“三定法”教你輕松搞定函數(shù)圖象共存問題

白銀市第十中學(xué) 高麗娟

1 引言

圖象與性質(zhì)是函數(shù)中難以剝離的兩個內(nèi)容，要想提高函數(shù)整個知識點(diǎn)的理解與運(yùn)用程度，就離不開分析它的圖象和性質(zhì)[1].所以，本文中推出“三定法”，嘗試探究與分析函數(shù)圖象的共存問題，以幫助學(xué)生掃除“障礙”.

2 理論基礎(chǔ)

函數(shù)圖象共存常涉及正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象，是同一直角坐標(biāo)系中一種或多種圖象的綜合.所以，要想解決圖象共存問題，先要弄清楚這幾種函數(shù)的圖象及性質(zhì)，詳見表1.

表1

(續(xù)表)

3 “三定法”說明及例析

本文中所指的“三定法”，是解決函數(shù)圖象共存問題的一種方法，主要有如下三個步驟：

第一，定圖象.由于函數(shù)圖象共存問題中常出現(xiàn)兩個圖象，所以以哪個圖象為基礎(chǔ)分析問題非常關(guān)鍵.選擇哪個圖象并沒有定法，可據(jù)題意靈活選擇.

第二，定符號.在選擇基礎(chǔ)圖象后，就要根據(jù)該圖象分析出相應(yīng)系數(shù)的符號.如分析正比例函數(shù)中k的正負(fù)、一次函數(shù)中k和b的正負(fù)、二次函數(shù)中a和b，c的正負(fù)等.

第三，定結(jié)論.在定好基礎(chǔ)圖象對應(yīng)的系數(shù)符號后，就需要將之與另一圖象對比.若系數(shù)的符號在兩個圖象中一致，則圖象可共存；反之，則圖象不可共存.

本方法的三個步驟具有一定的順序，在分析問題時，只要任何一個順序錯誤，利用本種方法分析問題將無法達(dá)到預(yù)期效果.

下面，結(jié)合例題分別從正比例函數(shù)和一次函數(shù)圖象、一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象、一次函數(shù)和二次函數(shù)圖象等幾種共存情形出發(fā)，具體分析如何解決圖象共存問題.

3.1 正比例函數(shù)和一次函數(shù)圖象共存

例1如圖1,函數(shù)y=kx-k2和y=-kx(k為常數(shù)，且k≠0)在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是( ).

圖1

解析：選項(xiàng)A中的正比例函數(shù)過二、四象限，所以-k<0，那么k>0.再看一次函數(shù)圖象，它過一、二、三象限，所以k>0，這一點(diǎn)與正比例函數(shù)中的k保持一致.如果k>0，那么-k2應(yīng)該小于0，所以一次函數(shù)的圖象應(yīng)該與y軸的負(fù)半軸相交.但是選項(xiàng)A中一次函數(shù)圖象與y軸交于正半軸.這一點(diǎn)矛盾，所以選項(xiàng)A錯誤.

選項(xiàng)B中的正比例函數(shù)也是過二、四象限，所以-k<0，那么k>0.再看此時的一次函數(shù)圖象，它過一、三、四象限，所以k>0，這一點(diǎn)與正比例函數(shù)中的k保持一致.如果k>0，那么-k2<0，所以一次函數(shù)的圖象應(yīng)該與y軸的負(fù)半軸相交.選項(xiàng)B中一次函數(shù)圖象與y軸正好交于負(fù)半軸，所以選項(xiàng)B正確.

選項(xiàng)C中的正比例函數(shù)是過一、三象限，所以-k>0，那么k<0.在同一平面直角坐標(biāo)系中的一次函數(shù)的圖象過一、二、四象限，所以k<0，這一點(diǎn)與正比例函數(shù)中的k保持一致.如果k<0，那么-k2<0，所以一次函數(shù)的圖象應(yīng)該與y軸的負(fù)半軸相交.然而，選項(xiàng)C中的一次函數(shù)圖象卻與y軸正半軸相交，由此判斷C錯誤.

選項(xiàng)D中的正比例函數(shù)是過二、四象限，所以-k<0，那么k>0.在同一平面直角坐標(biāo)系中的一次函數(shù)的圖象過二、三、四象限，所以k<0，這一點(diǎn)與正比例函數(shù)中的k相反，矛盾.所以選項(xiàng)D錯誤.

故本題應(yīng)選：B.

評析：在分析本題中的每個選項(xiàng)時，“三定法”得到了完美展現(xiàn).首先，確定正比例函數(shù)圖象為基礎(chǔ)圖象，然后分析k的正負(fù)符號，再與另一直線對比尋找符號是否一致.從中也可以發(fā)現(xiàn)，用“三定法”分析圖象共存問題時，需對每個選項(xiàng)逐個分析，直至找到符合題意的選項(xiàng).

3.2 一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象共存

圖2

圖3

評析：這是近幾年中考考查圖象共存問題比較新穎的方式，與例1常規(guī)考法有較大差別，但“三定法”同樣適用，只是需作靈活處理.所以，在基礎(chǔ)題上作適當(dāng)延伸和拓展，對學(xué)生掌握“三定法”有利.

4 “三定法”的注意事項(xiàng)

首先，函數(shù)圖象共存問題中，通常會畫出若干種函數(shù)的圖象.學(xué)生在分析這類問題時，始終要注意分辨，不能混淆圖象，更不能將系數(shù)的正負(fù)符號分析錯誤.

其次，函數(shù)圖象共存問題有多種不同的類型，無論是哪一類圖象共存問題，它們的解題方法都可利用本文提到的“三定法”.對與例2類似的圖象共存問題，則需根據(jù)所給出的圖分析出系數(shù)正負(fù)符號，然后再與所給選項(xiàng)對比，該類問題考查形式相對更加靈活，需引起注意.

最后，對于多種函數(shù)解析式中相同的字母，它們的正負(fù)符號也一定相同.如例1中的“一次函數(shù)y=kx-k2和正比例函數(shù)y=-kx(k為常數(shù)，且k≠0)”，這里的k不僅是比例系數(shù)，而且-k2構(gòu)成了上述所講的b.分析時，一定要將此分離開，切忌混淆.

5 結(jié)語

總之，“三定法”作為本文提出的一種解決函數(shù)圖象共存問題的方法， 在整個使用過程中，要準(zhǔn)確把握與函數(shù)圖象及性質(zhì)有關(guān)的理論基礎(chǔ)，這是三定法”解決問題的依據(jù)，只有這樣才能分析兩個函數(shù)圖象是否存在矛盾之處，找到正確答案[2].