聚焦基本圖形 滲透一般觀念

?太湖縣實驗中學(xué) 周陽明

平面幾何是初中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一大障礙，對于幾何題，學(xué)生們普遍感覺是難、很難.尤其是圖形繁雜一點的幾何題，那更是霧里看花，大海里撈針，無從下手，沒思路.對此，筆者結(jié)合自身教學(xué)實踐及參加市級課題“一般觀念引領(lǐng)下的中學(xué)數(shù)學(xué)幾何教學(xué)研究”所學(xué)理論對這類現(xiàn)象略作出分析思考，認為幾何教學(xué)要關(guān)注基本圖形，滲透一般觀念，幫助學(xué)生提高解題能力.一家之言，以期拋磚引玉.

1 基本圖形的意義及分類

基本圖形指的是蘊含了一些特定性質(zhì)和應(yīng)用條件的幾何圖形，它是構(gòu)成幾何圖形的細胞，一個個這樣的細胞通過疊加或者刪減線段構(gòu)成了靈動優(yōu)美的平面幾何圖形.在解決幾何題時如果能發(fā)現(xiàn)、聚焦幾何圖形就能加深對題中數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系的理解，從而快速發(fā)現(xiàn)解題思路.離開基本圖形去討論幾何題的解法無異于緣木求魚，學(xué)生只能機械地得到一些解題經(jīng)驗，而不能得到科學(xué)的解題方法.

初中幾何中常見的基本圖形有30多個，例如與平行線有關(guān)的“三線八角”、等腰三角形、直角三角形斜邊上的中線、全等三角形、相似三角形、特殊角三角形、垂徑定理等.

2 基本圖形的應(yīng)用

如何聚焦基本圖形呢？首先要明確每個基本圖形的應(yīng)用條件和具體結(jié)論，然后根據(jù)題目的條件找出圖中的基本圖形，此過程中可能要添加輔助線補充出基本圖形.教師在平時的日常教學(xué)中要有追求直觀的意識，培養(yǎng)學(xué)生從復(fù)雜圖形中找出基本圖形，分離式補全基本圖形以及應(yīng)用基本圖形性質(zhì)的能力.下面結(jié)合教學(xué)中的一個案例來進行分析.

例題如圖1，△ABC中，AB=AC，點D，E，G分別為線段BC，AD，AC的中點，DF⊥BE交BC于點F.求證：FG=DG.

圖1

與中點有關(guān)的基本圖形有三角形的中線、三角形的中位線、三角形的重心、等腰三角形的三線合一、直角三角形斜邊上的中線、平行四邊形的對角線、直徑已知的圓、垂徑分弦、線段的垂直平分線等.

2.1 從已知圖形中找出基本圖形

分析：由∠DFE=90°，需證FG=DG，可聯(lián)想到直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半這一基本圖形，從而延長FE和DG交于點H(如圖2)，連接EG.利用三角形的中位線和相似三角形里的“A字型”這兩個基本圖形來證明G為DH的中點，從而證出FG=DG.

圖2

2.2 從結(jié)論出發(fā)聯(lián)想構(gòu)造基本圖形

分析：從線段的垂直平分線出發(fā)尋找思路.因為要證FG=DG，只要證明點G在線段DF的中垂線上.如圖3，過點G作GN⊥DF交BC于點M，垂足為N.于是四邊形EGMB是平行四邊形，則2EG=2BM=BD.根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半或平行線等分線段知FN=DN，故點N是線段DF的中點，從而得證.

圖3

2.3 利用圖形中的點或者線段聯(lián)想基本圖形

分析：由中點加直角聯(lián)想到基本圖形，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半(已知直徑的圓)，由此出發(fā)尋找解題思路.本題中的已知條件出現(xiàn)了AB=AC，點D為BC的中點，所以可以應(yīng)用等腰三角形中重要線段的基本圖形的性質(zhì)，從而得到∠ADC=90°.這是本題中的第一個基本圖形.

圖4

證法3：如圖4，連接AF，CF.

因為DF⊥BE，所以∠BFD=∠DFE=90°，則∠CFD+∠CFE=90°.

故FG=DG.

通過例1的分析，可以發(fā)現(xiàn)這一道復(fù)雜的幾何題實際上就是由幾個基本圖形組成的，分別找到這幾個基本圖形，把它們分離或補充出來，再根據(jù)這些基本圖形的性質(zhì)，經(jīng)過簡單推理就能得出結(jié)論.從教學(xué)實際看，學(xué)生在掌握聚焦基本圖形這一分析方法后能觸類旁通，發(fā)展一般觀念，掌握幾何問題的分析思考方法，能一看就明白，一想就出來，充分體會到數(shù)學(xué)的邏輯美、嚴謹美和成功的喜悅.

3 幾點思考

3.1 教學(xué)中要重視基本圖形

基本圖形對學(xué)生學(xué)好幾何、提高解題能力有著舉足輕重的作用.教師在日常教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生認識基本圖形，幫助學(xué)生理解基本圖形的應(yīng)用條件和性質(zhì)；要精心設(shè)計例題，對課本中的例題進行合理變式，幫助學(xué)生掌握基本圖形的性質(zhì)，獲得基本的數(shù)學(xué)經(jīng)驗；不能一味地趕進度，或者覺得知識簡單、學(xué)生應(yīng)該容易懂就一帶而過，然后光注重刷難題；要重心下移，注重夯實基礎(chǔ)，反復(fù)打磨，對于體現(xiàn)通性通法的的好題要舍得下功夫.

3.2 聚焦基本圖形，重視幾何直觀，體會思想方法貫通

大多數(shù)情況下，學(xué)生解決幾何問題都是看出來的，而不是證出來的.這就說明學(xué)生解決幾何問題更傾向于直觀想象，靠的是直覺.因此，教師在日常教學(xué)中要有重視學(xué)生直觀思維能力的意識，要注重對學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)，著重培養(yǎng)學(xué)生“看”的能力：能從已知條件和已知圖形中發(fā)現(xiàn)基本圖形，分離基本圖形；從結(jié)論、特殊點或線段聯(lián)想基本圖形，聚焦基本圖形并對圖形進行邏輯推理、模型應(yīng)用.同時，還要注重引導(dǎo)學(xué)生體會數(shù)學(xué)思想方法，并內(nèi)化解題經(jīng)驗，優(yōu)化自己的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，從而提高學(xué)生幾何構(gòu)圖能力和解題能力，真正做到看得出、想得明白.

3.3 重視一般觀念，發(fā)展核心素養(yǎng)

一般觀念是指在不同問題或者同一類問題中存在的相同規(guī)律和思想方法，它是學(xué)生思維能力的一個指標特征.而數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要任務(wù)就是在傳授知識的同時，讓學(xué)生的思維能力得到提高與發(fā)展.日常教學(xué)中應(yīng)當(dāng)從頭到尾將學(xué)生思維能力的培養(yǎng)與發(fā)展放在重中之重的地位.因此，由一般觀念出發(fā)，發(fā)展學(xué)生思維能力就是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，而解決初中幾何問題又是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一個重要途徑，它是在“看”和“想”的過程中逐步積累的.這就要求我們的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容，從圖形出發(fā)，分離或補充出基本圖形，設(shè)置合適的階梯問題，逐步引導(dǎo)，讓不同層次的學(xué)生都能積極參與進來，引發(fā)學(xué)生思考與交流.問題的解決是學(xué)生經(jīng)歷從不同角度尋求分析問題、解決問題的方法的過程，體會數(shù)學(xué)的思想美和思維美，掌握分析解決一類問題的一般觀念.同時，教學(xué)中還要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會多視角、多層次地思考問題，通過“一題多解”“一題多變”“多題一解”“逆向求解”等激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，體會不同問題之間蘊含的共同特征、一般規(guī)律，發(fā)展學(xué)生不同方面的思維能力，形成和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).