聚焦教材經典問題 明確幾何教學方向
——2021年北京中考幾何題研題體會

江蘇省揚州市江都區實驗初級中學 韓 艷

1 引言

每年全國各地中考試卷多達幾百份，而北京市中考試卷有著鮮明的首都風格.比如，重視“雙基”，關注能力，善于創新，而且試題大氣、新穎，沒有偏題、怪題或者網絡上流行的幾何技巧、“大法”能夠快速解決的“模型題”．筆者認真研習了2021年北京中考數學試卷，對該卷中的幾何題有了一些初步思考和研題體會，梳理成文，與各為同仁研討.

2 2021年北京中考幾何題解讀

題1如圖1，PA，PB與⊙O相切于A，B兩點．若∠APB=50°，則∠AOB的度數為.

圖1

解讀：這個圖形取材于教材中切線長定理的基本圖形，該題屬于考查“雙基”的測試題．引導師生備考時重視教材上重要定理的基本圖形，不需大量刷題就能掌握這類基礎問題.

題2如圖2，四邊形ABCD是矩形，點E，F分別在邊BC，AD上，且AF=EC．添加一個條件(寫出一個即可)即可證明四邊形AECF是菱形.

圖2

解讀：本題的圖形也源于教材，以矩形為問題背景，讓學生添加條件，使得平行四邊形AECF強化為菱形.這是一個開放式問題，需要考生熟悉菱形的不同判定方法(需要先確認四邊形AECF為平行四邊形)，然后就可添加不同的條件.

圖3

解讀：這道題綜合了平行四邊形的性質、“3，4，5”直角三角形、角平分線的性質等知識點，容易獲得思路，關鍵是幾何語句的規范表達.

題4如圖4，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，AD⊥BC于點E．連接BO并延長，交AC于點F，交⊙O于點G，連接GC．若⊙O的半徑為5，OE=3，求GC和OF的長.

圖4

解讀：前面幾道幾何題都不需要添加輔助線即可解決問題，從本題開始，所給圖形中的線段并不完整，需要結合題意補出圖形(如圖5)并求解(求解時，并不需要另外構造輔助線).作為圓的一道小綜合題，涉及垂徑定理、直徑所對的圓周角為直角、相似三角形等知識點，屬于一道中檔題.

圖5

題5如圖6，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，M為BC的中點，點D在MC上，以點A為中心，將線段AD順時針旋轉α得到線段AE，連接BE，DE．過點M作AB的垂線，交DE于點N，用等式表示線段NE與ND的數量關系，并證明.

圖6

解讀：這是處于全卷倒數第二題的位置的幾何綜合題，是承載著選拔功能的一道大題．原題共兩小問，第(1)問比較簡單；限于篇幅，這里僅摘引了第(2)問，畫出草圖之后，容易猜想(直觀看出)：點N是DE的中點．結合等腰三角形ADE的“三線合一”性質，解題的關鍵可轉化為“證AN是△ADE的高”，結合圖7，可證出∠AMN=∠ADN，從而確認A，D，M，N四點在同一個圓上，于是問題獲得重要進展∠AND=∠AMD=90°.

圖7

此外，如圖8、圖9所示的構造輔助線也可以解決問題，限于篇幅，這里不再給出思路說明.

圖8

圖9

3 北京中考幾何題的教學導向之思

3.1 重視課本例題、習題的教學功能

由于網絡技術、信息化的普及，每年全國各地幾百份中考試卷及各地“名校”模考題往往在考試之后快速得到傳播.一些搜題網站、APP及各類復習備考的教輔資料中，大量選用來自全國各地的這些考題，使得教材被“邊緣化”.常常看到學生的教材基本不用，上課時只使用“集體備課”后的學案(習題集)，這種現象并不在少數，值得我們思考．從北京卷幾何題的命題風格可以看出，北京中考幾何題并沒有那些偏題、怪題，也沒有網傳的很多模型或需要較高構造技巧的最值問題，這給我們帶來的教學導向就是，要重視課本例題、習題的教學，不論是新授課還是復習課，都要扎實做好教材上例題、習題的教學與研究.

3.2 圍繞經典圖形問題教深教透

深度教學是近年來很多專家倡導的教學追求．比如，南京大學哲學系鄭毓信教授認為深度教學要追求教學內容的深度、廣度和貫通度．具體到解題教學，就是要努力讓學生做一題，會一類，通一片[1]．從北京卷出現的以上幾何圖形來看，全部都是經典圖形，即不管教材幾經修訂，這些經典圖形幾十年來始終出現在課本中，我們在教學中要十分重視它們的教學價值，教師本人不能誤認為自己太熟悉了，沒有什么可講的，就帶領學生“一閃而過”，接著刷大量的所謂變式題、同類題．學生對一些經典圖形的“標準問題”還沒能深刻理解，就急于變式、刷題，往往事倍功半．順便提及，《中學數學》(初中版)近年來刊發了不少圍繞經典圖形問題研發的“一圖一課”課例文獻，也是將經典問題教深教透的積極實踐，值得我們學習和踐行[2].

3.3 解后回顧、揭示深層結構

針對經典圖形的深度教學需要有解后回顧反思的環節，這是波利亞解題理論的重要環節．根據教學經驗，在一個典型問題教學設計中，能否預設有效的解后小結往往能鑒別初任教師和專家教師的解題教學的專業基本功[3]．就本文中關注的經典圖形問題來說，解題教學不只是關注一題多解，更重要的是思考“多解歸一”，并善于幫助學生揭示問題的“深層結構”.比如，上文題5講評之后，要讓學生多看幾眼圖7，并想清辨明圖7是如何畫圖、漸次生成的，能否由這幅圖出發，寫出它的題設或條件，然后證出哪些結論，這些結論中哪些是“等價”結論(可以快速“成果擴大”得出).

3.4 解題教學要讓學生學會解題

涂榮豹教授指出：數學解題教學的任務，實際上是要教學生“學解題”[4]．所謂“學解題”，就是要讓學生學會思考如何解題，而不只是滿足于獲得某一道具體例題、習題的解法或答案．這就要求我們精選好的問題、經典圖形問題，從習題教學走向問題驅動，“拉長”學程，讓學生對某類經典問題的求解從“快思”走向“慢想”.只有平時對某一經典問題“長時間思考”，獲得這類問題的深刻理解，學生將來在考場上再遇到這類問題或同類問題時，才能用較短時間識別或看清問題本質，快速轉化為自己熟悉的“等價問題”，從而獲得思路的貫通.

4 寫在后面

中考命題是以國家課程標準為命題原則，追求試題育人，指向課堂，回歸教材，特別是注重從教材中挖掘和選用背景材料，讓重視教材的師生“沾光”，讓過度選用課外資料大量刷題的師生事倍功半．從這個角度看，本文關注的北京卷的幾何題基本達到了上述要求，值得我們深入研習.對于很多承擔著區域命題任務的老師來說，是不是也應該以北京卷作為一面鏡子，“照照”自己命制的試卷，看看我們的命題方向、命題立意是否合適，是否出現了“喜好偏向”呢？