一類Lorenz型系統中的混沌分析

楊文杰,張 帆,鄭前前

(許昌學院 數理學院,河南 許昌 461000)

1963年氣象學家Lorenz對氣象模型進行數值模擬時發現了一種奇怪的吸引子-Lorenz吸引子[1].它的出現引發了人們對混沌現象的研究并提出了一系列的混沌系統[2].

時滯通常是指系統狀態的預期發展不僅取決于現在和將來的時間狀態,也關系到過去的時間狀態.它影響著人們生活的方方面面,無論是生物體受到外部刺激的反應過程,還是生物醫學、航空航天、工程設計、機械制造以及電子通信等領域中的反應過程,物理化學等領域的科學研究和建設過程都不可避免受到時滯的影響[3].而且，不同系統中的時滯對系統的影響不同,這意味著在研究分析和探索這些實際系統時,時滯是一個不可忽視的重要研究對象.譬如，研究發現在一些非線性系統中，時滯可以引起系統的解產生振蕩不穩定性[4]，說明了時滯可以使得Vander Pol-Duffing Oscillator中產生周期運動等現象[5].而這些現象或運動直接影響著諸如生育節律性、相位反轉、徑向俘獲、相位跳躍和振幅空間中的螺旋模式等.因此,研究時滯對系統的影響具有很好的實用價值.

1 模型

Calderon-Saavedra等人給出了一個新的Lorenz型系統[2],主要研究了該系統中的分岔從超臨界轉變成亞臨界的條件,最后證明了受干擾系統經受亞臨界Hopf分岔的控制律.然而，該系統在時滯影響下的現象值得研究，為此，考慮在該系統中加入時滯變量τ構成新的Lorenz型系統，具體形式為

(1)

其中x,y,z為狀態變量,a,d,b,f,g為系統參數,τ(>0)為時滯量,a>0，f≥0，g≥0,且f+g>0，b,d∈R.下面考慮在具有時滯的情況下,該系統Hopf分支產生的條件、方向以及周期解的穩定性,這些結果在物理、化學或生物系統中有著很廣泛的應用.

2 系統平衡點的穩定性分析

令u1(t)=x(t)-x*,u2(t)=y(t)-y*,u3(t)=z(t)-z*,從而可將平衡點平移到原點處,并得到其在原點處的線性化系統為

(2)

且可得系統(2)的特征方程為

-λ3+q1λ2+q2e-λτλ2+q3λ+q4e-λτλ+q5e-λτ=0，

(3)

其中q1=d-b，q2=-a，q3=bd-gx*2，q4=ad-ab-az*，q5=abd-2afx*2-agx*y*-agx*2-abz*.

當τ=0時,由Routh-Hurwitz判據可知,若q5<0,q1+q2<0,(q1+q2)(q3+q4)>-q5則有

①當E=E1時,系統的平衡點是漸進穩定的;

②當E=E2或E=E3時,方程(3)至少有一個正實根,因此E2和E3均是不穩定平衡點.

因而，下面只討論平衡點E=E1的情況.

令iω(ω>0)是方程(3)的特征根,代入(3)得

-(iω)3+a1(iω)2+a3(iω)2e-iωτ+a3(iω)+a4(iω)e-iωτ+a5e-iωτ=0,

令v=ω2,可得

G(v)=v3+e1v2+e2v+e3,

(4)

G′(v)=3v2+2e1v+e2.

從而，得到如下的結論.

引理1 對于方程(4)，有

①若e3<0,則(4)至少有一個正根；

②若e3≥0,則(4)至少有一個正根當且僅當z*>0,使得G′(v*)=0且G(z*)≥0.

若系統(1)的系數均給定,運用MATLAB軟件,可以很容易算出(4)的所有根.

由以上的結論與假設,結合Ruan與Wei在文[6]中的結論可以得到.

①當τ∈[0,τ0)時,系統(1)的平衡點是漸近穩定的,

②當τ>τ0時,系統(1)的平衡點是不穩定的,

③當τ=τ0時,系統(1)出現Hopf分支.

證明對于特征方程(3),當τ=0時,若q5<0，q1+q2<0，(q1+q2)(q3+q4)>-q5，則當E=E1時,系統的平衡點是漸進穩定的.

3 分支周期解的穩定性和分支方向

為進一步計算并討論Hopf分支的方向和分支周期解的穩定性.設t=τt,且μ=τ-τk,則μ=0為系統(1)的Hopf分支值.考慮其等價系統

其中x=(u1,u2,u3)T∈R3,L(μ)是C([-1,0],R3)到R3上的連續映射.由Riesz表示定理及Hassard方法[7],可得

它們決定著中心流形上分支周期解在臨界值τk處的性質.即μk確定分支周期解的方向，若μ2>0(<0),則Hopf分支為上臨界(下臨界)分支且分支周期解出現在τ>τ0(<τ0)；β2確定分支周期解的穩定性，若β2<0(>0)，則分支周期解是穩定的(不穩定的)；T2確定分支周期解的周期，若T2>0(<0)，則其分支周期解的周期是增加的(減少的).

4 數值模型分析及結論

為了驗證前面的理論結果,考慮如下的時滯系統

(5)

圖1 系統(5)在τ=0.158 5時的軌跡及相圖

圖2 系統(5)在τ=0.337 4時的軌跡及相圖

圖3 系統(5)在τ=0.737 4時的軌跡與相圖

通過研究一類具有時滯的Lorenz型系統.首先，分析了系統平衡點的局部穩定性和Hopf分支的存在性,得到了當以τ為分支參數時系統的局部漸近穩定、不穩定、Hopf分支發生的條件.進一步得到了關于Hopf分岔的一些顯式公式.其次，發現了μ2決定Hopf分支的方向,β2決定分支周期解的穩定性,T2確定分支周期解的周期.最后,通過數值模擬驗證了理論分析的正確性.