二維非交換李代數的低維表示

曹新昌，胡志廣

（天津師范大學數學科學學院，天津 300387）

1 引言及主要引理

李代數表示是李代數研究領域中一個比較重要的內容.早在1935年，Ado證明了任意有限維復李代數存在忠實的有限維表示，最新的討論可見文獻[1].對于復半單李代數，其有限維表示完全可約，且不可約表示由最高權確定[2].文獻[3]討論了約化李代數的最小維忠實表示.文獻[4-5]研究了可解李代數的表示.文獻[6-7]討論了特殊冪零李代數的最小維忠實表示和低維李代數的表示.文獻[8]考慮李代數表示的反問題，證明了在半單的條件下，具有等價表示的李代數是同構的.文獻[9]給出了實單李代數的不可約表示存在不變雙線性型的充要條件.

二維非交換李代數是最簡單的非交換可解李代數.一般的非冪零李代數一定包含二維非交換子代數.在復半單李代數的分類中，sl（2，C）的表示發揮了重要的作用.本文研究二維非交換李代數的忠實表示分類，利用群在集合上作用的軌道分類，給出了四維復表示的完全分類.

定義[2]設L為一個復李代數，V、W是C上的線性空間.若ρ是L到gl（V）的一個同態，則稱（ρ，V）為L的表示.設（ρ1，V）和（ρ2，W）是L的2個表示，若存在線性空間的同構f：V→W，使得f（ρ1（x））=ρ2（f（x）），?x∈L，則稱表示（ρ1，V）和（ρ2，W）等價.

使用矩陣語言，設ρi（L）?gl（n，C）（i=1、2）為L的2個矩陣表示，則ρ1（L）和ρ2（L）是等價的，當且僅當存在可逆矩陣T，使得Tρ1（x）T-1=ρ2（x），?x∈L.因此，L的n維忠實表示的分類，等價于gl（n，C）中同構于L的子代數在gl（n，C）的內自同構下的分類.

設L為一個二維非交換李代數，取x、y為L的滿足[x，y]=x的一組基.設（ρ，V）為L的一個n維忠實復表示，則在V的一組基下，ρ（L）為gl（n，C）中的二維線性李代數.又因[ρ（x），ρ（y）]=ρ（x），可知ρ（x）冪零.故可選取V的一組基，使得ρ（x）的矩陣為Jordan矩陣diag（J（0，n1），J（0，n2），…，J（0，ns）），其中n1≥n2≥…≥ns，且n1+n2+…+ns=n.

由“李代數由結構常數確定”易知如下引理成立.

引理設X、Y1、Y2∈gl（n，C），滿足[X，Yi]=X，令Li=span{X，Yi}，i=1、2，則L1與L2等價，當且僅當存在可逆矩陣T，使得TXT-1=X，TY1T-1=Y2.

推論1設X、Y為gl（n，C）中滿足[X，Y]=X的2個矩陣，則?λ∈C，存在可逆矩陣T，使得TXT-1=X且T（Y-λX）T-1=Y.

給定冪零矩陣X∈gl（n，C），令G={T∈GL（n，C）|TXT-1=X}，易知G為GL（n，C）的子群.令MX={Y∈gl（n，C）|[X，Y]=X}，則由（T，ξ）→TξT-1定義了群G在集合MX上的一個作用.因而，求表示的分類便轉化為求該作用下軌道的分類.文獻[10]用類似的方法求gl（3，R）中的子代數，實際上給出了L的三維復忠實表示的分類.由于計算的復雜性，本文僅給出L的四維復忠實表示的完全分類.

在復數域C上定義“字典排序”：a、b、c、d∈R，a+bi?c+di，當且僅當a

2 二維及三維表示的分類

定理1設L?gl（2，C）為二維非交換李代數，X、Y為L的滿足[X，Y]=X的一組基，則在內自同構下有

3 四維表示的分類

定理3設L?gl（4，C）為二維非交換李代數，X、Y為L的滿足[X，Y]=X的一組基，則在內自同構下有

其中λ1?λ2.

其中λ2?λ3.

證明因為X為冪零矩陣，則在相似意義下有X=X1、X2、X3或X4，下面分情況討論.

（1）若X=X1，由[X，Y]=X可得

對以上形式相同的結果進行合并，不難得到定理中的各種情形.根據相似的條件，通過簡單計算可知，上述矩陣生成的李代數均不等價.

推論2在定理3的所有分類中，情形（1）不可分解，情形（2）的①和②不可分解，情形（3）的①和②不可分解，情形（4）的①、②、③和④不可分解，其他表示均可分解.