初中數(shù)學探究式教學的實踐
——以“二次函數(shù)與一元二次方程”為例

江蘇省南通市如皋市白蒲初級中學 管小梅

1 引言

素質教育的不斷推進要求教師不僅要注重教學方法的創(chuàng)新，還要提升教學方法與教學內容的契合度，從而更加深入地對數(shù)學知識進行探索.那么如何促進學生知識內化，如何改變傳統(tǒng)教學中學生的固有思維就成為探究式教學活動應重點思考與解決的問題.

2 教學分析

2.1 教材解析

二次函數(shù)與一元二次方程是初中階段的教學重點與難點.本章節(jié)主要引導學生通過二次函數(shù)圖象解決問題，找到一元二次方程的根.相較于其他計算方法來說，該方法抽象程度較高，需要學生具備一定的知識經(jīng)驗與積累，并能夠靈活運用數(shù)形結合的數(shù)學思想[1].

2.2 學情分析

九年級的學生已經(jīng)具備了一定的探究經(jīng)驗，了解不同方程的解法及不同函數(shù)圖象特征.該階段學生普遍具有一定的思維能力與推理能力，但仍有較大的進步空間.基于此，本文嘗試借助圖象開展探究活動，促進數(shù)形結合思想的滲透與應用.

2.3 教學目標

(1)找到二次函數(shù)與x軸交點個數(shù)、一元二次方程解的個數(shù)之間的關系；

(2)能夠結合二次函數(shù)圖象對一元二次方程的根進行判斷；

(3)學會使用對立統(tǒng)一的觀點滲透數(shù)形結合思想.

2.4 教學重點

(1)基于一元二次方程根的求解對二次函數(shù)的圖象進行二次研究，并通過二次函數(shù)圖象的應用加強學生關于一元一次方程求解的記憶；

(2)數(shù)形結合，找到二次函數(shù)圖象與一元二次方程根之間的關系.

3 初中數(shù)學探究式教學實踐

3.1 問題引入，滲透知識

新課程標準改革背景下，教學設計需要凸顯教育價值，且符合該階段學生思維發(fā)展邏輯.通過問題引入，回顧一次函數(shù)與一元一次方程，從而順利實現(xiàn)知識過渡，引導學生對二次函數(shù)及一元二次方程產生疑問，從而為本課程教學提供新的入手點，在問題的驅動下直擊教學重點.

(2)一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)中的x與一元一次方程kx+b=0(k≠0)的x有什么區(qū)別，上述兩式所考慮的問題重點分別是什么？

(3)總結一次函數(shù)與一元一次方程之間的關系.

分析：一次函數(shù)中的x代表未知數(shù)，整個函數(shù)主要是對x與y的變化規(guī)律進行探究.一元一次方程更多的是尋找基于相等關系的已知量與未知量的關系，即側重于尋找方程的解.通過對數(shù)學概念的研究找到問題探究的價值，符合初中階段學生的認知特點，同時與課程教學目標緊密相聯(lián)，對學生思維發(fā)展及學習方法掌握具有積極作用.除此以外，從較低的起點逐漸提升高度，與新課程標準改革提出的“基礎與綜合”的教學要求相適應.

3.2 經(jīng)驗鏈接，自主建構

結合一次函數(shù)與一元一次方程的學習經(jīng)驗，對二次函數(shù)與一元二次方程進行類比，并通過數(shù)形結合的方式找到二次函數(shù)與x軸的交點、一元二次方程的解.從學生的學習經(jīng)驗出發(fā)，降低學習難度.

問題2分別畫出二次函數(shù)y=x2-2x-3,y=x2-2x+1，y=x2-2x+2的圖象，并思考下列問題.

(1)觀察圖象，思考方程x2-2x-3=0，x2-2x+1=0，x2-2x+2=0的根的個數(shù)及方程的解；

(2)總結二次函數(shù)圖象與一元二次方程的根之間的關系.

分析：通過圖象引導學生對一元二次方程根的情況進行判斷，潛移默化中對一元二次方程的求解方法進行思考，同時通過自主探究與思考強化學生應用二次函數(shù)圖象的意識，為數(shù)形結合思想的形成奠定基礎.具體教學思路如圖1所示：

圖1

3.3 數(shù)形結合，優(yōu)化思維

數(shù)形結合思想的重點是看形思數(shù)，見數(shù)想形.在掌握一定數(shù)學知識的基礎上啟發(fā)學生自己完成拋物線的繪制，并通過圖形觀察解決問題，明白y=ax2+bx+c中的系數(shù)a才是決定二次函數(shù)開口方向的關鍵，嘗試通過二次函數(shù)基本特征的總結與概括找到新的問題探討點，引導學生更加深刻地體會函數(shù)與方程之間的必然聯(lián)系.

問題3已知圖2、圖3、圖4為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，對稱軸均為x=3.

圖2

圖3

圖4

(1)觀察上述圖象，令y=0，找到拋物線上縱坐標為0的點，并嘗試求方程ax2+bx+c=0的根.

(2)若圖4是關于x的一元二次方程，且方程ax2+bx+c-m=0的解為兩個不相等的實數(shù)，求m的取值范圍.

(3)類比上述結論，提出新的問題.

分析：該題目的解答需要學生盡可能多地找到圖中的有效信息，并對不同的圖象進行對比，通過不同問題的解決找到函數(shù)與方程之間的內在聯(lián)系，讓學生感受到二次函數(shù)與一元二次方程問題的解題方法，并嘗試從方程、不等式等角度進行思考.

3.4 螺旋遞進，解答疑惑

螺旋遞進式地解決問題并進行變式提問，能夠引發(fā)學生關于二次函數(shù)與一元二次方程知識更加深刻的思考，同時變式提問過程也在潛移默化中引導學生將數(shù)轉化為形[2].

問題4已知二次函數(shù)y=x2-4x+k+2的圖象與x軸有公共點，試求k的取值范圍.

結合上述問題再進行以下變式與延伸：

變式1若二次函數(shù)y=x2-4x+k+2的圖象與x軸有兩個交點，k的值如何？

變式2已知二次函數(shù)y=x2-4x+k+2圖象與x軸兩交點的距離為2，求k的值

變式3若二次函數(shù)y=x2-4x+k+2圖象頂點到x的距離為2，k的值如何？

引申1假設y=x2-4x+k+2是函數(shù)值恒大于零的二次函數(shù)，k的取值范圍是怎樣的？

引申2k取何值，二次函數(shù)y=x2-4x+k+2的圖象與直線y=x-1只存在一個交點？

分析：上述問題的探討重點是二次函數(shù)y=x2-4x+k+2與x軸的交點，通過該問題的探討引申出二次函數(shù)與直線交點的相關問題，是對二次函數(shù)與一元二次方程問題解答步驟的再次強調.引申問題的提出逐漸過渡到高階思維，重點考查學生解決問題的方法.

3.5 延伸探究，優(yōu)化結構

延伸探究是一個不斷積累、不斷創(chuàng)造的過程.已知題目內容與一元二次方程的解有關，通過概念類比，尋找問題解決的入手點.

問題5圖5為二次函數(shù)y=x2+bx+c與y=x的圖象.以下結論哪些是正確的？

圖5

(1)b2-4c>0；

(2)b+c+1=0；

(3)3b+c+6=0

(4)當1

分析：該問題設計鼓勵學生以個人或小組為單位進行探究，既是對二次函數(shù)知識體系的整理，也能夠強化學生對該部分知識的吸收與方法匯總.

3.6 技術輔助，高效探究

由于二次函數(shù)與一元二次方程課程教學內容較多，且抽象程度較高，采用傳統(tǒng)的教學方式難以實現(xiàn)教學突破，構建探究式教學模式難度較大.基于此，教師可以借助《幾何畫板》等技術輔助教學，刺激學生產生主動探究的欲望，優(yōu)化教學內容與過程.例如，課程導入階段教師可通過多媒體設備為學生播放小球飛行的視頻，并通過《幾何畫板》進行還原，幫助學生深度理解.

4 結束語

新課程標準改革背景下，初中數(shù)學教學過程應與學生認知特點相吻合.該階段探究活動的開展并不僅僅是教學方法上的創(chuàng)新，更多的是通過知識的構建促進學生思考、交流，并通過上述問題尋找數(shù)學知識的本質，形成新的數(shù)學思想，使復雜度高的問題得到簡單處理.