,x2),T=T(t,x1,x2).為了表示方便,記=(u,v)u=u(t,x,y),v=v(t,x,y),T=T(t,x,y).上述方程進(jìn)一步化為:

4.1 網(wǎng)格劃分和時(shí)間離散

選定矩形區(qū)域[a,b]×[c,d]作為差分區(qū)域,對(duì)其進(jìn)行網(wǎng)格劃分:取空間步長(zhǎng)h,時(shí)間步長(zhǎng)τ,網(wǎng)格劃分為:

其中,J1=(b-a)/h,J2=(d-c)/h,xi=a+(i-1)h,i=1,2,···,J1+1,yj=c+(j-1)h,j=1,2,···,J2,J2+1.

差分得到的數(shù)值解記作:

4.2 初邊值條件的處理

4.2.1 初值條件的處理

根據(jù)初始條件u(0,x1,x2)=φ1(x1,x2),v(0,x1,x2)=φ2(x1,x2),得到第一層(n=1)的函數(shù)值:

(4.5)可化為:

由初始條件ut(0,x1,x2)=ψ1(x1,x2),vt(0,x1,x2)=ψ2(x1,x2),用中心差商代替ut,得到:

在(4.6),(4.7)中,令n=1,得

聯(lián)立(4.10),(4.8),消去虛擬項(xiàng),得到第二層(n=2)各網(wǎng)格點(diǎn)上的值的表達(dá)式:

同理,聯(lián)立(4.11),(4.9),消去虛擬項(xiàng),得到第二層(n=2)各網(wǎng)格點(diǎn)上的值的表達(dá)式:

4.2.2 邊界條件的處理

由邊界條件:

得到邊界點(diǎn):

4.3 差分實(shí)現(xiàn)

首先解熱傳導(dǎo)方程,參考[3]中經(jīng)典的向前差分法,可得到熱傳導(dǎo)方程的穩(wěn)定算法,得到的解存為對(duì)方程(2.1),(2.2),利用時(shí)間Taylor 方法,有

將兩式相加得

對(duì)于v,同理可得

這樣相當(dāng)于給了時(shí)間方向四階的精度.利用原方程空間導(dǎo)數(shù)和時(shí)間導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,把時(shí)間導(dǎo)數(shù)化為空間導(dǎo)數(shù):

以上得到的空間四階導(dǎo)項(xiàng)和溫度場(chǎng)三階導(dǎo)項(xiàng)為數(shù)值黏性（修正）項(xiàng).

因?yàn)檫吔缣幩碾A導(dǎo)的差分,需要用到更多的點(diǎn),至少是前后四個(gè)點(diǎn),邊界處理變得更困難,所以用五點(diǎn)CDD8 格式近似代替空間二階導(dǎo)數(shù)和四階導(dǎo)數(shù).超緊致有限差分格式在緊致差分格式基礎(chǔ)上發(fā)展而來,1998 年KRISHNAN 提出了如下的五點(diǎn)CCD8 格式[13]:

利用上述導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的關(guān)系式,可推導(dǎo)導(dǎo)數(shù)由函數(shù)表示的表達(dá)式,從而得到導(dǎo)數(shù)的差分.

以x方向?yàn)槔?說明利用五點(diǎn)CCD8 格式求解公式中u對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)的過程.

假設(shè)U為位移場(chǎng),A為公式左端的差分系數(shù)矩陣,B為公式右端的差分系數(shù)矩陣,F為待求位移場(chǎng)空間一階和二階導(dǎo)數(shù)矩陣,將上式化成矩陣形式:AF=BU.

·二階導(dǎo)數(shù)的求法:

解F=A-1BU,即可求得.其余的帶混合項(xiàng)的高階導(dǎo)數(shù)也可以類似求得.

以上,我們得到了所有空間二階導(dǎo)、二階混合項(xiàng)導(dǎo)數(shù)、四階導(dǎo)、帶混合項(xiàng)的高階導(dǎo)的差分格式,將其代入公式(4.14),(4.15)便可得到彈性波動(dòng)方程(2.1)的差分格式.

4.4 算例

4.5 數(shù)值求解結(jié)果

本文以時(shí)間推進(jìn)的方式進(jìn)行計(jì)算,本節(jié)設(shè)置數(shù)值實(shí)驗(yàn),觀察算法精度和空間網(wǎng)格的關(guān)系,以及誤差隨時(shí)間推進(jìn)是否產(chǎn)生傳遞.

粗網(wǎng)格下數(shù)值解和精確解的比較見圖2,其中,空間步長(zhǎng)為0.1,時(shí)間步長(zhǎng)為0.01,運(yùn)算至n=300,即t=3s 時(shí)停止.

細(xì)網(wǎng)格下數(shù)值解和精確解的比較見圖3,其中,空間步長(zhǎng)為0.05,時(shí)間步長(zhǎng)為0.01,運(yùn)算至n=300,即t=3s 時(shí)停止.

通過比較圖2和圖3,可以看出,誤差隨著空間網(wǎng)格的加密而減小.

細(xì)網(wǎng)格下t=5s 時(shí)數(shù)值解和精確解的比較見圖4,其中,空間步長(zhǎng)為0.05,時(shí)間步長(zhǎng)為0.01,運(yùn)算至n=500,即t=5s 時(shí)停止.

通過比較圖3和圖4,可以看出,誤差和解的大小一起隨著時(shí)間的推進(jìn)而衰減,沒有出現(xiàn)誤差積累的情況,算法在此種網(wǎng)格下是穩(wěn)定的.

5 結(jié)論

1.本文研究了均勻各向同性介質(zhì)中的相互耦合的熱彈性波動(dòng)方程和熱傳導(dǎo)方程的解耦和有限差分法的數(shù)值實(shí)現(xiàn).根據(jù)熱傳導(dǎo)方程和彈性波動(dòng)方程的特征時(shí)間推進(jìn)上的不同,將雙向耦合解耦為順序耦合,首先求解熱傳導(dǎo)方程,然后將溫度場(chǎng)作為附加的熱載荷,求解熱彈性波動(dòng)方程.

2.熱傳導(dǎo)方程采用經(jīng)典的有限差分法進(jìn)行求解,本文采用顯示向前差分法?然后將數(shù)值粘性修正原理及五點(diǎn)CDD8 格式應(yīng)用到彈性波動(dòng)方程的有限差分中來,通過Fortran 語(yǔ)言進(jìn)行編程實(shí)現(xiàn).本文數(shù)值結(jié)果表明,精度和計(jì)算效率都較為理想.

圖2 t=3s 時(shí)的數(shù)值解求解結(jié)果

圖3 網(wǎng)格加密后t=3s 時(shí)的數(shù)值解求解結(jié)果

圖4 網(wǎng)格加密后t=5s 時(shí)的數(shù)值解求解結(jié)果