把握數學概念的本質，提升數學教學的效能

?江蘇省常熟市昆承中學 張 超

數學概念是數學知識的核心內容，也是掌握其他數學知識的基礎，學好數學概念可以使知識的運用更加靈活，使學生更加能夠理解數學的本質.然而數學概念具有抽象性和復雜性的特點，常常使很多學生望而生畏，無法理解其內涵，影響了其他數學知識的學習.因此，數學概念的教學效果對于數學課堂的學習效能有著重大影響.在教學中，教師要從學生的角度出發，重視數學概念的生成和學生的感悟，不能采用讓學生強行記憶的方式進行數學概念的教學，只有這樣才能提升數學概念的教學效果.筆者擬以“銳角三角函數”一課為例，從分析數學概念教學的問題出發，探討有效推進數學概念教學的策略.

1 忽視學生感悟的概念導入，導致學習低效

案例1導入“銳角三角函數”

(1)Rt△ABC中，∠C為直角，AC的長度為3，BC的長度為4，求AB的長度.

(2)Rt△ABC中，∠C為直角，AC的長度為3，∠B的度數是40°，求AB的長度.

設計評析：本例是通過問題進行導入，第(1)問在已有的對勾股定理認知的基礎上，學生很容易求出AB的長度.接著教師繼續提出第(2)問，學生已有的知識儲備難以求出AB的長度，從而設疑導入.看似是精心設計，為了激發學生的探究欲，實則卻忽視了導入的必要性，“為了導入而導入”，這樣的導入就失去了意義，學生只是跟隨教師盲目操作，對新學的知識沒有很深的印象.

改進建議：本例可以通過創設以下情境進行導入——小華和小方兩人一起步行，小華在傾斜角為30°的斜坡上步行，小方在傾斜角為40°的斜坡上步行，兩人在同一水平上步行了150 m，請問誰登得高？高多少呢？

改進評析：修改之后的設計通過連續的追問引入課題，第一個問題大部分學生都能回答，一下子激發了學生的興趣，使學生對學習充滿信心.在此基礎上，學生試圖去回答登得高多少時，卻發現遇到了困難，無法解決其中的數量關系，這時自然地引入課題，使得學生充滿了想要探究的好奇心，一下子吸引了學生的注意力.這樣的設計既考慮了學生已有的知識經驗和認知水平，又讓學生帶著疑問進入了學習狀態，發揮了導入的最佳效應.

數學概念的導入首先要使學生從心理上產生認同感，這就需要創設符合學生生活實際的情境，使學生明晰引入數學概念以及建立這一概念的理由，激發學習動力，為深入學習做好心理準備.

2 忽視概念生成的探究，導致學習低效

案例2正弦定義

(1)由特殊到一般概括正弦的定義.

已知Rt△ABC中，∠C為直角.

①如果∠A的度數為30°，那么∠A所對的直角邊與斜邊的比是多少？

②如果∠A的度數為45°，那么∠A所對的直角邊與斜邊的比是多少？

③如果∠A的度數為60°，那么∠A所對的直角邊與斜邊的比是多少？

(2)請大家觀察幾何畫板的演示，思考一般情況下，在Rt△ABC中，當銳角A取固定值時，∠A的對邊與鄰邊的比是固定的嗎？

(3)經過大家的共同證明，我們得到了一個結論：在Rt△ABC中，對于銳角的任何一個固定值，它的斜邊與對邊的比是固定的，與Rt△ABC的大小無關.

(4)歸納總結：在Rt△ABC中，∠A所對的邊與斜邊的比值隨∠A的變化而變化；∠A不變，則比值不變.

教師板書正弦定義：在△ABC中，∠C為直角，那么銳角A的對邊與斜邊的比就叫做∠A的正弦，記作sinA.

師：這里要注意sinA是一個完整的符號，不是一個乘積形式，符號中的“∠”是習慣省去的，而單獨的“sin”也是沒有意義的.

設計評析：上述設計體現了教師希望通過由特殊到一般歸納正弦定義的良苦用心，問題由易到難，便于學生接受.但是在整個流程中學生始終處于被動地位，正弦定義的概念并不是學生在探究中主動獲取的，是被動地接受的.在學生觀察幾何畫板演示的過程中，學生被動接受了∠A的對邊與鄰邊的比值是一個固定值，教師并沒有引導學生去論證和思考，只是直接把結論灌輸給了學生.這一環節中，學生只需用到記憶性思維，而沒有調動其他的思維形式，然而強行記憶是容易遺忘的，也將影響到知識和技能的運用.

改進建議：上述流程可以變為引導學生探索的過程，改進如下.

(1)探究問題

已知Rt△ABC中，∠C為直角.

①如果∠A的度數為30°，那么∠A所對的直角邊與斜邊的比是多少？

②如果∠A的度數為45°，那么∠A所對的直角邊與斜邊的比是多少？

③如果∠A的度數為60°，那么∠A所對的直角邊與斜邊的比是多少？

(2)觀察分析

請大家觀察幾何畫板的演示，思考一般情況下，Rt△ABC中，當銳角A取固定值時，∠A的對邊與鄰邊的比是固定的嗎？

(3)猜想證明

學生經過討論闡述自己的想法，然后猜測：一般情況下，在Rt△ABC中，當銳角A取固定值時，∠A的對邊與鄰邊的比是固定的.

(4)動手實踐

在教師的引導下，改變點B的位置(如圖1)學生通過測量計算∠A的對邊與鄰邊的比看有沒有發生變化；當∠A的度數發生改變時，再次通過測量計算比值進行對比.

圖1

(5)推理論證

經過猜想和實踐之后如何證明這個結論，為什么∠A的對邊與鄰邊的比不發生變化呢？在教師的提示下學生自主探索，可以通過相似三角形的知識進行推理驗證.

(6)再次探究

師：經過剛才的證明，大家已經知道了∠A的對邊與鄰邊的比與點B的位置是無關的，那么它與∠A的度數是否有關呢？我們應該用什么方法驗證呢？

生1：可以改變∠A的度數再次進行測量.

師：很好！請大家來操作一下.

師：很好！但是這個結論還是需要通過理論進行證明，大家看看是否可以用幾何圖形來驗證？

生3：如圖2，以O為圓心，OP為半徑的圓上有一點P，在PH與OP的比值中，當角度增大時，PH變大，因此在分母不變的情況下，比值越來越大.

圖2

(7)總結規律

通過畫圖可以清晰地看到角度與比值的變化關系，再次驗證了結論：角度變化，比值也相應變化.這種隨著角度變化，比值發生變化的規律就是正弦的定義，我們可以用sinA來表示∠A的正弦.

改進評析：通過教師引導下的探究，學生積極參與到學習活動中，經過思考、討論、總結，逐步理解了正弦的概念，為進一步學習三角函數奠定了基礎.銳角三角函數的概念反映了角度與數值之間對應的函數關系，學生在探究的過程中學會了運用所學知識解決問題，理解知識之間的邏輯關系.在證明猜想的過程中，教師引導學生利用相似三角形證明比值相等，真正深化了學生對概念的理解.

兩種設計方式表面上學習效果沒有太大差別，但是從更深層次來看，第二種設計給學生創設了探索的平臺，鍛煉了學生的思維，更加有利于學生的發展.

3 不恰當地使用新知，影響學生對概念的理解 課堂教學中一般都有一個當堂鞏固的環節，通過習題對當堂所學知識進行鞏固訓練.

案例3課堂鞏固

(1)已知Rt△ABC中，∠C為直角，AC的長度為3，BC的長度為4，求sinA和sinB的值.

(2)已知在△ABC中，CD是AB邊上的高，CD的長度為12，AD的長度為9，BD的長度為5，求sinA,sinB,sin∠ACD和sin∠BCD的值.

(3)在Rt△ABC中，∠C為直角，a的長度為1，c的長度為2，求sinB的值.

設計評析：上述練習都是在直角三角形中求正弦值，一方面題型單一，學生基本只需要單一的固定思維就能解決，沒有起到鍛煉思維的作用；另一方面容易給學生一種誤導，只有在直角三角形中才能求銳角三角函數的值.因此，對學生的學習能力起不到應有的提升作用，一旦題型稍作改變，學生可能就一籌莫展了.

改進建議：(1)在Rt△ABC中，∠C為直角，AB的長度為5，BC的長度為3，求∠A的正弦.

(2)在Rt△ABC中，∠C為直角，BC的長度為3，sinA的值為3∶5，求AB和AC的長度.

變式訓練：在Rt△ABC中，∠C為直角，BC的長度為3，sinA的值為3∶5，求sinB的值.

改進評析：改進后的練習，不僅檢測了學生對正弦知識的掌握情況，突出了重點，而且還通過變式訓練，培養了學生通過設置參數解題的方法.這樣的設計調動了學生的多種思維，提升了學生的解題能力，全面鞏固了所學知識.

課堂鞏固的目的是為了了解學生知識的掌握情況，因此在習題設計時要注意問題的廣度，重視思維過程，提高習題的質量，促進學生積極思考.

總之，數學概念的教學要摒棄給學生教概念的做法，要以學習活動為抓手，在引導學生探究思考的過程中，積累活動經驗，提高學習能力，深入理解數學概念的本質.