材料力學中內力教學思考

摘? 要：材料力學中內力是一個非常重要的概念，分析和計算內力是研究構件變形的基礎。截面法是計算內力最基本的方法。由于計算過程中涉及到內力正負號的規定與理論力學上外力正負號的規定不一致，導致學生在利用截面法計算內力時經常出錯。文章在分析截面法計算內力基礎上，提出求和法計算內力方法，經案例計算驗證，可有效避免材料力學上內力正負號和理論力學上外力正負號的問題，為材料力學中內力計算教學提供參考。

關鍵詞：材料力學;內力計算;截面法;求和法

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A? ? ? ? ? 文章編號：2096-000X（2022）08-0106-04

Abstract： The internal force is a very important concept in the mechanics of materials. The analysis and calculation of internal force is the basis of studying the deformation of components. Section method is the most basic method to calculate internal force. Due to the inconsistency between the internal force sign and the external force sign in theoretical mechanics， students often make mistakes when using the section method to calculate the internal force. Based on the analysis of internal force calculation by section method， this paper puts forward the method of internal force calculation by summation method， which can effectively avoid the problems of internal force sign in material mechanics and external force sign in theoretical mechanics， and provide reference for the teaching of internal force calculation in material mechanics.

Keywords： Mechanics of Materials; internal Force calculation; section method; summation method

材料力學的任務就是在滿足強度、剛度和穩定性要求下，為設計既經濟又安全的構件，提供必要的理論基礎和計算方法[1]。材料力學涉及諸多新知識和新概念、理論性較強且繁瑣，對初學者來說，是比較難學的課程[2]。內力是材料力學中一個非常重要的概念，分析和計算內力是研究構件變形的基礎。構件因外力作用而在內部固有內力基礎上又附加了相互作用力，這部分附加的作用力就是材料力學上研究的內力。從分析構件的內力出發，引出應力和應變，進而再研究構件的承載能力，即構件應滿足足夠的強度、剛度和穩定性，因此對內力的分析和計算是材料力學分析變形的基礎。內力在構件內部，無法直接計算。在材料力學中計算內力的方法通常用截面法。它是計算內力最基本的方法。該方法原理是利用假想截面將構件假想截開，任取其中一部分，使得內力可見，然后再研究取出部分的力平衡，從而求出內力。在學習應用截面法計算內力過程中，學生往往困惑于材料力學上內力正負號和理論力學上外力正負號的問題，導致計算內力時結果出錯[3-4]。應用截面法計算內力又是材料力學開篇內容，因此學不好會直接影響后續內容的學習，而且在一定程度上還會影響學生學習材料力學的興趣。因此，有必要對內力計算的教學方法進行研究，避免在計算內力過程中出現不必要的錯誤，提高教學的效率，調動學生的學習積極性。文章在分析截面法計算內力基礎上，提出求和法計算內力方法，經基本變形典型案例計算驗證，可有效避免材料力學上內力正負號和理論力學上外力正負號的問題。

一、內力教學中的思考——求和法

材料力學中求內力的基本方法是截面法。下面先以典型桿件為例，闡述利用截面法計算桿件各段內力，然后再分析內力計算結果，進而提煉出求和法。

如圖1所示，一等直桿，在A點、B點和C點分別受集中力F、F和2F，桿件處于平衡狀態。下面用截面法分析該桿各段內力情況。

截面法計算內力分為三個步驟：假想截開、任意留取和平衡求力。如圖2（a）所示，AC桿分為兩段，計算時分別用兩個假想截面1和2去假想截開AC桿。由于AC桿上的外力均作用在桿件軸線上，因此桿件變形為軸向拉伸或壓縮變形，其內力為軸力，用符號FN表示。

圖2 截面法取截面左側示意圖

這里先求AB段桿的內力。用截面1假想截開AC桿，取截面1左段，如圖2（b）所示。移走截面1的右段對截面1左段的作用力就是內力，即軸力。根據材料力學對軸力正負符號規定與設正法要求，截面1上未知軸力假設為離開此截面，為正軸力，用符號FN1表示。因為AC桿整體平衡，那么取出的截面1左段也平衡。根據理論力學平衡求力方法，研究截面1左段平衡。取坐標軸x沿桿件軸線，正向向右，則x軸上合外力為零，平衡方程：

特別要注意的是方程（1）中作用力的正負號是根據所取參考坐標軸x的正向來規定的，與坐標軸正向一致為正，反之為負。如果坐標軸正向發生改變，那么作用力的正負號也要改變。這種理論力學上正負號規定與材料力學上根據構件變形方向來確定內力正負號有本質上的區別。構件變形是與坐標軸無關。剛剛結束理論力學學習，就進入材料力學學習，這種在力正負號規定不同，才導致了材料力學學習上的困惑。從方程（1）可以求得截面1上軸力：

式（2）結果表明：截面1上軸力大小為F，與外力相等，方向與假設方向相同，為拉力，正軸力。由于取出截面1左側的桿件上只有一個外力F，根據力的平衡關系，內力與外力必須相等，且方向相反，作用線共線。它們是一對平衡力，即它們要么是一對拉力，要么是一對壓力。換句話來說，如按照材料力學關于內力正負號規定，它們有相同正負號。因此針對截面1上內力的結果，還可以這樣理解：一個外力在所求截面上會產生一個等值，同正負號的一個內力。這里的“正負號”由材料力學關于內力正負號規定來確定。

同理，利用截面法可以求得AC桿上BC段截面2上的軸力FN2，如圖2（c）所示。截面2上的軸力：

由（3）式結果可知截面2上軸力分為兩部分： A點外力F（拉力）在截面2上產生一個等值，正分軸力和B點外力F（拉力）在截面2上產生一個等值，正分軸力。所以，可以得到一個結論：截面2上軸力就是這兩個分軸力的代數和。

不妨再用截面法驗證一下取截面1和截面2右側的結果，看是否也可以得出這個結論。如圖3所示的截面法取截面右側示意圖。設截面1和截面2上軸力離開截面為正號，取坐標軸x沿桿件軸線，正向向右。

圖3 截面法取截面右側示意圖

如圖3（b）所示，對于AB段桿列平衡方程：

不難求得AB段桿截面1上軸力為：

由（5）式結果可知截面1上軸力分為兩部分：C點外力2F（拉力）在截面1上產生一個等值，正分軸力和B點外力F（壓力）在截面1上產生一個等值，負分軸力。所以，也可以得到一個結論：截面1上軸力就是這兩個分軸力的代數和。由（5）式結果還可以知道截面1上軸力大小為F，方向與假設方向相同，為正號。這個結果與取截面1左側軸力相同。這說明對于同一個假想截面無論取左側還是右側，求得的軸力結果大小相等，方向相反，互為作用力與反作用力，但軸力正負號相同。

同理，如圖3（c）所示，利用截面法可以求得BC段截面2上的軸力：

式（6）結果顯然也滿足：截面2上軸力就是C點外力2F（拉力）在截面2上產生一個等值，正分軸力。因此，綜上截面法取左側或右側計算軸力過程，可以得出如下結論：任意截面上的內力（軸力）等于取此截面左側或右側構件上所有外力在此截面上產生分內力（分軸力）的代數和。這種利用外力在所求截面上產生分內力的代數和求內力的方法就是求和法。求軸力時，求和法計算軸力的公式可表示：

式（7）中：FN為所求截面上軸力;FNi為第i個外力在所求截面上產生的分軸力。特別當i=0，表示構件沒有外力作用，此時分軸力FN0=0，因為材料力學上所講的內力就是因為外力作用所帶來的附加內力，沒有外力就不產生內力。

下面將利用求和法計算基本變形的內力，并闡述求和法求內力的解題步驟。

二、求和法在內力教學中的應用

利用求和法求內力，關鍵要確定外力的正負號，很顯然在材料力學上僅規定了各種基本變形的內力正負號，沒有規定外力正負號。根據外力與內力平衡關系，可以應用內力正負號的規定來確定外力正負號，因為它們的正負號是一致的。求和法求內力的解題步驟：

（1）任取截面確定外力正負號

在所求內力位置標注假想截面，任意選擇一側（左側或右側）來計算內力。首先根據內力正負號的規定來判別該側構件端部外力的正負號，然后再判別構件中間外力的正負號。中間外力正負號看該側構件端部外力，方向相同，則同號;反之異號。

（2）確定分內力正負號

外力在所求截面上產生等值、同正負號的分內力。

（3）代數和求內力

任意截面上內力等于一側（左側或右側）所有外力在此截面上產生分內力的代數和。

下面應用求和法求解扭轉和彎曲基本變形的內力。

如圖4所示，一等直圓軸，在截面A、B、C和D分別作用外力偶矩，且這些力偶作用面與軸線垂直，圓軸平衡。下面應用求和法分析圓軸1、2和3截面上的內力。

如圖4，根據題意可知AD軸為扭轉變形，所求截面上的內力為扭矩，用符號T表示。扭矩為矢量，用右手螺旋法則來判別其正負號。當扭矩的矢量方向與截面外法線的方向一致時，T為正;反之為負。扭轉時，求和法計算扭矩的公式可表示：

式（8）中：T為所求截面上扭矩;Ti為第i個外力偶矩在所求截面上產生的分扭矩。特別當i=0，表示構件沒有外力偶矩作用，此時分扭矩T0=0。

計算圓軸1截面的扭矩，如圖4所示。從截面1假想截開取左側，圓軸上只有外力偶矩m1作用。應用右手螺旋法則判別圓軸左端的外力偶矩m1的正負號，確定為正。外力偶矩m1在截面1上產生一個等值、正的分扭矩。截面1左側圓軸上只有一個分扭矩，所以截面1上的扭矩：T=+m1。如果從截面1假想截開取右側，圓軸上作用的外力偶矩有m2、m3和m4。應用右手螺旋法則首先判別圓軸右端的外力偶矩m4的正負號，確定為正。然后再判別作用在圓軸中間的外力偶矩m2和m3。它們的轉向與右端的外力偶矩m4的轉向相反，因此確定為負。外力偶矩m2、m3和m4在截面1上分別產生一個等值、同號的分扭矩。截面1右側圓軸上有三個分扭矩，所以截面1上的扭矩就等于這三個分扭矩的代數和，即：

同理應用求和法可得截面2和截面3的扭矩（從截面截開取右側）：

如圖5所示，一外伸梁，在A、B和C點分別作用集中力， E點作用一個外力偶矩m，梁DG段作用均布載荷，載荷集度為q，且這些載荷均作用在梁縱向對稱面內，梁平衡。下面應用求和法分析梁1、2和3截面上的內力。

如圖5所示，根據題意可知外伸梁為彎曲變形，所求截面上的內力有剪力FS和彎矩M。剪力正負號規定：截面截開取左段，向上的外力在截面上產生向下的剪力為正;反之為負。取右段，向下的外力在截面上產生向上的剪力為正;反之為負。彎矩正負號規定：無論取截面左側還是右側只要對截面形心產生向上趨勢的彎矩的外力或外力偶矩為正，此時梁變形為向下凸;反之為負。根據彎曲內力的不同，彎曲變形求和法計算內力的公式可表示：

（12）式中：FS為所求截面上剪力;FSi為第i個外力在所求截面上產生的分剪力。特別當i=0，表示構件沒有外力作用，此時分剪力FS0=0。（13）式中：M為所求截面上彎矩;Mi為第i個載荷在所求截面上產生的分彎矩。特別當i=0，表示構件沒有載荷作用，此時分彎矩M0=0。

計算梁截面1的扭矩，如圖5所示。從截面1假想截開取左段，梁上只有一個向下的外力F作用。求剪力：應用剪力正負號規定判別梁左端A點的外力F的正負號。在左段，規定向上的外力產生向下的剪力為正，反之為負。這里，外力F向下，確定為負。外力F在截面1上產生一個等值、負的分剪力。截面1左段梁上只有一個分剪力，所以截面1上的剪力：FS=-F。求彎矩：由于截面1在A點偏右，外力F到截面1的力臂為零，所以截面1上的彎矩M=0。

如果從截面1假想截開取右段，梁在B和C點分別作用向上外力FB和FC， E點作用一個順時針的外力偶矩m，梁DG段作用向下均布載荷，載荷集度為q，如圖5所示。

求剪力：應用剪力正負號規定判別梁右端D點的外力正負號。在右段，規定向下的外力產生向上的剪力為正，反之為負。這里，均布載荷作用方向向下，確定為正;B和C點作用力向上，與均布載荷作用方向相反，確定為負;E點作用的外力偶矩m與剪力無關，因為力偶矩只能與力偶矩平衡。均布載荷在截面1上產生一個等值、正的分剪力;B和C點作用力在截面1上分別產生一個等值、負的分剪力。截面1右段梁上有三個分剪力，所以截面1上的剪力就等于這三個分剪力的代數和，即：

求彎矩：應用彎矩正負號規定判別梁右端D點的外力正負號。規定無論取截面左側還是右側只要對截面形心產生向上趨勢的彎矩的外力或外力偶矩為正，反之為負。這里，均布載荷作用方向向下，在截面1上產生一個向下趨勢的彎矩，確定為負;B和C點作用力向上，與均布載荷作用方向相反，確定為正;E點作用一個順時針的外力偶矩m，在截面1上產生一個向下趨勢的彎矩，確定為負。均布載荷在截面1上產生一個等值、負的分彎矩;B和C點作用力在截面1上分別產生一個等值、正的分彎矩;E點的外力偶矩m在截面1上產生一個等值、負的分彎矩。截面1右段梁上有四個分彎矩，所以截面1上的彎矩就等于這四個分彎矩的代數和，即：

同理應用求和法可得截面2和截面3的剪力和彎矩（從截面截開取右段）：

本節利用求和法對扭轉和彎曲兩種變形的內力進行計算。計算過程中核心的問題是確定外力正負號，這里是利用材料力學中關于內力正負號的規定來判別。求和法在計算內力過程中沒有出現令學生困惑的理論力學與材料力學對外力符號的規定，也沒有出現截面法要重復畫受力圖和列平衡方程繁瑣的操作，因此求和法計算過程簡潔易懂，且不容易出錯。

三、結束語

求內力貫穿整個材料力學教學過程，如何讓學生在有限課時內，更快更好地掌握內力計算方法，是老師們在內力教學過程中經常思考的問題之一。文章在分析截面法求內力的基礎上提出了求和法，利用基本變形典型案例進行求和法計算內力。計算過程表明求和法可以有效規避材料力學中內力正負號與理論力學外力正負號之間的區別問題，使得學生求內力不易出錯，且解題快速。作者在多年材料力學教學過程中，應用了求和法求內力，深受學生歡迎。

參考文獻：

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[4]張玉芬.基礎力學課程中力正負號問題的整合求解思路[J].高教學刊，2016（6）：70-73.

作者簡介：李立兵（1968-），男，漢族，江蘇射陽人，碩士，副教授，研究方向為復合材料力學性能表征與超聲無損檢測技術。