基于數學核心素養的教學目標結構轉變思考
——以“二次函數與一元二次方程、不等式”教學為例*

?阜陽師范大學數學與統計學院 唐 劍 楊樂樂 黃如琳

隨著國內外教育家對于核心素養的討論，當今數學素養已經作為現代高中生必備的基本素養，寫入了我國課程標準中.但是，人們對教學目標的理解一直以三維目標為統領，在素質教育真正實施過程中遇到了許多問題，使得數學學科核心素養難以有效落實.一方面，三維目標的表述籠統、寬泛，在實際教學中缺乏可操作性.另一方面，大部分教師在教學設計與實際教學中往往忽略了情感態度價值觀目標.因此，“素質教育在新課改實施了十余年中，仍然沒有取得令人滿意的結果，一大原因就是忽視學生的數學素養發展”[1].而《普通高中數學課程標準(2017年版)》在凝練數學學科核心素養過程中對三維目標進行了整合，不僅有效地克服了以三維目標為統領下教學設計存在的問題，而且為教育工作者改革和創新數學教學目標指明了新的方向.

1 教學目標結構的轉變

隨著新課改的不斷推進，“教授學生學習方法成為共同追求的目標，這就需要教師合理轉變自身教學觀念，注重對學生核心素養的培養”[2].筆者認為，教師教學觀念的轉變，會經歷三個階段：教什么、怎么教、如何學.第一階段，教師注重需要將哪些知識呈現給學生，以達到學生的學業要求.第二階段，教師注重知識的呈現方式，怎么呈現更有助于學生的理解掌握.第三階段，教師注重該如何促進學生自主學習，實現學生能力的發展.前兩個階段教師的教學目標關注點為知識傳授.第三個階段教師的教學目標轉變為關注學生的學習過程，如何有效地促進學生能力發展，即如何形成與發展學生數學核心素養.“數學學科核心素養作為課程目標，這標志著課程發展的邏輯起點需要從學科內容走向核心素養”[3].教學目標的制定為教學活動指引了方向，并指導著教師教學過程.“由于一切數學對象都是思維的產物，所以數學抽象是數學最本質的特征”[4].因此，數學學科核心素養下，教學目標制定前應注重以下七方面綜合思考：以數學學科知識為基礎，注重學生內外部因素，了解數學發展歷史，厘清數學知識結構，挖掘數學概念本質，滲透數學思想方法，展現數學應用價值.教學目標制定時應注重體現能力培養的“源頭”“方式”和“結果”，即達成教學目標的源頭、方式和結果(例如：通過……，達到……).以此制定教學目標，教師在教學過程中“尋源頭”“明方式”“達結果”，將教學目標和整個教學活動貫通起來.為教師最后教學反思奠定基礎，為學生發展數學學科核心素養，形成適應社會發展的正確價值觀、必備品格和關鍵能力提供助力.

2 教學設計

教學目標不僅指引著教學活動方向，而且體現在整個教學活動之中.筆者依據課程標準的要求，結合六大核心素養與水平劃分，以培養學生“能力”為導向，設計“二次函數與一元二次方程、不等式”教學案例.該節重點教學內容為一元二次不等式的概念和解法，主要形成與發展學生數學抽象、數學建模、直觀想象和邏輯推理素養.

2.1 教材分析

“二次函數與一元二次方程、不等式”選自人教A版必修第一冊第二章第三節，該節內容對于高中學習至關重要.從內容上看，它既是初中學過的一次函數與一元一次方程、不等式的延續，又為后面學習函數的概念、導數、圓錐曲線等知識奠定基礎.因此，本節不等式的學習內容有著承上啟下的作用.從數學思想及形成與發展學科核心素養方面來看，二次函數與一元二次方程、不等式的概念學習過程中蘊含著大量的類比、轉化和化歸思想，有助于促進學生的數學抽象、邏輯推理素養發展.此外，在二次函數與一元二次方程、不等式解題過程中，蘊含著豐富的數形結合、方程與函數的思想，有助于促進學生數學運算、直觀想象和數學建模素養的發展.

2.2 學情分析

在知識方面，該節內容是初中一元二次方程與二次函數的延續，在本節之前剛學習了基本不等式，學生已經具備一定的基礎知識，有助于本節一元二次不等式的學習.在能力方面，學生已經具備了基本的直觀想象和邏輯推理能力，有利于自主探究一元二次不等式的概念和解法.但是，由于學生在初中階段的知識主要以具體、形象的表達方式展現，對于剛剛邁入高中的學生來說，數學抽象與數學建模能力仍處于較低水平.因此，在教學中應注重引導學生將文字語言轉化為符號語言和圖形語言，并建立起它們之間的聯系.

2.3 教學目標

(1)通過類比“三個一次”研究“三個二次”，在學習過程中將復雜的問題轉化為簡單容易處理的問題，以達到邏輯推理素養水平一層次.

(2)通過觀察二次函數圖象，將三個“二次”建立緊密的聯系，掌握圖象求解不等式的方法，進而應用歸納思想方法，體會函數、方程與不等式的一般聯系，以達到直觀想象素養水平二層次、數學運算素養水平二層次.

(3)通過引入生活中具體實例，學生能夠自主發現問題，并在教師的引導下將實際問題轉化為數學問題進行抽象與建模，進而用數學符號表達，引入一元二次不等式概念，以達到數學抽象素養水平一層次、數學建模素養水平二層次.

2.4 教學重難點

教學重點：

(1)理解零點和一元二次不等式的概念，以達到數學抽象素養水平一層次.

(2)理解并掌握利用二次函數的圖象對一元二次不等式進行求解的方法，以達到直觀想象素養水平二層次和數學運算素養水平二層次.

教學難點：

(1)通過一元一次不等式類比到一元二次不等式，掌握求不等式解集的方法，以達到邏輯推理素養水平一層次.

(2)理解“三個二次”的關系.

2.5 教學過程

2.5.1 回顧舊知，引入新知

師：大家還記得，怎樣求二次函數與x軸交點的橫坐標嗎？(通過PPT展示二次函數與x軸有交點的圖象.)

生：由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，解出x1,x2，即為二次函數與x軸交點的橫坐標.

師：零點的概念：

一般地，對于二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)，我們把使ax2+bx+c=0的實數x叫做二次函數y=ax2+bx+c的零點.

師：二次函數的零點與相應一元二次方程的實根有何關系？

生：函數零點情況和方程實根情況是相同的.

設計意圖：根據先行組織者策略，以學生已有知識為基礎進行導入.通過探究二次函數零點與一元二次方程的關系，引導學生將求解二次函數零點的問題轉化為求解一元二次方程實根的問題，體會二次函數與一元二次方程是緊密相關的，以此培養學生轉化思想，促進學生數學抽象素養的發展.

2.5.2 引入實例，講授新課

例楊老師現有24 m長的圍欄，要想圍成一個面積大于20 m2的矩形區域，求這個矩形一條邊長的取值范圍.

(進行小組討論并分享討論結果.)

師：(板書)設矩形一條邊長為xm，則另一條邊長為(12-x) m.由題意，得

(12-x)x>20，x∈{x|0

整理,得x2-12x+20<0,x∈{x|0

引導學生觀察該不等式，發現該不等式未知數個數和最高次數的特點，并通過這個不等式，類比一元一次不等式的概念和形式，推出一元二次不等式的形式和概念.

生：一般地，我們把只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是1的不等式，稱為一元一次不等式.一般形式為

ax+b>0或ax+b<0，

其中a,b均為常數，a≠0.

一般地，我們把只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式.一般形式為

ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,

其中a，b，c均為常數,a≠0.

設計意圖：學生通過合作探討，在教師的引導下對例題進行抽象和建模，將生活問題數學化，體會數學問題的價值，以此達到數學建模素養水平二層次.隨后學生觀察所列式子，并選擇相似對象，通過類比，自主探討一元二次不等式的概念，并將概念抽象成數學符號形式，以此提高邏輯推理能力，并達到數學抽象素養水平一層次.

2.5.3 類比聯系，探究解法

組織學生類比一元一次不等式的求解方法，探討一元二次不等式求解方法.

(1)以一元一次不等式2x+2<0為例, 如表1所示.

表1 2x+2<0的解集分析

(2)以一元二次不等式x2-12x+20<0為例，如表2所示.

表2 x2-12x+20<0的解集分析

由于{x|2

設計意圖：一方面，通過類比一元一次不等式的求解方法，學生自主發現一元二次方程的實根、二次函數圖象與一元二次不等式解集的關系(即三個二次的關系).在這個過程中，從三個“一次”類比到三個“二次”，促進學生達到邏輯推理素養水平一層次和數學運算素養水平二層次.另一方面，在整個解題過程中運用函數思想、方程思想與數形結合思想，不僅發現函數、方程、不等式有著各自的體系，而且同種類型的函數、方程、不等式也有緊密的聯系.進而感受數學的整體性，體會數學有著完整而又嚴謹的體系!促進學生達到直觀想象素養水平二層次.

2.5.4 鞏固新知，隨堂練習

解下列不等式：

(1)x2-5x+6>0；(2)-x2+2x+3<0.

2.5.5 集思廣益，課堂小結

學生通過閱讀教材和回顧解題過程，歸納出一元二次不等式的一般解法：

(1)將二次項系數化為a>0形式，設二次函數y=ax2+bx+c(a>0)，函數圖象開口向上.

(2)解一元二次方程ax2+bx+c=0，當Δ≥0時，求得一元二次方程的實根，即二次函數的零點；當Δ<0時，直接進入下一步.

(3)結合二次函數y=ax2+bx+c(a>0)圖象，寫出不等式的解集.

設計意圖：歸納一元二次不等式的一般解法，有助于學生體會從特殊到一般的思想方法，幫助學生厘清所學知識的層次結構，構建知識的內在聯系，促進學生邏輯推理素養發展.

2.6 教學設計反思

2.6.1 引入二次函數零點環節

二次函數與一元二次方程是初中學習的內容，會出現學生對于原有知識掌握不牢的情況，但是函數零點的概念是建立“三個二次”關系的基礎.因此怎樣引導學生建立起新舊知識的聯系，促進學生有效地學習，對本節教學至關重要.教師在借助一元二次方程的實根引入二次函數零點概念時，可以先復習二次函數與一元二次方程的關系，多舉幾個實例，歸納出一般結論.促進學生直觀地理解二次函數零點與一元二次方程實根的關系，有利于學生理解新知，促進邏輯推理素養提高.

2.6.2 探究一元二次不等式解法環節

通過類比具體一元一次不等式探究具體的一元二次不等式的解法，雖然在整個過程中借助函數圖象能夠直觀地展示求解過程，有助于學生理解，但是這樣的求解過程缺乏一般性，僅僅展示了一種情況(函數有兩個零點)的求解過程.教師可以追問：如果函數有一個零點或者沒有零點，一元二次不等式的解集又會是什么情況呢？通過教師的追問，打開了學生的思維，激發學生的探究意識，引導學生歸納出更一般性的一元二次不等式的求解方法，幫助學生建立更完整的知識體系，有助于促進學生邏輯推理和數學運算素養的發展.

2.6.3 探究“三個二次”的關系過程

由于本節教學需要兩個課時，學生在第一節課學完以后，到第二節歸納“三個二次”的關系時，難免會忘記或者忽略上節課的部分內容.因此，教師可以在兩節課學習的過程中設置表格(如表3所示).每完成一個知識點，便填寫一部分，到本節結束時，完成該表格，使兩節課融會貫通，讓學生深刻理解“三個二次”的關系，促進學生數學抽象與邏輯推理素養的提高.

表3 “三個二次”的聯系